森林可持续发展的数学模型

2012年南京理工大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了全国大学生数学建模的竞赛规则（https://www.sodocs.net/doc/5e14324547.html,）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们的参赛队号为：8号

我们选择的题号为：B

参赛组别：研究生

参赛队员：

可持续利用森林资源的策略

摘要本文以森林中的树种为研究对象，从不同树种，不同时间出发，结合森林

植被的生长规律，既考虑森林资源开发利用的直接经济效益，又贯彻可持续发展的的思想，运用动态规划方法讨论森林的可持续发展问题。分别建立森林资源自然生长的模型，以及资源开发利用的优化模型和森林在可持续发展条件下的优化开发模型，使模型满足在无限长的时间内森林资源的开发利用净效益值最大，且森林资源能持续增长。在模型一中，我们不考虑森林树木多样性，假设森林中只有一种树木，就如何种植和砍伐该树木进行了分析。实际上，森林中的树木具有多样性，我们在模型一的基础上建立了模型二，分析了对森林中各种不同的树木，该如何砍伐和种植各种树木，以使得各种树木都能够得到充分利用与发展，进而实现整个森林的可持续发展与利用。在模型三中，通过引入树木的年龄，我们分析了在树木不同年龄段对其进行砍伐的策略，使得树木资源能够得到最大限度的利用并且不影响其可持续发展性。

关键词:可持续发展森林资源动态规划

一．问题背景

森林是陆地生态系统的主体,对保护生态环境,维护生态平衡起着决定性作用. 根据第七次全国森林资源清查结果我们可以看到我国的森林资源虽然较前几年有所增加，但是依然存在很多问题，比如森林资源总量不足、质量不高、造林难度越来越大等.如何利用和保护森林资源使之能够可持续地为人类服务,依旧是一个非常值得研究的课题.

森林资源的开发要遵循适度原则，一般是在可持续发展条件下求最高产值量或最优的经济效益。森林群落不是孤立存在的，它是在一定气候、基质、生物等因素综合作用下经过长期发展而形成的。不同植物之间既有相互竞争现象；也有相互依赖的关系，并且两者常常同时存在于同一群落中，通过相互间的共同作用，形成不同时期有所差别的森林结构。在正常生产条件下，通过采伐、造林和改造等手段控制各时期各种树的结构，可调整森林的时间分布和空间分布等动态结构，在保证森林可持续发展的条件下，获得最大的效益。

合理地采伐森林是对森林资源的保护，过度采伐 ,是导致森林资源减少的主要原因 ,过量采伐导致森林资源危机。树木是人类和动物必需的再生资源，合理的利用和保护有利于资源的持续生长。为了长期利用森林资源，促进资源的再生，人类在砍伐森林的同时，必需及时的植树造林。为了保持森林中植物的多样性，造林时应该种植不同生长速度的树种。

现假设有100万公顷生长良好的森林，我们考虑不同种树木生长所需环境，充分利用水平、垂直空间，选择适当树种，结合不同树木的生长周期选择合适的砍伐时间，使我们的收益最大化，充分解决我国人均森林面积不足，需求量大的问题。

二 模型的建立与求解

2.1模型一的建立与求解

2.1.1模型的假设：

（1）假设森林中只有一种树

（2）忽略树木自身的繁殖，新增树木量即为年初所种植的树木量 （3）树木的自然出生率为A （可忽略不计），树木的种植率为B ，树木的增长率为R ，树木的自然死亡率为D ，则D B R -=

（4）)(t x 表示在t 年该森林中这种树木的总数量，其中，)(t x 可近似的看做t 的连续函数

（5）用N 表示该种树木在森林中的最大允许数目 2.1.2.模型的建立：

（1）在无砍伐的情况下，)(t x 的增长服从istic log 规律，即)1(N x Rx dt dx -

=，

其中

N

x 可解释为已经消耗掉的资源比例，该树木的剩余资源N

x -1可以体现环境

阻力的大小

（2）人类需要利用森林中的树木资源，而人类对树木的砍伐是动态的。比较

直观的理解是，当森林中树多的时候就多砍伐些，当树木少的时候就少砍伐些，以达到森林资源的可持续利用。可假设单位时间（一年）内的砍伐量与森林中该种树木的总量)(t x 成正比例关系，即为砍伐率K ，称为砍伐力度，可以通过人工管理等其他方法来控制其大小，则单位时间内的砍伐量为Kx x h =)( （3）根据以上假设并记：Kx

N x Rx dt

dx --

=)1(，为了能够使该种树木资源能

够得到持续的利用，应该有0

=dt dx ，即：0)1(=--

Kx N

x Rx

（4）令：)1()(N x Rx x f -

=

Kx

x h =)(

令)()(x h x h =得到两个平衡点：

)

