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第七节 数学归纳法 练习

第七节 数学归纳法 练习
第七节 数学归纳法 练习

第七节 数学归纳法

一、选择题

1.某个命题与自然数n 有关,若n =k(k∈N *)时命题成立,那么可推得当n =k +1时该命题也成立,现已知n =5时,该命题不成立,那么可以推得( )

A .n =6时该命题不成立

B .n =6时该命题成立

C .n =4时该命题不成立

D .n =4时该命题成立

2.凸n 边形有f(n)条对角线,则凸n +1边形的对角线的条数f(n +1)为( )

A .f(n)+n +1

B .f(n)+n

C .f(n)+n -1

D .f(n)+n -2

3.用数学归纳法证明“1+a +a 2+…+a

n +1=1-a n +2

1-a (a≠1)”,在验证n =1时,左端计算所得的项为( )

A .1

B .1+a

C .1+a +a 2

D .1+a +a 2+a 3

4.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x +y 整除”的第二步是( )

A .假设n =2k +1时正确,再推n =2k +3时正确(其中k ∈N *)

B .假设n =2k -1时正确,再推n =2k +1时正确(其中k ∈N *)

C .假设n =k 时正确,再推n =k +1时正确(其中k∈N *)

D .假设n ≤k(k≥1)时正确,再推n =k +2时正确(其中k ∈N *)

5.在数列{a n }中,a 1=13

,且S n =n(2n -1)a n ,通过求a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式为( ) A.

1(n -1)(n +1) B.12n (2n +1) C.1(2n -1)(2n +1) D.1(2n +1)(2n +2) 二、填空题

6.用数学归纳法证明不等式1n +1+1n +2+…+1n +n >1324

的过程中,由n =k 推导n =k +1时,不等式的左边增加的式子是____________.

7.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=12

a n +1(n∈N *),通过计算a 1,a 2,a 3,a 4,可猜想a n =________.

8.设平面内有n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)=________;当n>4时,f(n)=________________(用n 表示).

三、解答题

9.数列{a n }满足S n =2n -a n (n∈N *).

(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n ;

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

10.已知函数f(x)=13x 3-x ,数列{a n }满足条件:a 1≥1,a n +1≥f ′(a n +1),试比较11+a 1

11+a 2+11+a 3+…+11+a n 与1的大小,并说明理由.

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ. 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 那么当n =k +1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 例3.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.

高中数学数学归纳法教案新人教A版选修

第一课时 4.1 数学归纳法 教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点:数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程: 一、复习准备: 1. 分析:多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件:(1)第一张牌被推倒;(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾:数学归纳法两大步:(i )归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0时命题成立;(ii )归纳递推:假设n =k (k ≥n 0, k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2. 练习:已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ,猜想()f n 的表达式,并给出证明? 过程:试值(1)1f =,(2)4f =,…,→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 3. 练习:是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ?+?+?+++= 21()6 n an bn c ++对一切自然数n 都成立,试证明你的结论. 二、讲授新课: 1. 教学数学归纳法的应用: ① 出示例1:求证*111111111,234212122n N n n n n n - +-+???+-=++??+∈-++ 分析:第1步如何写?n =k 的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发? 关键:在假设n =k 的式子上,如何同补? 小结:证n =k +1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. ② 出示例2:求证:n 为奇数时,x n +y n 能被x +y 整除. 分析要点:(凑配)x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k -x 2·y k =x 2(x k +y k )+y k (y 2-x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y -x ). ③ 出示例3:平面内有n 个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点, 求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2-n +2个部分. 分析要点:n =k +1时,在k +1个圆中任取一个圆C ,剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分,而圆C 与k 个圆有2k 个交点,这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧,每段弧将它所在的平 面部分一分为二,故共增加了2k 个平面部分.因此,f (k +1)=f (k )+2k =k 2-k +2+2k =(k +1)2- (k +1)+2. 2. 练习: ① 求证: 11(11)(1)(1)321 n ++???+-g g n ∈N *). ② 用数学归纳法证明: (Ⅰ)2274297n n --能被264整除; (Ⅱ)121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除(其中n ,a 为正整数) ③ 是否存在正整数m ,使得f (n )=(2n +7)·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在, 求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 3. 小结:两个步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n =k 到n =k +1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习: 1. 练习:教材50 1、2、5题 2. 作业:教材50 3、4、6题.

