浅谈数学分析中求极限的常用方法.
浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in
mathematical analysis
摘要
求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。因此要学好数学分析，就要学好极限。解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。因为极限贯穿于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。
关键词：数列极限；函数极限；方法
Preliminary analysis on the common method of limit problem in
mathematical analysis
Abstract
Limit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progression. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis.
目录
摘要 ................................................................................................................................ I Abstract ................................................................................................................................ III 引言 . (1)
1 极限相关的概念 (2)
1.1 数列极限 (2)
1.2 函数极限 (2)
1.3 函数极限和数列极限的关系 (3)
2 求极限的常用方法 (4)
2.1 极限的四则运算法则 (4)
2.2 两个重要极限 (5)
2.3 用函数的连续性求极限 (7)
2.4 等价无穷小代换 (8)
2.5 洛必达法则 (9)
2.6 根据定积分的定义求极限 (11)
2.7 利用泰勒公式求极限 (12)
2.8 利用极限存在准则求极限 (13)
2.9 拉格朗日中值定理求极限 (15)
3 求极限的小技巧 (15)
3.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 (16)
3.2 换元法 (16)
3.3 数列极限转化成函数极限 (17)
结论 (18)
参考文献 (19)
引言
求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。例如求导数、积分、级数都是建立在极限概念之上的，所以我们要培养极限思想，首先，我们应该学会计算极限问题。
我国古代，数学家刘徽首创割圆术，便是首次在解决问题中运用了极限思想。所谓割圆术就是不断地增加圆内接多边形的边数来求得圆周率。即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”。
极限思想从产生、发展到完善经历了很长时间的历史过程。到了19世纪时，法国数学家柯西通过总结前人的成果的基础上，才比较完整的阐述了极限的概念与理论。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
极限的概念与理论为后人研究极限提供了更好的基础。本文，笔者将对常用的求极限的方法进行总结，并以例题形式加深了解。通过此种方式，使读者掌握求极限的方法和技巧。
1 极限相关的概念[1]
极限的概念对于求极限问题是基础，我们要从基本概念出发，要清晰的明确极限问题，才可以更深入的解决极限问题，所以，首先我们要了解掌握相关的概念。
1.1 数列极限
定义1.1
设{}n x 是一给定数列，a 是一个实常数。如果对于任意给定的0>ε，可以找到正整数N ，使得当N n >时，成立ε<-a x n ，则称数列{}n x 收敛于a （或a 是数列{}n x 的极限），记为a x n n =∞
→lim ，有时也记为a x n →（∞→n ）。如果不存在实数a ，使{}
n x 收敛于a ，则称数列{}n x 发散。
性质：
（1）极限的唯一性：收敛数列的极限必唯一。
（2）数列的有界性：一个数列{}n x ，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。 （3）数列极限运算法则：设a x n n =∞
→lim ，b x n n =∞
→lim ，则
①()b a y x y x n n n n n n n ±=±=±∞
→∞
→∞
→lim lim lim ；
②()b a y x y x n n n n n n n ?=?=?∞
→∞
→∞
→lim lim lim ；
③ca x c cx n n n n ==∞
→∞
→lim lim （c 为常数）；
④b a y x y x n n n n n
n n ==∞
→∞
→∞→lim lim lim （0≠b ）。 （4）保序性：若a x n n =∞
→lim ，b y n n =∞
→lim ，且b a <，则+∈?N N ，N n >?，有n n y x <。
（5）夹逼定理：设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，若n n n z y x ≤≤（+∈N n ），且a z x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，则a y n n =∞
→lim 。
（6）单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必有极限。
1.2 函数极限
定义1.2
设函数()x f y =在点0x 的某个去心邻域中有定义，即存在0>ρ，使
(){}f D x x O ?00\,ρ。如果实数A ，对于任意给定的0>ε，可以找到0>δ，使得当
δ<-<00x x 时，成立ε<-A x f )(，则称A 是函数()x f 在点0x 的极限，记为
A x f o
x n =→)(lim ，或如果不存在具有上述性质的实数A ，则称函数()x f 在点0x 的极限不
存在。
性质：
（1） 极限的唯一性：设A 与B 都是函数()x f 在点0x 的极限，则A=B 。 （2） 局部保序性：若A x f o
x n =→)(lim ，B x g o
x n =→)(lim ，且A>B ，则存在0>δ，当
δ<-<00x x 时，成立)()(x g x f >。
（3） 夹逼性：若存在0>r ，使得当r x x <-<00时，成立)()()(x h x f x g ≤≤,
且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，则A x f x x =→)(lim 0
。
（4） 函数极限的四则运算：设A x f o
x n =→)(lim ，B x g o
x n =→)(lim ，则
①()B A x g x f x x βαβα+=+→)()(lim 0
（α，β是常数）；
②()AB x g x f x x =→)()(lim 0
；
③B
A
x g x f x x =→)()(lim
（0≠B ）.
