循环小数化分数

循环小数化分数（公式）

1/9=0.11111111111111111111…….对吧

假设有一个循环小数0.345634563456………

其中循环的是3456，从1/9怎样可以过度到0.3456…（3456循环）呢。我们可以把0.3456….（3456循环）看作是0.1…（1循环）中每四个1为一组的1111变成了3456，因此只需要给0.1..（1循环）乘以3456/1111就可以了。即

1/9×3456/1111

同理可以得出如下规律：

0.259……（259循环）就可以写成1/9×259/111

0.123456……（123456循环）就可以写成1/9×123456/111111

0.205802713……（205802713循环）就可以写成1/9×205802713/111111111 以此类推这公式不言而喻了

0.a...b（a...b循环）=1/9×a...b/1...1=a...b/9 (9)

（说明：a…b代表一串数字，9…9的位数与a…b的位数相同）

如果碰上了这样的循环小数：

0.3456142857…（142857循环）怎么办呢，这里3456是不循环的

我们进行假设，如果知道了0.00001…（1循环）的分数是什么的话直接给他乘以142857/111111在加上不循环的0.3456即3456/10000的话就可以得出结果了

那么0.00001…（1循环）是多少呢

很显然0.1…（1循环）减去0.1111就是我们要的结果，也就是1/9-1111/10000 那么最后结果就是：

（1/9-1111/10000）×142857/111111+3456/10000

（1×10000-1111×9）/（9×10000）×（142857/111111）+3456/10000

（1/90000）×（142857/111111）+3456/10000

142857/（90000×111111）+3456/10000

（142857+3456×9×111111）/（90000×111111）

（142857+3456×999999）/（90000×111111）

（142857+3456×（1000000-1））/（90000×111111）

（142857+3456×1000000-3456）/（90000×111111）

（3456142857-3456）/9999990000

以此类推这公式也不言而喻了

设循环小数

0.c…da……b（a……b循环）

说明：c…d与a……b代表各自一串数字，a……b为循环部分，c…d为不循环部分，为了区别循环部分与不循环部分的位数，分别以……代表同a……b循环部分相同的数位，以…代表同c…d不循环部分相同的数位，

0.1（1循环）减去0.1…1就是0.0…01（1循环）

0.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是

（1/9-1...1/10...0）×a......b/1......1+c...d/10 0

然后来化简

（1×10...0-1...1×9）/（9×10...0）×（a......b/1......1）+c...d/10 0

（1/90...0）×（a......b/1......1）+c...d/10 0

a......b/（90...0×1......1）+c...d/10 0

（a……b+c…d×9×1……1）/（90…0×1……1）

（a……b+c…d×9……9）/（90…0×1……1）

（a……b+c…d×（10……0-1））/（90…0×1……1）

（a……b+c…d×10……0-c…d）/（90…0×1……1）

（c...da......b-c...d）/9......90 0

0.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是

（c…da……b-c…d）/9……90…0,其中……代表同a……b循环部分相同的数位，以…代表同c…d不循环部分相同的数位

3种方法。

1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。

2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。

例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，

混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/165

3。方程法。易记易用。

例：纯循环小数0.1515……

设x=0.1515……，则100x=15.1515……

两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.

混循环小数0.31515……

设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……

两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。

(完整word版)分数与小数的互化

分数与小数的互化、混合运算、应用题 【知识点1】 1．把一个分数化成小数的方法：分子除以分母 2．一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数。 口答：判断下列分数能否化成有限小数？ 7 8 4 15 12 25 5 12 17 40 32 5 3 24 3．小数化成分数的方法：小数化分数时，小数位数上有几位数字，分母上就有几个0 4．（1）循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。 口答：判断下列各数是不是循环小数，为什么？ 0.5555，0.123123...， 2.235464309...， 12.121212...， 5.317317...， （2）循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。如：0.1363636...的循环节为“36”，写作0.136&&。 5．一个分数总可以化为有限小数或循环小数；有限小数和循环小数也总可以化为分数。【例题讲解】 例1．把下列最简分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数。 （1） 2 15 （2） 31 4 （3） 5 6 （4） 16 25 （5） 4 27 （6） 17 100 例2．把下列小数分别化成分数： （1）0.9（2）0.25（3）3.32（4）1.125【基础练习】

