第六章__实数__讲义
第六章 实数 1.1 认识无理数
一、学前准备 1、填空：（有理数的两种分类）
有理数 有理数
2、探究 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35-
，478 ，911 ，119 ，59
．实数概念：
(1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。如：21.02、 0.1、0.00012等 (2) 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。如：∏=3.15926…、2.2105…
(3) 循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如： 0.333 …， 5.32727 …等等。 注意 ：循环小数是无限小数，也称作无限循环小数。
2 ． ，因为整数和分数都可以写成有限小数或无限循环小数，所以有理数也可以分类为有限小数和无限循环小数。 无理数
1．无理数：无限不循环小数叫做无理数。 2．无理数的特征：
(1)无理数的小数部分位数不限；
(2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 常见的几种无理数：
①根号型：如35,2等开方开不尽的数。
②三角函数型：如sin60°,cos45°等。 ③圆周率π型:如2π，π-1等。
④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数。 二、探究新知
1、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数
例122
7
3.141,,
,,,1.414,0.020202,7378
π----
有理数{ } 无理数{ }
想一想：有理数与无理数的区别？
做一做 下列说法正确的是（ ）
A.分数是无理数
B.无限小数是无理数
C.不能写成分数形式的数是无理数
D.不能再数轴上表示的数是无理数
例题2：（1）如果a b a b -=____．
（2）已知：m n 8m －n.
（3a 2
，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。 ‘’
例题3：（1）已知
22(4)0,()y x y xz -+++=求的平方根。
（2）已知322+-+-=x x y ，求x
y 的平方根；
例题4：根据算术平方根的意义求x 的取值范围:
（1（2（3（4
例题5：在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )
12
a -=0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例题6：如图，数轴上表示1A 和B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 表示的数是( )
A 1
B ．1．2 2
例题7：（1）化简347+ （2）化简：42213-
1.2 平方根、立方根
一、平方根
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a x =2
，x 叫做a 的平方根。 ２.平方根的性质与表示
⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫
做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a ± （根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2=???-a a
0<≥a a
()
a a =2
（0≥a ）2
a
与()
a a =2
的区别及
化简
⑷a 的双重非负性
0≥a 且0≥a （应用较广） Eg ：
y x x =-+-44 得知0,4==y x
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或
向左移动一位。 拓展：两次根式的运算 区分：４的平方根为____
4的平方根为____
____4=
４开平方后，得____
３.计算a 的方法?????
?
???精确到某位小数
＝非完全平方类 ＝
完全平方类 773294
*若0>>b a ，则b a > 二、立方根和开立方
１．立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a ２. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。 正数的立方根是一个正数。 负数的立方根是一个负数。 ０的立方根是０. ３. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。 ()a a =3
3
a a =3
3
33
a a -=- （a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。 三、推广： n 次方根
１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个。 n a ±
０的偶次方根为０。 00=n
负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。 ０的奇次方根为０。 负数的奇次方根为负。 ３. n n a a -=-
()
a a n
n
= )0(≥a ；
a a n
n
= )0(≥a ；
()
n n n
n
a a = )0(≥a
例1．已知实数a 、b 、c 满足，2
)2
1(-c =0,,求a+b+c 的值.
例2.若12112--+-=x x y ，求x ，y 的值。
例3.若312-a 和331b -互为相反数，求b
a
的值。
例4.已知325y 2+--=x ,求x 取何值时，y 有最大值。
练习： 1．522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。
2．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，求333cd 8b a ++的值。
3.若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。
4.已知：3+-y x 与1-+y x 互为相反数，求x+y 的算术平方根
课后练习 一．填空题：
1．如果162
=x ，那么_____=x ；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
3．
_____2516=±
，_____814=-，____104=，
_____106
=-； 4．______287169=，_____83
33=，_____643
=--；
5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米； 6．5-的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________； 8 ____________数和数轴上的点一一对应；
9．
=0144.0_________;
=
-3
2710
2
__________;
=+?632__________，
=???? ??-2
323____________，
(
)(
)
_______
252
5=+-； 10．比较大小
5-______6-， 14.3- _______π，
21
3-______ 21；
12．若492=x ，则x =______，若
64)1(3=-x ，则x =______； 13．______的倒数是
21
-
.