1.3 函数极限和数列极限的关系
Heine 定理：
A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是：对于任意满足条件0lim x x n n =∞→，且0
x x n ≠（ 3,2,1=n ）的数列{}n x ，相应的函数值数列{})(n x f 成立A x f n n =∞
→)(lim 。
2 求极限的常用方法
2.1 极限的四则运算法则
运用极限的四则运算法则求极限是在数学分析中一种常见且简单的运算方法。要运用极限的四则运算法则进行求极限，首先，我们要确定两个数列极限或函数极限分别存在，然后，我们才可以根据运算法则的具体内容要求进行下一步计算，最终，求得数列极限或函数极限，下面，我们将根据给出的例题来进一步掌握这种方法。
例2.1 求下列数列极限
（1）??? ??+∞→n n n 31lim 3；
（2）22
32lim n n n n n +?∞→；
（3）3
3
663lim n n n n +∞→；
（4）1131
lim 22--+→∞n n n n n 。 解析：
（1）???
?
?+∞→n n n 31lim 3=0003lim 1lim 3=+=+∞→∞→n n n n ；
（2）03031lim 2lim 32lim 22=?=???
??+?=+?∞→∞→∞→n n n n n n n n n ；
（3）31311lim 3663lim 233=?=??
? ??+=+∞→∞→n n n n n n ； （4）2
1131lim 11131
1lim 1131lim
222=-=-??
? ??-+=--+∞→∞→∞→n n n n n n n n n 。 以上例题对应数列极限运算法则可一一求出，需要注意的是使用数列极限运算法则时，要求是各部分极限必须存在。
例2.2 求下列函数极限 （1）)1(lim 22
-→x x ；
（2）???
??++→411lim 22x
x x ；
（3）()
?????
???? ??+++-→411312lim 222x x x x ；
（4）()??? ??++-→4111lim 222x x x x ；
（5）41
11lim 2
22++-→x
x x x 。
解析：
（1）3)1(lim 22
=-→x x ；
（2）141
43411lim 22=+=??? ??++→x
x x ；
（3）()
91332411312lim 222=?+?=???
??
???? ??+++-→x x x x ；
（4）()
3134111lim 222=?=???
??++-→x
x x x ；
（5）31
3
4111lim
2
22==++-→x x x x 。 根据四则运算求函数极限，可以解出以上例题。需要注意的是解题过程中要运用分子（分母）有理化法（与分子分母同除以x 的最高次幂相结合）。
用过运用极限的四则运算法则，我们可以把一个极限问题，拆分成两个极限同时存在，并在这两个极限中做运算。这样做，可以让一些看起来复杂繁琐的求极限问题变得清晰明了，学生可以通过多次练习，学会拆分。
2.2 两个重要极限
殷红燕[2]在《两个重要极限公式求特定类型的极限的方法》一文中说道，“对于一般的极限，利用一些常用的极限公式以及极限的运算法则一般都很容易求得结果。
但对一些00、∞
∞
、∞∞-、∞?0、∞1等未定式的极限，在学生还未学到洛必达法则
时，学生还往往不知如何入手。”那么，此时，这些特殊形式的未定式，我们便可以利用两个重要极限去求。
两个重要极限分别是1sin lim
0=→x x x 和e 11lim =??
?