（1）把下列各数化成小数：38＝ ；625 ＝ 。 （2）把下列各数化成分数：3.56＝ ；0.225＝ 。 （3）比较大小： 53 1.66；237 3.286。 （4）把下列各数化为循环小数：59＝ ；2533 ＝ 。 （5）下列分数中：23、74、88、516、3825 ，真分数有 个。 （6）已知n 是自然数，且分数8n 是假分数，11 n 是真分数，则满足条件的n 的值是 。 （7）38、21142、315、39中，能化为有限小数的是 。 2．小明3分钟打字169个，小红5分钟打字271个，问：小红、小明谁的的打字速度快？ 小拓展：观察下列小数化成分数的结果： 20.2222 (9) =； 370.373737 (99) =； 5030.1503503 (999) =； …… 总结：纯循环小数化分数时，若为无限小数，则小数的循环节有几位数字，化成的分数的分母就有几个9，循环节作为分数的分子。 小练习：把下列循环小数写成分数的形式： 0.6&＝ 2.61&&＝ 【知识点2】 1．分数、小数混合运算顺序： 2．整数中的运算律在分数、小数混合运算中成立。 【例题讲解】

六年级数学 分数与循环小数的互化

1 分数与循环小数的互化 月 日 姓 名 【知识要点】 1． 分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）若分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2和5中个数最多的那个数的个数。 （2）若分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数。 （3）若分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环的部位的位数等于分母中质因数2和5中个数最多的那个数的个数。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 1．把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）2716 2．将下列循环小数化成分数。 ①=?70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=??4740. 3.计算：0.?1?1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1

2 4.在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）??1871822. （2）??62514913. 5.设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =??950A .,则a= 6.对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第100位上数字是4，那么两个循环点应分别加在 和 这两个数字上。 7.真分数7 a 化成分数后，在小数点后1994个数位上的数字和为8972，求a 为多少？ 随堂小测 姓 名 成 绩 1.把下列各分数化为循环小数，并求出小数点后第100位上的数字。 （1） 134 （2） 223 （3）27548 2.将下列循环小数化成分数。 =?50. =??570. =??246.2 =? 310.

循环小数如何化分数

循环小数如何化分数 众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。那么无限小数能否化成分数? 首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子： ⑴把0.4747……和0.33……化成分数。 想1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99 想2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

小升初数学-第7讲-分数与循环小数的互化

第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 11 5 （2）2716 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.199681 （3） =??54370.9999 7435

（4） 3325399753 57.3==? ? 例3 计算：0.?1?1+0.?2? 1+0.?3? 1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式9991 99819971996199519941993199219911+ +++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ?62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大，将原数改写成： Λ182818181.72187182.2=? ? Λ11828128128.72182718.2=? ? Λ2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ? 128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444 a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ?950A .化成分数，就有444 a =9999A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244

各种循环小数化成分数的方法归纳

各种循环小数化成分数的方法归纳 、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢? 看下面例题。 例1把纯循环小数化分数： （1） 0.6 （2）3 102 解’ C1） 0.6 X 10 = 6.666 ... ① 0.6=0 666"?…② 由①一②得06X9 = 6 *62 所 KIO .6=|=| （2） 話先看小数部分oD ? ? 0 102 x 1000 = 102 102102 .... ① ■ ? 0.102^0.102102 ..... ② 由①一②得0 102 X 999 = 102 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数的分 子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是 9。9的个数与循环节的位数相 同。能约分的要约分。 所以0102 = 102 _ 34 999 = 333 3 102 999 333 0 216 = 216 999 8 37

999 333 二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为 分数呢？看下面的例题。 例2把混循环小数化分数。 (1) 0.215； (2)6 353 解.(1) 0.215 X 1000^215.1515 ......... ① 0.215X 10=2 1515 ..... ② 由①一②得0215X990 = 215-2 215-2 0 215-—— = 990 213 _ 71 990 330 (2)先看小数部分 0.353 0.353 X 1000 = 353 333 .... ① 0.353 X 100 = 35.333 ... ② 由①一②得0.353 X 900 = 353 - 35 * 353-35 318 53 0.353 = —————— 务——-* 900 900 150 ^318 Q 6 = 6 — 900 150 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数 的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成 的数的差。分所以 6.353=6 353-35 900

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。

2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)

循环小数化分数

纯循环小数化分数，分母由“9”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，分子是一个循环节的数字组成的数。如：0.5454.....=54/99=6/11。混循环小数化分数，分母由“9”和“0”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，第一个循环节前面有几个数字，分母就有几个“0”，分子是第一个循环节和他前面的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数。如0.2666.....=（26-2）/90=4/15。 具体有3种方法。1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/1653。方程法。易记易用。例：纯循环小数0.1515……设x=0.1515……，则100x=15.1515……两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.混循环小数0.31515……设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。 浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，这在中学将会得到详尽的解释；而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循环的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:

分数与循环小数的互化教学案精编

第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.19968 1 （3） =??54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==??