14．如果
0)6(42
=++-y x ，那么=+y x ；
15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______3
=++cd b a ； 16．已知x 、y 满足024242
2=+-++y x y x ，则_______16522=+y x ；
21．
2
)5(-的平方根是
二、 选择题
1．与数轴上的点一一对应的是（ ）
A.实数
B. 正数
C. 有理数
D. 整数 2．下列说法正确的是（ ）．
A ．（-5）是()25-的算术平方根
B ．16的平方根是4±
C ．2是-4的算术平方根
D ．64的立方根是4±
3．如果1-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．若 ()03212=-+++-z y x 则x+2y+z= （ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．0 5一组数
246
135
,343,22,16,27,2,14.3,313---π 这几个数中，无理数的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （ ） 6 下列说法不正确的是（ ） A 若a 为任一有理数，则a 的倒数是a
1
B 若b a b a ±==则,
C 若1-a =3则3
1=
a D 12
+x 一定是正数 7.一个自然数的算术平方根是x ，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是（ ） A. 12
+x B. 1+x C. 1+x D. 12+x 8.若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ） A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4 三．解答题：
1．2
22
318+-
2．
7
14
28-
3．3
3122a a a ? 4．)15)(15(-+
5．10101
5
40+- 6．
(
)
2
25+
7．已知322+-+-=x x y ，求x
y 的平方根；
6.2 实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： ① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如；2 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
思考：
（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a= , b= (4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数；
② 无理数都是无限小数；
③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥ 实数的绝对值都是非负实数；
⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 3. 实数大小比较的方法 一、平方法： 比较2
3
和3的大小
二、移动因式法： 比较32和23的大小
三、求差法： 比较2
1
5 和1的大小
四、求商法： 比较53
4
和11的大小
练习：
一、比较下列各组数的大小： ① 2-和3-
② 3和23-
③ 15和5
43
④ 7-和－2.45 ⑤ 3
27-与31
二、解答题 1、当2
1
≤a 时，化简 |12|4412-++-a a a
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，
化简 b a ++2
)1(+-b a
练习：平方根
1. 36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；
2. 平方数是它本身的数是 （ ） ； 平方数是它的相反数的数是 ( ) ；
3. 当x=__________ 时，12+x 有意义；
当x=__________ 时，2
2
1
-）（+x 有意义；
当x=__________ 时，13-x 有意义； 当x=__________ 时，x -有意义； 4.下列各式中，正确的是（ ）
(A)2)2(2
-=- (B) 9)3(2=- (C) 393-=- (D) 39±=±
5.使x ＋
1
x-2
有意义的x 的取值范围是（ ） Ａ．x ≥0 Ｂ．x ≠2 Ｃ．x>2 Ｄ．x ≥0且x ≠2
6.若a<0，则a
a 22
等于（ ）
A 、
21 B 、2
1- C 、±21
D 、0 7. 若|1－x|－2
)4(-x ＝2x －5，则x 的取值范围是（ ）
Ａ．x>1 Ｂ．x<4 Ｃ．1≤x ≤4 Ｄ．以上都不对 8. 求下列χ的值。
①162
x -9=40 ②4)12
=-x （
9. 计算
b
10a -1
⑴ 9
14414449
? ⑵494 ⑶41613+-
10.若1＜x ＜3
练习：立方根
1.当x= _________时，325+x 有意义；
2.若164=x ，则x=_________；若813=n ，则n= ________。
3.若23-=x ，则x= __________； 若x -=364，则x =__________；
4.若n 为正整数，则121+-n 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. ±1
D. 2n+1 5.求下列χ的值。
①8)12(3-=-x ②272)2(+x =-12
6.（1）18
7
8
333
3
-+- （2）83122)10(973.0123+--?-
（3）333)6(25.0343--?+- （4）36662101010++
（5）914420045243??? （6）)13
1
)(951()3
1
(3
2--+
-
初一数学知识点：实数的有关概念
初一数学知识点：实数的有关概念 实数的有关概念： 5.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7(毫米2)，这个数用科学记数法表示为( ) A.710-6 B. 0.710-6 C. 710-7 D. 7010-8 【考点归纳】 1.有理数的意义 ⑴数轴的三要素为( )、( ) 和( ). 数轴上的点与( )构成一一对应. ⑵实数a的相反数为________. 若a，b互为相反数，则 a+b=( ). ⑶非零实数a的倒数为______. 若a，b互为倒数，则ab=( ) . 3. 实数的分类( )和( )统称实数. 4.易错知识辨析 (1)近似数、有效数字如0.030是2个有效数字(3,0)精确到千分位;3.14105是3个有效数字;精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位. 例3 下列说法正确的是( ) A.近似数3.9103精确到十分位 B.按科学计数法表示的数8.04105其原数是80400 C.把数50430保留2个有效数字得5.0104.