??+∞→x
x x 。 下面我们通过例题可以进一步的理解两个重要极限的作用。 例2.3 求下列极限。 （1）x x x 42sin lim 0→；
（2）x
x
x 53sin lim
0→；
（3）()1
1sin lim
20--→x x x ； （4）x
x x 3
sin
lim 0
→。 解析： （1）21
22sin lim 2122sin 21lim 42sin lim
000==?=→→→x x x x x x x x x ；
（2）5
3
33sin lim 5333sin 53lim 53sin lim
000==?=→→→x x x x x x x x x ；
（3）()()()()()111sin lim 11111sin lim 1
1sin lim
0020=--+=-+-=--→→→x x x x x x x x x x x ； （4）333
sin
3lim 3
sin
lim 0
=?
=→→x
x x x x x 。
使用1s i n lim
0=→x x x 的时候需要注意的是它的类型属于0
型，可以推广成
()()
1s i n lim
=→x x x ??α，条件是α→x 时，()0→x ?，其中α可为有限值，也可为∞。
例2.4 求下列极限。
（1）x
x x ???
??+∞
→21lim ；
（2）()x
x x 20
21lim +→；
（3）x
x x x ???
??+∞→1lim ；
（4）x
x x x 223lim ??? ??++∞→。
解析：
（1）因为2
2
2121?
??
????
?
??? ??
+
=??? ?
?+x x x x ，且e 21lim 2
=??
?
?
?
+
∞
→x x x ，所以有22
2
2
2
e 21lim 21lim 21lim =???
?
???
?
???
??+=???????
???
? ??+=??? ??+∞→∞→∞→x x x x x x x x x ； （2）因为()
()4
21
2
2121??
????+=+x x
x x ，且()
e 21lim 21
=+→x
x x ，所以有
()
()()44
21
04
2102
e 21l i m 21l i m 21l i m =??
????+=??????+=+→→→x x x x x
x x x x ； （3）e 111lim 1111lim 1lim =?
??
?
?+=??? ??+=???
??+∞→∞→∞→x x x x x
x x x x x ； （4）2
4
2
22e 211211lim 23lim =??
? ??++??????????? ??++=?
?
?
??++-+∞
→∞→x x x x x x x
x 。 使用e 11lim =??
? ??+∞
→x
x x 的时候需要注意的是它的类型属于∞
1型，可以推广成
()()
()
e 1lim 1=+→x x x ?α
?，条件是当α→x 时，()0→x ?，其中α可为有限值，也可为∞。
2.3 用函数的连续性求极限
首先，我们应该知道连续函数的定义：设函数()x f 在点0x 的某个邻域中有定义，并且成立()()00
lim x f x f x x =→，则称函数()x f 在点0x 连续，而称0x 是函数()x f 的连续点。
其次，由此可知，连续函数在某点的极限就是函数值，从而利用函数的连续性直接求解极限[3]。
下面我们通过例题进一步了解。
例2.5 求下列函数极限 （1）x x
x x 2cos sin cos lim
4
-→
π；
（2）1
21
lim 221---→x x x x ；
（3）()x
a a x x 3
3
lim -+→；
（4）1
342lim 42-+-+∞→x x x x x 。
解析： （1）2
2
4
sin
4cos 1sin cos 1
lim sin cos sin cos lim 2cos sin cos lim
4
224
4
=
+=-=--=-→→→
π
ππππ
x
x x x x x x x x x x x ； （2）()()()()5
3121lim 11211lim
121
lim 22222=++=-+-+=---→→→x x x x x x x x x x x x ； （3）()()
22202
2303
3
333lim 33lim lim
a a xa x x
xa a x x x
a a x x x x =++=++=-+→→→； （4）00
030001134
12lim 1342lim 4
343242=-+-+=-+-+=-+-+∞→∞→x
x x x x x x x x x x 。
注意：用函数连续性求函数极限时，要注意分母不可以为零，并且分子分母要进行约分，如上述例题中（1）、（2），约分后继续计算。
2.4 等价无穷小代换
等价无穷小量定义：若()()
1lim 0=→x v x u x x ，称当0x x →时，()x u 与()x v 是等价无穷小量，
记为()()x v x u ~ ()0x x →。
重要的等价无穷小：x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，
1sec ~2
1~
cos 12
--x x x ，a x a x ln ~1-（a a x ln ~1-），x e x ~1-，x x ~)1ln(+，
aBx Bx a
~1)1(-+，x n
x n
1
~
1])1[(1-+，a x x a ln ~)1(log +，ax x a ~)1(+（0≠a ）。