1(0R

K

N x -

=，01=x ， 图形如下：

由图形我们可以知道，两曲线除零点外，只有一个交点0x 当0x x <时，

0>dt

dx ，树木的总量会逐步增加

当0x x >时，

dx ，树木的总量会逐步减少

（5）上述分析表明，只要适当砍伐，就能够使森林中该种树木的总量稳定在

0x ，从而就能够获得持续的砍伐量00)(Kx x h =，而当砍伐过度时，该种树木的总

量就会趋近于01=x ，从而就没有可持续利用的可能。

2.2．模型二的假设与研究

在上述模型中，仅仅只考虑了在森林中仅含有一种树木的情况，但是在森林中，为了保持物种的多样性，需要种植各种各样的树木。种植各种各样的树木，能够使森林的作用得到最大的发挥。在模型一的基础上，我们可以进一步扩展该模型。 2.2.1 模型的假设：

假设森林中有各种各样的树木共60种，编号分别为1,2，…，60。令)(t x i 表示在t 年，编号为i 的某种树木的总数量，且该种树木的自然出生率为i A （可忽略不计），人工种植率为i B ，自然死亡率为i D ,人工砍伐率为i K ，则该树木的增长率为i R ，其中i i i i K D B R --=，)(t x 表示在t 年里所有树木的总量，即

∑==

60

1

)()(k k

t x

t x 。

2.2.2.模型的建立：

当)(t x 的数目较大时，我们可以将)(t x 看作是t 的连续函数

???

????=

==∑∑==6010

601)0()()601(i i i i x t x x p rx dt dx

我们不能在有限的空间中种植任意多的树，因此存在最大环境容量N x

∑==

60

1

i N N i

x x 其中i

N x 为该环境可以容纳的第i 种树的最大值，此时树木的增长率

受N x 的制约，近似假设)60

1(

60

1

∑

-

=N

i x x p a r 。再考虑，第i 种树每年的砍伐率为

)(x H i ，此时的数学模型可建为

???

????=

--=∑∑∑===6010

60

1

601)0()()

()601(i i i i

N i i x t x x H

x x p a dt dx

这样由模型一我们就可以知道，为了保持可持续发展的最大砍伐

率是多少，这时的平衡值可以近似求得。一般来讲，每年各种树木所种植的量近视相等，故而可以建立以下模型：

?????

=+=+=∑=60

,,2,1),()1()1()

()(60

1

k t x R t x t x t x k k k

k k 令T t x t x t x t x ))(),(2),(()(601 =

用向量和矩阵的的方式可以表示上述离散模型形式为)()1(t Lx t x k k =+。

为了保证森林系统的稳定性，需要满足存在)(lim *

t x x k t k ∞→=，使得*

*k k Lx x =，亦

即：令T x x x x ),,(*

60*2*1* =， 其中

),,,(*

60*

2*

1*

x x x x =

=??

??

??

???

?

?

?+++++10

00

100000100000100

00016059321R R R R R

????????

? ?

?****

60321x x x x 使得60,,2,1,)1(**

=+=i x R x i i i

=+∑=∞

→)1()(lim

60

1

i i i

t R t x

T

x x x x ),,(*60*2*1* =

此时我们可以由此模型知道每种树木的最大砍伐率是多少，但是由于每种树木的生长周期不同，所以导致每种树木的最佳砍伐时间不同，为了使我们利益的最大化，对每种树木选择最合适的砍伐时间我们引入第三个模型。

2.3．模型三的假设与建立

2.3.1.问题的假设

在模型二的基础上，可以进一步加深问题的研究。人类在砍伐树木的时候一般只会砍伐已经成材的树木，而且树木在不同年龄段的死亡率也不相同。因此，

我们可以假设森林中树木的年龄是在1岁到50岁之间，对新种植的树木，我们可以假设其年龄为0岁，树木达到一定年龄后一般会自然死亡，我们可以进一步假设50岁以上的树木一般会自然死亡。假设森林中有60种树木，用)(,t x j i 表示在t 年，编号为i 的年龄为j 的树木的总数量。

2.3.2.模型的建立：

如果我们知道t 年各种树木各年龄段的数量，各种树木各年龄段的被砍伐状态和自然死亡状态，我们就能够推出在1+t 年各种树木各年龄段的数量，为此我们引入k i d ,和k i h ,，它们分别表示标号为i 的树木在k 岁时的自然死亡率和被砍伐率，其中：

岁树木的总数量

的一年内编号为

岁树木的被砍伐的数量

的一年内编号为

k i k i h k i =

,

岁树木的总数量

的一年内编号为

量

岁树木的自然死亡的数

的一年内编号为k i k i d k i =

,

我们可以进一步定义编号为i 的k 岁树木的存活率为k i k i k i h d p ,,,1--=，一般来讲，每年所种植的各种树木的数量可以近似的认为是相等的。为此，我们可以建立如下多维离散模型：

??

?=+=++)()1()()1(,,1,0,0,t x p t x t x t x k i k i k i i i

因为这些树木是人为编号的，所以只需要对其中的编号为i 的树木的情况进行分析)60,,3,2,1( =i 即可。记

???????

?

?

?=00

000000000000149,1,0,i i i p p p M 则该模型可用如下的向量与矩阵的形式表示如下：

???????

?

??????????