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。D.用四舍五入得到的近似数8.1780精确到0.001 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
苏科版-数学-八年级上册-第四章 实数 复习教案
实数(复习) 教学目标 1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 2、感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。 教学重点 回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 教学难点 感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣 教学过程（教师） 二次备课 一、板书课题、出示目标 师：同学们，今天我们来学习实数复习（板书课题），本节课的学习目标 是（投影）： 1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 2、感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学 的兴趣。 二、自学指导 师：要达到本节课的学习目标不是靠老师讲，而是靠大家自学。为了方便 使大家顺利达到本节课的学习目标，请同学们认真看屏幕（投影）： 自学指导 认真书P100-108页。 1、会背平方根、立方根、实数、近似数的概念， 2、能求出一个数平方根、立方根及实际应用。 3、能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数或有几个有效数字。 三、先学 学生看书，教师巡视，督促学生认真看书。 1、学生独立看书，记会背平方根、立方根、实数、近似数的概念。矫正学生 的坐姿。 2、检测：学生互查背会背平方根、立方根、实数、近似数的概念，教师抽查 部分差生。 3、板演： 例1.把下列各数填入相应的集合内。 -3.14、6、38-、2π、3 1、4、-34、0.15、0 无理数集合｛ …｝， 正实数集合｛ …｝
例2.判断下列各题是否正确。 （1）2-3的相反数是3-2（） （2）2-3的绝对值是2-3（） （3）81的算术平方根是9 （） （4）0.06018精确到0.001是0.060 ( ) 例3.在数轴上作出与3对应的点。 例4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）． ⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； ⑵在图2、图3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 四、后教 （一）更正 师：请同学们认真看堂上板演板演的内容，如发现错误或有不同解法的同学请举手。（教师组织学生更正） 1、更正：①学生互相检查，记背什么是数的平方根、算术平方根、立方根？平方根和立方根有什么区别？出现什么错误？订证有误的说法。 ②板演的例1、2是否正确，出现什么问题？ 2、讨论：同桌或小组解疑，讨论 a．说一说有理数和无理数有什么区别？实数家庭中有哪些成员？ b．什么是数的平方根、算术平方根、立方根？平方根和立方根有什么区别？c．开方运算和乘方运算有什么联系？任何实数都可以开方运算吗？ d．关于本章内容你还有什么收获？你还有什么困惑？ 五、当堂训练 师：同学们，通过上面的检测，说明同学们会自学，自学的很好。还有
实数综合应用(讲义及答案)
实数综合应用（讲义） 课前预习 1. 在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序进行排列： 2 ，13 -3，1.5，1 2 2- -3-2-10123 请根据以上结果写出 _____< ． 2. 去绝对值： ①看____，定____；②依法则，留_____；③去括号，合并．按照去绝对值的操作要领处理下列问题：已知有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简： 1a b a b b +---+-． 精讲精练 1. 2的值（ ） A ．在1和2之间 B ．在2和3之间 C ．在3和4之间 D ．在4和5之间 2. a 和b 之间，即a b ，则a +b = ． 3. ） A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．0和1之间 4. a ，小数部分是b b -=________． 5. 若7a ，小数部分是b ，则a =_____， b =_____． 6. 若 9的小数部分分别是a 和b ，则a +b =____． 7. 设7，5的小数部分分别为a ，b ，则22 44b a b a -+-的值为______________． 8. 若a ，b 2a =+a b =________． 9. 用适当的方法比较大小． （1）37+与387- （2 ）7 3 （3）与0.5 （4）72-与8- （5 与 （6 （7）53与35 （8