例2.6 求下列极限。
（1）)1ln(sin lim 220+→x x
x ；
（2）x
x
x x 3sin sin tan lim
30
-→。
解析：（1） 1lim )1ln(sin lim 22
0220==+→→x
x x x x x ；
（2）54
1)3(21
lim 3sin )1(sec sin lim 3sin sin tan lim 32
03030=?=-=-→→→x x x x x x x x x x x x 。 注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减中可以整体替换，不能单独替换）。比如例题6（2），若解成，当0→x 时，x x ~sin ，
x x ~tan ，x x 3~3tan ，则得到03lim 3sin sin tan lim
030=-=-→→x
x
x x x x x x ，显然这种解法是错误的。 2.5 洛必达法则
洛必达法则是由法国著名数学家洛必达在其著作《阐述曲线的无穷小分析》中提出来的法则，所以以他的名字来命名。洛必达法则是指：在一定条件下，分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
在夏滨[4]的《利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨》中，指出“两个无穷小量或两个无穷大量之比在给定的极限过程中，随着这些无穷小量或无穷大量类型不同，可以有完全不同的变化状态，这种类型称为未定式”。
我们通过例题进一步了解洛必达法则以及掌握使用中应该注意的问题。 例2.7 用洛必达法则求下列函数极限。 （1）3
sin lim
x
x
x x -→； （2）x
x e x e x
x x sin 2lim 0----→；
（3）()x
x x +→1ln lim
0； （4）x x x 2cot lim 0
→。
解析：（1）6
1321lim 3cos 1lim sin lim 22
02030==-=-→→→x x
x x x x x x x x ；
（2）2cos lim sin lim cos 12lim sin 2lim
0000=+=-=--+=----→-→-→-→x e e x e e x e e x
x e x e x
x x x x x x x x x x x ； （3）()111
lim 111lim 1ln lim 000=+=+=+→→→x
x x x x x x ；
（4）21
22sec 1lim 2tan lim 2cot lim 2000=?==→→→x x x x x x x x 。
注意：应用洛必达法则求函数极限时，应满足00型或∞
∞
型，其他形式通过一定的变换得到
00型或∞
∞
型也可。洛必达法则常常与等价无穷小结合来求函数极限，这样可以避免多次运用洛必达法则的繁琐，使极限更容易得出。
例2.8 求??? ?
?
+∞→n n n n 1sin ln lim 2的极限。
解析：
设n
x 1
=
，当∞→n 时，0→x 6
1ln ln lim ln lim ln lim ln lim 1sin 1ln lim sin ln lim sin ln 1lim
1sin ln lim 6
16
cos 0
6sin 0
31cos 0
sin 0
1sin 1sin 1
01
02
22
32
-
======???
???????
?
??-+=??
? ??=??
?
??=??? ??
∴-
-→-→-→-→--→→→+∞→e
e
e
e
e
x x x x x x x n n n x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x n
注意：用洛必达法则不可以直接求数列极限，需要把数列极限转换成函数极限，并且符合运用洛必达法则的条件。由例题8我们可知，求极限可以多种方法结合，此题中就结合了重要极限，等价无穷小代换和洛必达法则。
2.6 根据定积分的定义求极限
定积分的概念与性质：()()i n
i i b
a x f dx x f ?=∑?=→1
lim ξλ，1--=?i i i x x x ，
b x x L x x a n n ==-＜＜＜＜110，()i i i x x ,1-∈ξ。
利用定积分求极限的步骤：（1）寻找被积函数；（2）确定被积的上下限；（3）确定函数表达式。
例2.9 求()()()()n
n n n n n n n
++++∞→ 3211lim
的值。 解析：从题目可以看出无法直接运用积分思想，所以运用x e x =ln （0>x ）得到
()()()()()()()()
()()()e
e e e
e
e
e e e e e
e
e
e
e
e
e
x dx
x dx x
x
x x dx
x x
x x
x n x x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n
i i i
n n
i i n
i i n n
n
n
4
lim lim lim lim lim lim lim lim 4ln 1
2ln 2)|1ln(12ln 1112ln 1|1ln 1ln )1ln(lim
)1ln(1ln 11ln 131ln 121ln 111ln 113121ln 11ln 11312111ln 11312111ln 321ln 3211ln
10
101
0101
1
1
1
====?