例3 计算：0.?1? 1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式999199819971996199519941993199219911++++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可 能大，将原数改写成： 182818181.72187182.2=? ? 11828128128.72182718.2=? ? 2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ?128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ? 950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244

无限循环小数如何化为分数

无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数 例1：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以：0.325656……=3224/9900 练习： （1）0.366……=

循环小数互化与错位相减技巧

一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以 0.1 为例，令 a =0.1，①，而 =1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19 a 。 ==1240.12 9933 ； == 12341 0.123 999 333 ； =12340.1234 9999 ⑵以 0.123 4为例，推导 ==1234-126110.12349900 4950 。 设 A =0.123 4，将等式两边都乘以100，得： A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得： A =100001234.3 4； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A = = 1234-126119900 4950 。

2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.142857 7 ， =20.285714 7 ， =30.4285717 ， =40.571428 7 ， =50.714285 7 ， =6 0.8571427 ； 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007 年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运 载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.0 1+0.1 2+0.2 3+0.3 4+0.7 8+0.8 9 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0. 1+0.125+0. 3+0.1 6，结果保留三位小数。

最新人教版七年级下册数学无限循环小数可以化成分数

无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看： 探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数． 分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……① 上面的方程两边都乘以100得 100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……② ②-①得 100x-x=32 99x=32 x= 32 99 所以0323232……= 32 99 用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5 9，0.3 · 02·= 302 999． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字． 探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数 分析：把小数乘以10得 0.4777……×10=4.777……① 再把小数乘以100得 0.4777……×100=47.77……② ②-①得 0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4 0.4777……×90=43 0.4777……= 43 90

所以 0.4777……=4390 再分析第二个数0.325656……化成分数． 把小数乘以100得 0.325656……×100=32.5656…… ① 把小数×10000得 0.325656……×10000=3256.56…… ② ②-①得 0.325656……×（10000-100）=3256-32 0.325656……×9900=3224 ∴0.325656……=32249900 同样的方法，我们可化0.172·5· =17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5·化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．

第3讲循环小数化分数

第三讲循环小数化分数 一．纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化作分数呢看下面的例题。 例1．把纯循环小数化成分数： （1）0.6；（2）3.102。 解：（1）0.6×10=……① 0.6=……② 由①–②得到0.6×9=6， 所以0.6=62 = 93 。 （2）3.102先看小数部分0.102，0.102×1000=……①0.102=……②由①–②得到 999×0.102=102， 所以 10234 0.102== 999333 。 10234 3.102=3=3 999333 。 从以上例题中可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的位数与循环节的位数相同，并且各位都是9. 注意能约分的一定要约分。 例如0.216=2168 99937 ， 12341 4.123=4=4 999333 。 二．混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫做混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢看下面的例题。 例2．把混循环小数化为分数： （1）0.215；（2）6.353。 解：（1）0.215×1000=……① 0.215×10=……② 由①–②得 990×0.215=251–2=213， 所以 215221371 0.215= 990990330 - ==。 （2）对于6.353，先看小数部分0.353，0.353×1000=……① 0.353×100=……② 由①–②得0.353×900=353–35， 所以 3533531853 0.353= 900300150 - ==。 所以 53 6.353=6 150 。 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数字是9，末几位数字是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 如①把0.276化成分数。 解： 2762783 0.276= 900300 - =。 ②把7.42化成分数； 解： 4243819 7.42=777 909045 - ==。

M5A422 分数与循环小数的互化

第二十二节分数与循环小数的互化 【知识要点】 纯循环小数化分数的方法： （1）分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。 （2）分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数，整数部分不变。 纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。 混循环小数化分数的方法： （1）分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。 （2）分母是由数字9后面带数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。 混循环小数化成分数后，能约分的要约分。 【经典例题】 例1 把下列循环小数化为分数： （1）0.? 7（2）0. ? ? 86（3）6.4 ? ? 8 7（4）6.42 ? 1 例2 计算：0.? 1 ? 1+0. ? 2 ? 1+0. ? 3 ? 1+ 0. ? 4 ? 1 +0. ? 5 ? 1+0. ? 6 ? 1+0. ? 7 ? 1+0. ? 8 ? 1+0. ? 9 ? 1

例3 计算：0.1?2+0.2?3+0.3?4+0.4?5+0.5?6+0.6?7+0.7?8+0.8? 9 例4 设a 是一个自然数，A 是1至9中一个数字，若444a =0.??73A ,则a= 。 例 5 真分数7 a 化成小数后，在小数点后1994个数位上的数字之和为8972，求a= 。