（9 （10（113 （12 （13）671-与251- （14）132-与121 - 10. 521的大小关系是（ ） A 521 B ．52152 1 D 521 11. 现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1和3+1之间的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. a c b ++-． 13. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， c a b 14. 当x ≤01x -- 15. 已知a ，b ，c 为△ABC 2c a b -- 16. 0 =，则x 的取值范围是__________．
(完整word版)七年级实数讲义
1月17日复华七年级数学实数 12.1 实数的概念 一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。 分类： 有理数??? ? ?????????? ???负分数正分数 分数负整数零正整数整数 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数： )0,(≠q q p q p 都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？ 分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数 )0,(≠q q p q p 都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。 问题4：无限不循环小数还有吗？ Π是有理数码？ 二、 归纳 1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数包括正无理数和负无理数。 （3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数 （1）有理数和无理数统称为实数。(2)实数可以这样分类： 正有理数 有理数 零 ——有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 ——无限不循环小数 负无理数 三、 练习 1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、 7 22、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式) 2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。 3．是非题 (1) 无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数； (2)正实数包括正有理数和正无理数； (3)实数可以分为正实数和负实数两类； (4)带根号的数都是无理数； (5)不含根号的数不一定是有理数； (6)实数不是有理数就是无理数； (7)无限小数不能化为分数； 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数。(2) 0 有理数。(3) 无限不循环小数 无理数。 (4) 实数 有理数和无理数。(5) 正整数、0和负整数 整数。 (6) 有理数 有限小数和无限循环小数。 一 知识回顾： 1、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么， （ ） 叫做（ ） 的平方根. 2、正数有 个平方根，它们 。用a 表示其中正的平方根，读作“根号a ”另一个 负的平方根记为a - ，其中a 叫做 。 3、0有（ ）个平方根，是（ ）。负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做（ ）。 { { {
最新人教版七年级数学下册实数知识点
一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周） 二、本章概念 1.算术平方根 2.被开方数 3.平方根（二次方根） 4.开平方 5.立方根（三次方根） 6.开立方 7.根指数 8.无理数 9.实数 10.实数与数轴上的点一一对应. 三、分类的数学思想 1. 2. 四、估算 下列各数分别界于哪两个整数之间 1
【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”. 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）. 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 联系： （1）被开方数必须都为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根. （3）0的算术平方根与平方根同为0. 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）. 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根. 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）. 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 =. 25= 50 ,5 2500 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1. 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同. 3≥0a≥0. 4、公式：⑴)2=a（a≥0）=（a取任何数）.