=?
==∑=∑=∑
=======-++-??
? ??+--+-
+?+?+?+∞
→?+∞
→??? ??+++??? ??++??? ??++??? ??+∞
→??
??????? ??+++??? ??++??? ??++??? ??+∞
→????????? ??+??? ??+??? ??+??? ??+∞
→?
?? ??+??? ??+??? ??+??? ??+∞
→++++∞
→++++∞
→=→== 原式
注意：此种类型题，不能直接求出极限，但可以观察是否可以转换成定积分形式，然后利用定积分定义求解，从求数列极限变成求定积分问题，需要注意的是求解过程过长，需要仔细认真的计算每一步骤，防止最后计算结果出现错误。
2.7 利用泰勒公式求极限
泰勒公式：
()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+=002
00''00'
0!
!2 皮亚诺形式余项：()()[]
n
n x x o x R 0-=
带有皮亚诺形式余项的麦克劳林公式：
()()()()()()()
n n
n x o x n f x f x f f x f ++++=!
0!20002'''
麦克劳林（带有皮亚诺余项的）公式：
（1）()
n n
x
x o n x x x e +++++=!
!212 ；
（2）()()
m m m x o m x x x x x 212153!2)1(!
5!3sin +-+++-=-- ；
（3）()()()1
2242!21!
4!21cos ++-+++-=m m
m x o m x x x x ；
（4）()
()
n n
n x o n x
x x x x +-+++-=+-132132)1ln( ； （5）()()()()()n n x o x n n x x x ++--++-+
+=+!
11!21112ααααααα
； （6）
()
n n x o x x x x
+++++=- 2111
。 例2.10 （1）x
x
x x x 30sin cos sin lim
-→； （2）2
1
sin lim x x x x ??
? ??→； 解析：
（1）()
2
2!21cos x o x x +-=，()
33!
3sin x o x x x +-=
[]()
()
3
1!2!3lim )()(!21)(!3lim sin cos sin lim 3
33
3
3032233030=+++--=+??????+--??????+-=-→→→x o x x o x x x x x o x x o x x x o x x x x x x x x x
（2）()3
3!3sin x o x x x +-=，()()
222
1ln x o x x x +-=+
()()
()()6
116
1
0610
!31ln 10
!3ln 1
sin ln
10
1
0lim lim lim lim lim sin lim 22233
2
2
-+-→???
??+-→???
? ??+-→+-
→→→======??
?
??e
e
e
e
e e
x x o x xx o xx x x x o x x x x
x o x x x
x x x x x x x
注意：求极限时，好多时候符合洛必达法则，但是使用起来会出现无限求导的情况，得不到答案，所以，此时我们因该考虑用泰勒展开式来求解，或者直接套用麦克劳林公式结合等价无穷小来进行计算。
2.8 利用极限存在准则求数列极限
极限存在的两个重要准则： （1）单调有界准则； （2）夹逼准则。 例2.11 求下列数列极限
（1）????
??++++++∞→n n n n n 2221211
1lim ；
（2）n n
k n n n a a a +++∞
→ 21lim ，其中0>i a （k i ,2,1=）。
解析： （1）因为n n
n n n n n ?+>++++
+>
?+2
2
2
2
12
11111 ，
并且1111lim
lim
2
=+=+∞
→∞
→n
n
n n
n n ，1111lim
1
lim 2
2
=+
=+∞
→∞
→n n n n n ，
由夹逼定理可知112111lim 222=????