??=???????? ??++++)()()()(00

0000000000001)1()3()2()1(50,2,1,0,49

,1,0,50,2,1,0,t x t x t x t x p p p t x t x t x t x i i i i i i i i i i i

要保证森林的稳定性，也就是说要保证森林中每种树木的稳定性。即：

对第i 种树木来说，需要满足存在)(lim *

t x x i t i ∞→=使得*

*i i Mx x =。

令：),,(*

50,*1,*0,*i i i i x x x x =

则我们可以得到：

???

?

?

??????

=======∏=49

0*0

,,*49,49,*50,*0

,0,1,2,*2,2,*3,*0,0,1,*1,1,*2,*

0,0,*1,j i j i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x p x p x x p p p x p x x p p x p x x p x 由上式可知：随着树木年龄的逐步增加，相应年龄的树木的数量是逐步减少的。即：在森林中，年龄越久的树木其树木也就越少，而这也正好符合社会的现实。

下面讨论什么时候砍伐树木合适

树木生长时，其有用的木材量也在发生变化，起初，树木很小时，每年以几乎恒定的速度增长，一段时间以后树木的增长率开始下降，最终会有一个时刻以后树木停止生长开始出现老化萎缩直至死亡，不同品种的树木的生长曲线肯定不同，但是大致趋势基本相同。为了方便讨论问题，假设树木生长率是二次曲线

bt

at dt

dv +-=2

，

其中v 为一棵有用的木材的体积。假设1t ，2t 分别是该二次曲线的最大值点和取值为零的点，那么b

a t 21=

，b

a t =

2

假定0=t 时此树的木材含量为0=v ，所以有2

3

2

3t b t a v +

-

=

下面两图分别是，生长率关于时间的变化曲线，以及树木含木材量关于时间的变化曲线。

如图所示，树木的增长率在1t 以后开始下降，到2t 时刻树木增长率下降到0，

2t 时刻以后树木开始老化萎缩，最终死亡。究竟什么时候砍伐树木合适呢？

由图可知：

1t 时刻增长率最大，此时树木生长最快，显然不应该在1t 之前或者1t 之后较

短时间内砍伐树木。2t 时刻树木生长率为0，应该在2t 之前砍伐。另外砍伐时间不能离2t 过近，因为2t 附近一段时间内增长率比较小，不如早砍伐种植新树效率高，综上结合图形知我们所求的砍伐树木的时间t 应该在1t 和2t 之间。

现在我们定义一个函数t

v t

dt

dt dv t f =

=

?1

)(

)(，此函数的含义为0-t 时刻之间的

平均增长率，利用前面的假设，可以求得2

3

2

3

)(t b t a t f +

-=.则我们可以得到如

下方程组：

???????

+-=+-=bt at dt

dv t b t a t f 22323)( 假设解的该方程除0外的令一点为3t

当3t t <时，平均增长率小于树木增长率，也就是说随着时间的增加，平均增长率会提高，所以应该继续种树。

当3t t >时，平均增长率将大于树木增长率，结合图像知再种植下去，平均增长率反而会降低，总效益会增加，但是单位时间（一年）的收益会减少，为了获得单位时间内的最大效益，应该砍伐老树，种植新树。 联立dt

dv t f =

)(得到b

a t 43=，这就是最佳的砍伐时间。结合前面建立的离散的森林模型

)()1(,,t Mx t x k i k i =+。从理论上取

?

??>-<=)(1)

(03,3,t k d t k h k i k

i 即树龄大于3t 的全部砍伐，小于3t 的全部保留。

三．模型的推广

在上述的三个模型中，我们只单单考虑了树木的种类，自然死亡率以及种植率等，这仅

仅是不够的。在现实森林中，需要考虑的自然因素和人为因素有很多，我们可以列举以下三条：

其一,各种树木之间彼此存在着竞争，那么它们在某一森林中可能够容纳的最大值就要受到其它树木最大容纳量的限制.

其二，我们还需要考虑树木的自身的繁殖，且对于不同的树木，其自身繁殖的能力不同，即使是同一种树木，在不同的年龄段，除了死亡率和砍伐率不同外，繁殖能力也不同。人对森林的作用除了砍伐和种植树木外，也有可能由于人为因素而导致森林火灾，使大片林木被毁。

其三，在上述几个模型中，我们是近似的人为树木的种植率和砍伐率是静态的，但在现实中，随着人类对树木资源需求是动态的，也就是说树木的种植率和砍伐率也需要作出相应的调整，当需求增大时，砍伐率自然就会增加，相应的种植率也就要提高，以使森林资源达到可持续利用。

由上可知，我们在上述所阐明的均是理想化的模型，在考虑到现实中的其他原因，我们对上述模型需要做进一步的扩展分析。

四．参考文献

[1]姜启源，数学模型（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2011,1

[2]隋秩，森林资源的可持续发展[J]，数学建模，2002013225

[3]马莉，MATLAB数学实验与建模[M]，北京：清华大学出版社，2010,1

[4]刘远生，周榆，浅谈森林资源保护及其持续利用[J],科技与生活，2011,4