初二上册第二章讲义
初二上册第二章讲义
第二章 实数 ——认识无理数 一、 知识要点 1.无理数定义： 无限不循环 小数。如：圆周率 有理数：任何有限小数或无限循环小数，若可以用有限小数或无限循环小数表示的也是有理数。 2.在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等。 二、课堂大练兵 1.下列说法正确的是（ ） A ．（）0是无理数 B ．是有理数 C ．是无理数 D ． 是有理数 2．下列各数中，是无理数的是（ ） A ．0 B ．﹣2 C ． D ． 3．下列实数中，是无理数的为（ ） A ．0 B ． C ．3.14 D ． 4．下列实数中是无理数的是（ ） A ． B ． C ． D ．3.14 5．在3.14，，π和这四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14和B．π和C．和D．π和 第二节平方根 一、知识要点 认识平方根、算术平方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a”，读作根号a。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。 ”，读作“正、负根号a”。 表示方法：正数a的平方根记做“a
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根只有零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性： a ≥0 二、 课堂大练兵 1.在式子 )))2302,12203,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.下列各式一定是二次根式的是（ ） 7 -3 2m 21 a +a b 3.若()4 2 4A a =+A =（ ） A. 2 4a + B. 2 2a + C. () 2 2 2a + D. ()2 2 4a + 4．下列计算正确的 是 （ ） ①6 9494=-?-=--))((；② 6 9494=?=--))((； ③ 1 45454522=-?+=-；④ 1 45452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3
【七年级寒假班讲义】第4讲 实数复习(学生版)
1.实数的分类 ???????????? ??? ? ?????????????????? ? ????????? 正整数自然数 整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法． 实数 实数的运算 数的开方 运算性质 分数指数幂 有理数指数幂 有理数 用数轴上的点表示实数 无理数 实数的分类 运算法则及运算性质 近似数及近似计算 实数的复习 知识结构 模块一 实数的分类与表示 知识精讲
- 2 - ★数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0； 4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数 即：ab =0； 6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数.有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________. 【例1】 填空： 这些数中：5 431610240.3313 1.532533253332 95 ---。、、、、、、 有限小数有_________________________________________________； 无限小数有_________________________________________________； 有理数有________________________________________________； 无理数有_______________________________________________； 实数有_______________________________________________； 小数有______________________________________________． 【例2】 请你辨别： 如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形 图1 边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个． 【例3】 下列语句正确的是（ ） A ．3.78788788878888是无理数 B ．无理数分正无理数、零、负无理数 C ．无限小数不能化成分数 D ．无限不循环小数是无理数 【例4】 填空： （1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________； （2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________； （3）设实数a ≠0，则a 与它的倒数、相反数三个数的和等于____________， 例题解析
初一数学实数计算题附答案
初一数学实数计算题附 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
实数计算题练习 1 = 2 ．= = = = = = = = 10. = = = 13. = 14. ( )2013 1 1 2 +- = 15. = = 17. ( ( -= = 2
= = 2 = = 24 )4= 25. = - = = = = 2 1 2 ?? -= ? ?? 31. ( )() 20130 312014 -+-? = 1 12014 2 ?? -= ? ?? 33. 31 22 = 1 16 += = 36. 21 += 3
= += 2 4 3 ÷?= 13 += + = 3 = 43. ()3 211250 x--= 44. ()2 4190 x--= 45. 41 x-= 46. ()361 121 64 x +-= 47. ()3 20.1 x+= 2 = 49. 3 3 26 4 x-= 50. () 2 2110 x+= 51. 2322 x= 52. ()3 0.70.027 x-= 53. 3 2540 x-= 54. 3 98 1 27 x+=- 55. ()29 21 8 x-= 实数计算题答案： 1. 1 4 7 2.3- 3. 9 4. 4 5 5. 0.2 6. 0.8 7. 2 8. 2 3 - 9. 1 10. 3 2 - 11. 2 12. 11 24 - 13. 2 14. 4
5 -21. 133- 22. 60.15- 24. -1 25. 4 26. 325 27. 323 28. 2.2 29. 125 34. -3 35. 144 36. 1- 39. 5 40. 241. 1 26- 42. 5x =± 43. 3x = 44. 122x =,12x =- 45. 3x =+ 5x =-46. 1 8x = 47. 1950x = 48. 13x = 49. 32x = 50. 2x =± 51. 18x =± 52. 1 4x = 53. 3x = 54. 5 3x =- 55. 314x =,1 4x =
北师大版八年级数学上册第二章：实数授课讲义
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第二章：实数讲义 【无理数】 1. 定义： 2. 常见无理数的几种类型： （1） （2） （3） （4） （5） 3.有理数与无理数的区别： （1） （2） 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义： 2.算术平方根具有双重非负性： 3.算术平方根与平方根的关系： 例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 平方根： 1.定义： 2.性质： （1） （2） （3） 例（1）若x 的平方根是±2，则x= ； （2）当x 时，x 23－有意义。 （3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少这个正数是多少
七年级下册数学实数知识点总结
第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
实数一对一辅导讲义
第一课时 实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小： （1）32.13 1.2， （2）3 32-34 3-， （3）337。 课前检测
1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如π等； （3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根 （1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。 要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根 （又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算： 一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-?