??++++++∞→n n n n n 。 （2）设{}k a a a a 21,max =，
a a a a a n n n
n
k n n =>+++ 21，a k ka a a a n
n n
n
n k n n 121
=<+++ ，
a a n =∞
→lim ，a a k n
n =∞
→1
lim ，由夹逼定理可知a a a a n n
k n n n =+++∞
→ 21lim 。 例2.12 利用单调有界准则证明下列数列{}n x 收敛，并求极限。
（1）01>x ，???? ??+=+n n n x a x x 211（ ,2,1,0=>n a ）； （2）10< 1 11≥-+n n x x （ ,2,1=n ）。 解析： （1）a x a x x a x x n n n n n =??≥???? ??+=+221211，() 1121121221=??? ? ??+≤???? ??+=+a a x a x x n n n ， 故{}n x 单调递减且有下界； 由单调有界原理知{}n x 极限存在，设极限为A ，对???? ??+=+n n n x a x x 211两边求极限并结合0>A 解得a A x n n ==∞ →lim 。 （2） () ()12141 141 1=? ? ? ??-+?≥-≥+n n n n n n x x x x x x ，所以单调递增。 又因为1 →lim ，因为10< ()4 1 11≥ -+n n x x ，等式两边取极限 ()()()4 11411lim lim 41lim 1lim 11≥-?≥-??≥-∞→+∞→∞→+∞ →a a x x x x n n n n n n n n 由平均值不等式：()()41 2112 =??? ??-+≤-a a a a 等号当且仅当a a -=1，也就是21= a 时成立，所以2 1 =a 。 2.9 拉格朗日中值定理求极限 拉格朗日中值定理： 如果函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,内可导， 那么在()b a ,内至少有一点ξ（b a <<ξ）使得()()()()a b f a f b f -=-ξ'成立。 例2.13 求下列极限 （1）x x e e x x x sin lim sin 0--→； 解析：（1）此题可用洛必达法则计算，在这里不做过多赘述。此题还可用拉格朗日中值定理进行计算，过程如下： 设()x e x f =，有()x f 在[]x x sin ,连续，在()x x sin ,内可导，根据拉格朗日中值定理，则存在()x x sin ,∈ξ， ()ξξe x x e e x x e e f x x x x =--=--= s i n s i n s i n s i n ' ， 当0→x 时，则0sin →x ，由介值定理0→ξ，则 1l i m s i n l i m s i n 0==--→→ξe x x e e x x x x . 3 求极限的小技巧 极限的求法中，除了常见的求法之外，还有一些可以应用的小技巧，使极限问题 变得简单，方便。 3.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量代数和仍未无穷小量；（2）有限个无穷小之积仍未无穷小量；（3）有界函数与无穷小之积为无穷小量；（4）常数与无穷小量之积仍未无穷小量（5）恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量，无穷大的倒数为无穷小。 根据无穷小量的性质（3），我们可以计算函数极限。 例3.1 求x x x 1sin lim ∞ →。 解析：111 lim 1 1sin lim 1sin lim ===∞→∞→∞→x x x x x x x x x 3.2 换元法 在计算极限时，换元法是一种很重要的技巧，掌握并且灵活使用换元法会使计算 过程更加简单。 例3.2 求()[]4 sin sin sin sin lim x x x x x -→。 解法一： ()[]()()()()()616sin lim 6cos sin sin lim 3sin cos 1cos lim 3cos sin cos cos lim sin sin sin lim sin sin sin sin lim 002030304 ==?=-=?-=-=-→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解法二： 设t x =sin ，当0→x 时0→t ，则 ()[]()6 16s i n lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin sin lim sin sin sin sin lim 02030304 ==-=-=-=-→→→→→t t t t t t t x x x x x x x t t t x x 学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日 摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理 Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4) 五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6) 内容摘要 引言： 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一．利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义：函数)(x f 在0x 附近有定义，对于任意的x ?， 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在，则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ，然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1：求a x x a a x x a a a a x --→lim 解：原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ，令a x x a y -=， 当a x →时，0→y ，故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许 1、设0,01>>a x ，)(211n n n x a x x +=+，证明：}{n x 收敛并求其极限。 