【小试锋芒】 1．将下列循环小数化为分数： （1） ? ? 5 8 4.（2） ? ? 3 41 76.（3）0.29 ? 5 ? 4（4）0.4 ? 18 ? 9 2．计算（0.9? 1+0.8 ? 2+0.7 ? 3+0.6 ? 4）-(0. ? 1+0. ? 2+0. ? 3+0. ? 4+0. ? 5+0. ? 6) 3．在下列混循环小数中，移动循环节的第一个圆点，使新产生的循环小数尽可能大： （1）2.7182? 8 ? 1（2）0.6727 ? 2 ? 6（3）0.412125 ? 2 ? 1 4．划去小数0.57383622981后面的连续若干位数字，再添上表示循环节的两个圆点， 得到一个循环小数，例如：0.57383? 622 ? 9。请找出这样的小数中最大的和最小的。

第七讲 分数与循环小数的互化

第七讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【学大名师】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） 5 40.115? ??= 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） 2 9502716。 ???= 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.199 681

（3） = ? ? 54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==?? 例3 计算：0.?1?1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【学大名师】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式9991 99819971996199519941993199219911+ +++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【学大名师】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大，将原数改写成： Λ182818181.72187182.2=? ? Λ11828128128.72182718.2=? ? Λ2811828182818.72128871.2=? ? 很显然? ? 128871.2是最大的 解：（1）??128871.2 （2）? ?6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444 a =? ?950A .,则a= 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数，将? ?950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18

12 循环小数与分数互化

12 循环小数与分数互化 学习目标： 1. 会判断一个分数能否化成有限小数、纯循环小数或混循环小数； 2. 会将纯循环小数、混循环小数化成分数； 3. 能利用分数、循环小数之间的互化解决较复杂的计算。 教学重点: 1. 判断分数能否化成有限小数、纯循环小数或混循环小数； 2. 纯循环小数、混循环小数化成分数。 教学难点： 利用循环小数与分数之间的互化解决较复杂的问题。 教学过程： 一、情景体验 师：（展示图片）邀请学生扮演图中人物展开对话。 师：为什么叫“神奇数字142857”呢？我们一起来看看本节课的数学万花筒的 介绍吧。 师：同学们，是不是很神奇呢？今天我们就学习相关的循环小数与分数互化。 （板书课题：循环小数与分数互化） 师：首先我们来复习一下循环小数的知识。什么样的小数叫做循环小数呢？ 学生思考回答 师：像876.3542.13 .0 、、这样的循环小数，有什么共同特点？ 生：它们的循环节都是从小数部分第一位开始的。 师：对的，因此我们把这样的小数叫做纯循环小数。 师：像78.0870.565 4.2 、、这样的循环小数，有什么共同特点？ 生：它们的循环节不是从小数部分第一位开始的。 师：对的，因此我们把这样的小数叫做混循环小数。

（板书纯循环小数、混循环小数的概念） （一）分数化成小数 二、思维探索（建立知识模型） 展示例1 例1：将12 5,154,3715,338,31,165,43化成小数。 师：同学们，分数怎么化成小数呢？ 生：用除法计算，分子除以分母。 师引导学生完成4 3=3÷4=0.75，然后让学生完成剩下的并集体订正。 师：观察比较这些小数，有什么特点？ 引导学生观察，得出结论。 结论1：化成有限小数 一个最简分数，如果分母除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数中小数部分的位数等于分母中质因数2、5个数中最大的那个数。 结论2：化成纯循环小数 一个最简分数的分母里，如果只含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、…，诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。 结论3：化成混循环小数 一个最简分数的分母里，如果既含有2、5这样的质因数，又含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，它的不循环部分里的数字的个数，等于分母中2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、99、999、…，诸数中能被分母中2、5以外质因数（或质因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。 三、思维拓展（知识模型的运用）

分数转化成循环小数的判断方法

分数转化成循环小数的判断方法 分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数的小数部分化成分数的规则 把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数 字组成的数与不循环部分的数字所组成 的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 循环小数化分数例题讲解1 我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢因为所

有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数． 循环小数如何化为分数呢 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环

节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：…… 循环节为3 则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：(1-^(n))/ 当n趋向无穷时（）^（n）=0 因此……==1/3

分数转化成循环小数的判断方法

分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数的小数部分化成分数的规则 把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 循环小数化分数例题讲解1 我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢？因为所有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数． 循环小数如何化为分数呢？ 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．

无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：…… 循环节为3 则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：(1-^(n))/ 当n趋向无穷时（）^（n）=0 因此……==1/3 注意：m^n的意义为m的n次方。 方法二：设零点三，三循环为x，可知10x-x=三点三，三循环-零点三，三循环 9x=3 x=1/3 第二种：如，将.................（3050为循环节）化为分数。 解： 设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a 10000a-a=3053 9999a=3053 a=3053/9999 算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。再把整数部分乘分母加进去就是