七下实数辅导讲义终极版
第六章实数辅导讲义 【知识要点】 1、平方根 （1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 即：如果x2=a，则x叫做a 的平方根，记作“a称为被开方数）。 （2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根. （3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方. （4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a （5 a≥0。 （6）公式： 2=a（a≥0）； 2、立方根 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a a”。 （2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 （3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、平方根与立方根与区别： 只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成） 5、实数的分类 （1）按实数的定义分类： （2）按实数的正负分类：
????? ? ? ? ? ??????????????????? ?负无理数负分数 负整数负有理数负实数负数） 零（既不是正数也不是正无理数正分数 正整数 正有理数正实数实数 （3）实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系． （4）、绝对值 ①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。 一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。 注意： 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3 有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴ 2 =a （a ≥0 （a 取任何数）。 5、区分 2=a （a ≥0），与 2 a =a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如 8、.识记常用平方表：（自行完成） 9.易混淆的三个数（自行分析它们）： （1）（2）（3） 10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：
初中数学竞赛辅导讲义全
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
(人教版)七年级数学下学期实数知识点归纳及常见考题
七年级数学（下）辅导资料（4） 知识整理：石怿成华丽
【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 25= =. ,5 2500 50 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0）a取任何数）。 5、区分2=a（a≥0），与2a=a
实数讲义
2.实数及其运算 一、基础知识和方法要点 实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。 思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？ 思考题2 叙述引入数轴的必要性 ； 思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？ 思考题4 非负数有哪些性质？举例说明； 思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？ 思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？ 思考题7怎样定义无理数的概念？ 数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？ 思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？ 二、典型问题分析 1. 实数的运算 1.计算.1009998143213211??++??+?? 2.设A=??? ? ??+++?4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算： 4. 比较 与2的大小.
5. 已知,其中n为正整数.证明： 2.数轴与绝对值 1.已知<-3,化简：. 2.化简:|3x+1|+|2x-1| . 3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的 值. 4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值. 5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值. 6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且 ||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值. 3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算 1.证明循环小数 2.615454 54=2.61是有理数. 2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结 论： (1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数; (3)(x+1)2是有理数; (4)(x-1)2是无理数. 哪些是正确的?哪些是错误的? 3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数.
七年级数学实数练习题及答案
实数练习题
解析： 该瓶的容积相当于底面与瓶底面相同，高为25 cm 的圆柱体的体积. 答案： 解：1L=1000cm 3，由题意得瓶子的底面积为4025 1000=（cm 2） （1） 瓶内溶液的体积是 40×20=800（cm 3） （2） 设圆柱形杯子的内底面半径为r ，则 πr 2×10=800， ∴r=π80 ≈5.0（cm ） 小结： 解此类等积变形问题的关键是根据体积不变确定数量关系或建立等量关系. 例6 规律探究：观察 284222-=25555?==,即222255-=；32793333=310101010?-==,即333=31010 -. （1）猜想5526- 等于什么，并通过计算验证你的猜想； （2）写出符合这一规律的一般等式. 解析：从给出的运算过程中找出规律，然后依规律计算
答案：（1）55552626 -=, 验证：51252555552626 2626?-===; (2) 22-11 n n n n n n =++ (n 为大于0的自然数). 小结： 此类规律型问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地计算，必要的观察，猜想，归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论. 举一反三： 1. 某正数的平方根为3a 和3 92-a ，则这个数为（）. A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 解析：由平方根定义知3a 与3 92-a 互为相反数， 所以3a +3 92-a =0, 解得a=3， 所以这个数的平方根为±1, 所以这个数为1.选A. 2. 如图3-3，数轴上A ，B 两点表示的数分别为-1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数为（ ）. A. -2-3 B. -1-3 C. -2+3 D. 1+3 解析：∵AB=3+1, ∴C 点表示的数为-1-（3+1)=-2-3. 选A