证明：显然0>n x ，又a x a x x n n n ≥+= +)(211（中学中不等式） 又1)1(2121≤+=+n n n x a x x ，所以}{n x 单调减少，有下界，故}{n x 收敛，令A x n n =∞→lim ，由 )(21A a A A +=，则a A =。 2、求20cos 2cos cos 1lim x nx x x n x -→。 解答： +-+-=-→→→2 020202cos cos cos lim cos 1lim cos 2cos cos 1lim x x x x x x x nx x x x x n x 2 10cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim x nx x x x n x x n n x --+-→，而21cos 1lim 20=-→x x x ， 2020202cos 1lim 2cos 1cos lim 2cos cos cos lim x x x x x x x x x x x x -=-=-→→→， 因为22~cos 1x a x a -，所以22)2(41~2cos 1x x x =-，于是12cos 1lim 2 0=-→x x x ， 同理 ,233cos 2cos cos 2cos cos lim 230=-→x x x x x x x ， 2cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim 2 10n x nx x x x n x x n n x =---→ ， 所以原式4 )1(22221+=+++= n n n 。 3、设0,0>>b a ，求][lim 0x b a x x ?+→。 解答：令θ+=n x b ，其中10<<θ，当+→0x 时，+∞→n ，则θ+=n b x ， 于是a b n n a b x b a x n x =?+=?∞→+→)(lim ][lim 0θ。 4、⑴证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。 本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法 学生姓名：卫瑞娟 学号： 1004970232 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导教师：严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日 用洛必达法则求未定式极限的方法 内容摘要 极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。 关键词：洛必达法则函数极限无穷小量 目录 一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13) 求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x → 33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即 高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 目录 中文摘要 (2) 外文摘要 (3) 引言 (4) 1.求极限的相关技巧与方法 (4) 1.1 利用极限的四则运算法则求极限 (4) 1.2 利用函数的连续性求极限 (5) 1.3 利用无穷小的性质求极限 (6) 1.4 利用等价无穷小的代换求极限 (6) 1.5 利用两个重要极限求极限 (7) 1.6 利用两个极限存在准则求极限 (9) 1.7 利用L'Hospital法则求极限 (10) 1.8 利用泰勒展式求极限 (11) 1.9 利用积分求极限 (13) 1.10 利用Lagrange中值定理求极限 (14) 1.11 利用微分中值定理来求极限 (15) 1.12 用Stolz法求极限 (16) 1.13 用代数函数方法求极限 (17) 2.多种极限方法的综合运用 (19) 参考文献 (22) 致谢 (23) 浅谈求极限的方法与技巧 陶习满 指导老师：胡玲 （黄山学院数学系，黄山，安徽 245041） 摘要：极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究分析方法的重要理论基础，但极限定义并未直接提供如何去求极限。然而求极限的方法很多，本文总结几种常用的求极限的方法。 关键词：极限；技巧；方法。 Of Getting The Methods And Techniques Limit Tao Ximan Director : Hu Ling (The mathematics department of huangshan university, Huangshan,Anhui,245041) Abstract：The concept of limit of higher mathematics is the most important and one of the most basic concepts,the definition does not tell us how to seek limits.There are a lot of methods to get limits, This paper summarizes several common ways to limit demand for reference. Key Words: Limit; skills; method. 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →. 