最新人教版七年级下册数学《实数》知识归纳
实数 一、本章知识结构 二、基础知识 1．算术平方根。 （1）定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 记为a ”,a 叫做被开方数。 （2）规定：0的算术平方根是0 （3）性质：算术平方根a 具有双重非负性： ①被开方数a 是非负数，即a ≥0. ②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。 也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数， 0的算术平方根是（ 0 ）， 负数没有算术平方根。 2．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根或二次方根 （2）非负数a 的平方根的表示方法: a ± （3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
0 只有一个平方根，它是0 。 负数没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a 。 3.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同算术平方根要求是正数 ②个数不同平方根有2个，算术平方根1个 ③表示方法不同：算术平方根为a ，平方根为±a 联系：①具有包含关系：算术平方根平方根? ②存在条件相同：0≥a ③0的平方根和算术平方根都是0。 4．a 2的算术平方根的性质 a (a ≥0) 2a =│a │= -a (a<0) 从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0) 5．立方根 （1） 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根 （2） 数a 的立方根的表示方法:3a （3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数 （4） 两个重要的公式 为任何数） 为任何数）a a a a a (()3(3333== 6．开方运算： （1）定义： ①开平方运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。 ②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方 （2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。 7．无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数 8．有理数与无理数的区别
实数培优讲义
实数培优讲义 考点·方法·破译 1．平方根与立方根： 若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根． 若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a． 2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对 应．任何有理数都可以表示为分数p q （p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ． 经典·考题·赏析 【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值． 【变式题组】 01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于152 的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____． 04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____． 输入x 取算术平方根输出y 是无理数 是有理数
【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于 ( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 【变式题组】 0l 3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()2 30b -=，则 a b 的平方根是____． 03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 04．已知x 1 x π -的值是( ) A ．1 1π - B ．1 1π + C ． 1 1π - D ．无法确定 【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根． 【变式题组】 01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ． 02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123 π +）x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____． 【例4】若a ?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值． 【变式题组】 01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．
北师大版-数学-八年级上册-八上 第二章 实数 寒假复习讲义
实数的计算 知识体系 一、算术平方根的有关概念 1a ≥0） 2，算术平方根的性质：（1）2＝a （a ≥0）a ，（2a ≥0，b ≥0） a ≥0， b ＞0）. 3，最简算术平方根：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的算术平方根叫最简算术平方根 4，同类算术平方根：化成最简算术平方根后，被开方式相同的算术平方根叫做同类算术平方根 5，分母有理化：（1）互为有理化因式：两个带有算术平方根的代数式相乘不再含有根式，则这两个代数式 叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：，a +与a －，+与－， 与； （2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式. 题型体系 一、算数平方根的基本化简 题型一 算数平方根的定义的考察 例1、函数4 2113-+-=x x y 的取值范围为 。 例2、一个数的算数平方根是a ，则比这个数大5的数是 。 练习1x 应满足的条件是（ ） A.x ≥3 B. x ＜3 C. x ＞3 D. x ≤3 题型二 化简算术平方根 例1、化简 777-＝＿＿＿. 例2、已知2＜x ＜5________. 练习1、若0≤x ，则化简21x x - -的结果是 。 练习2 ） A.－3 B.3或－3 C.3 D.9
题型三 最简算术平方根 同类算术平方根 例1、如果最简算术平方根 83-a 与a 217-是同类算术平方根，则a ＝____. 练习1、若a a 可能是（ ） A.－3 C. 二 算术平方根的运算 1、 算术平方根的运算：（1）加减运算：化成同类算术平方根后，再合并同类算术平方根； （2）乘除运算： 再化成最简算术平方根。 2、 充分利用a ＝2（a ≥0）；a －b ＝)（a ≥0，b ≥0）. 题型体系 题型一 算术平方根的加减乘除运算 例1的结果是（ ） A.6 B.2 C.2 D.1.4 例2、下列计算中，正确的是（ ） B. ＝3 ＝ 3 练习1、下列计算正确的是（ ） 4 －＝1 C. ＝4 ＝2 练习2、下列计算正确的是（ ） = 1=-= C.(21+= =例3、计算： 132-－23＋(－52)0－4 12.