毕业论文 题目：求极限的方法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 毕业年限：2013 学生姓名：俞琴 学号：200971010249 指导教师：伏生茂 求极限的方法 俞 琴 （数学与应用数学 200971010249） 摘要：在数学分析中，极限思想始终贯穿于其中，求极限的方法也显得至关重 要，求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等，除了这些常用方法外，还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结，通过一些典型的实例，对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余. 关键词：极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性 一、极限的定义及性质 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础. 极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述，如函数)(x f y =在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限便为学习数学分析打好了基础. （一）定义 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作 万方数据 万方数据 浅谈极限的几种求法及注意事项 作者：唐新华 作者单位：山东政法学院 刊名： 科学咨询 英文刊名：SCIENTIFIC CONSULT 年，卷(期)：2009，(22) 引用次数：0次 相似文献(10条) 1.期刊论文许利极限--定积分--广义极限-呼伦贝尔学院学报2003,11(1) 本文以极限概念为基础,过渡到定积分概念,并通过对定积分和广义极限概念的剖析.加深了对极限概念的本质的更深层次的认识和理解. 2.期刊论文鲁翠仙.李天荣利用定积分求极限-科技信息（学术版）2008(26) 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中,而给定函数极限的求法则成为极限思想的基础,但利用定积分求极限也是一种重要方法.定积分的本质含义是和式的极限,利用积分求解特定形式的极限问题,是微积分学的一个重要方法.本文结合具体的例子说明如何利用积分求解几种特定形式的极限以及求解方法的关键. 3.期刊论文兰光福.LAN Guang-fu利用定积分定义求和式极限的方法初探-重庆科技学院学报（自然科学版）2007,9(1) 和式项数多、抽象,求其极限较困难,举例利用定积分求和式极限,使问题简单化. 4.期刊论文李冠臻.吕志敏.LI Guan-zhen.LU Zhi-min极限、定积分、二重积分概念教法之探讨-天津职业院校联合学报2006,8(5) 在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中,运用哲学思想、引用历史典故和逻辑思维及直观图像等方式方法,变抽象数学概念为学生易于接受的信息,使学生更容易掌握新概念、新理论. 5.期刊论文傅苇.FU Wei极限、导数、定积分概念所蕴涵的数学思想方法剖析-重庆科技学院学报（自然科学版）2005,7(4) 论述了加强数学思想方法教学的重要性;分析了高等数学中的极限、导数、定积分概念在形成过程中所蕴涵的数学思想方法;辩证剖析概念中各个变量在变化过程中的量变与质变、近似与精确等对立统一规律. 6.期刊论文张劲一些解决极限问题的方法-科技信息（学术版）2008(7) <高等数学>是高校教学中的一门重要课程,而极限可以说是<高等数学>的基础,它贯穿于<高等数学>整个课程的始终,很多重要的概念如导数.定积分都是由极限给出,笔者结合平时的教学经验,通过几个例子,对一些解决极限问题方法加以总结并给出自己的一些观点. 7.期刊论文王永安.WANG Yong-an广义积分:定积分在极限思想下的自然延伸-西安教育学院学报2004,19(3) 研究函数在某区间上的定积分时,总是假定区间为有限区间,并且函数为该区间上的有界函数.如果去掉这两个限制,则得到无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的广义积分.一般对这两类广义积分概念的引入缺乏直观性. 8.期刊论文刘德厚定积分的概念刍议-科技信息（学术版）2008(21) 定积分是数学分析和高等数学研究的重要内容之一,定积分的定义中对被积函数要求的条件过高,适当降低条件也是可以的. 9.期刊论文桂林定积分概念教学初探-高等函授学报(自然科学版)2003,16(2) 人民教育出版社出版的新高中数学试验课本中新增了微积分初步知识,如何教好这部分内容是广大数学教师关注的焦点,其中一个极其重要的概念--定积分的概念教学引发了教师们的思考.本文主要针对定积分概念教学中的问题,从教学目标、教材分析和教学建议等几方面谈了自己的理解和看法. 10.期刊论文候治平定积分与极限运算交换问题-晋东南师范专科学校学报2001,18(3) 极限和定积分是高等数学中的两个非常重要的概念.定积分是源于极限与微分理论,通过对诸多实际问题(如平面上封闭曲线围成的面积、变力作功、变速直线运动的路程、水的压力、立体的体积等)的分析、研究而抽象出来的.经过对这些具体问题在特定区域上细化为若干子区域(分割),在每个子区域上,将"变"的问题转化为局部"不变"的问题(近似代替),然后经过对各个子区域相应问题求和,便得到所求问题的近似解,当每个子区域的长度充分小时,这个和式的极限值就是所求问题的解.这样定积分问题就转化为求具有某种特定结构形式和式的极限问题;同时某些具有特定结构的和式极限运算也可以借助定积分运算来解决. 本文链接：https://www.sodocs.net/doc/5c3648228.html,/Periodical_kxzx200922078.aspx 下载时间：2010年1月16日 11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-? 因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1， 求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换求极限的方法总结
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