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? (1 ??? (2()时命题成立,证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。 ??? (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。 ??? (3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时,。 ,右边,左边 时等式成立,即有,则当时, 由①,②可知,对一切等式都成立。 的取值是否有关,由到时 (2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法,即 ,则这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证。 (3)在步骤②的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键是明确 时证明的目标,充分考虑由到时,命题形式之间的区别和联系。

数学归纳法教学设计电子教案

数学归纳法教学设计

授课日期: 2016 年 4 月 8 日授课班级:高二年级2 班

【教学难点】 (1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性; (2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法: 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的,通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤,尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中,类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下,师生之间、学生之间共同探讨,平等交流;既强调独立思考,又提倡团结合作;既重视教师的组织引导,又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 学法: 本课以问题为中心,以解决问题为主线展开,学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行: 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用. 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理: 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式;思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程,你能证明该公 式吗? 3、已知数列{}n a中, 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 , 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程,为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题,激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景,引出新课问题情景:引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程,提问:你的猜测正确吗?如何证 明? 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程,并思考老师的问题. 发现问题, 突出矛盾. 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件: (1)第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理,探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围,激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法(2016.4.21) 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.

题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ Λ. 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

数学归纳法经典例题及答案精品

【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法( 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 这就是说,当n =k +1时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立. 说明:这里要注意,当n =k +1时,要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证明:

1211 2+<++k k k . 认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例3 (x +1)n =a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+…+a n (x -1)n (n ≥2,n ∈N *). (1)当n =5时,求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值. (2)设b n = a 22n -3,T n = b 2+b 3+b 4+…+b n .试用数学归纳法证明:当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 . 解: (1)当n =5时, 原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+a 4(x -1)4+a 5(x -1)5 令x =2得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=35=243. (2)因为(x +1)n =[2+(x -1)]n ,所以a 2=C n 2·2n -2 b n =a 22 n -3=2C n 2=n (n -1)(n ≥2) ①当n =2时.左边=T 2=b 2=2, 右边=2(2+1)(2-1)3 =2,左边=右边,等式成立. ②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, 即T k =k (k +1)(k -1)3 成立 那么,当n =k +1时, 左边=T k +b k +1=k (k +1)(k -1)3+(k +1)[(k +1)-1]=k (k +1)(k -1)3 +k (k +1) =k (k +1)?? ??k -13+1=k (k +1)(k +2)3 =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)-1]3 =右边. 故当n =k +1时,等式成立. 综上①②,当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 .

数学归纳法优秀教学设计

数学归纳法 【教学目标】 1.进一步理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式;理解为证n=k+1成立,必须用n=k成立的假设;掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2.掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质;培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入: 1.归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点:特殊→一般 2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法。与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法。 4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性: )时命题成立,证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(k N*,k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0,如果当n=n 0时,命题成立,再假设当n=k(k ≥n0,k ∈N*)时,命题成立。(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立。 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当n 取第一个值n 0结论正确; (2)假设当n=k(k ∈N*,且k ≥n 0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。 由(1),(2)可知,命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例: 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习: 1.用数学归纳法证明:().125312n n =-++++ 证明:(1)当1=n ,左边=1,右边=1,等式成立。 (2)假设当k n =时,等式成立,就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说,当1+=k n 时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2.用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时,左边应为_____________。 3.判断下列推证是否正确,并指出原因。 用数学归纳法证明:126422++=++++n n n 证明:假设k n =时,等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立, 所以*N n ∈时等式成立。

导数典型例题(含答案)

导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容,如导数的定义,导数的几何意义、物理意义,用导数研究函数的单调性,求函数的最(极)值等等,考查的题型有客观题(选择题、填空题)、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且,导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ! 解法一 f '(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=(-1)(-2)…(-100)=100! ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0,则f '(0)= a 1,而a 1=(-1)(-2)…(-100)=100!. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解,函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ,n ∈N *,则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f '(2)+ f '(2)=3 f '(2), 又∵f '(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ, ∴f '(2)= 21(2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ)=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式,可以为正也可以为负,如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ,且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ,也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?(令Δx =x -x 0得到),本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题,连接交汇、自然,背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加,则圆半径R =10 cm 时,圆面积增加的速度是 .

高中数学 2.3数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

数学归纳法教学设计 【教学目标】 (1)知识与技能: ①理解数学归纳法的原理与实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题; ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。 (2)过程与方法: 努力创设愉悦的课堂气氛,使学生处于积极思考,大胆质疑的氛围中,提高学生学习兴趣和课堂效率,让学生经历知识的构建过程,体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观: 通过本节课的教学,使学生领悟数学归纳法的思想,由生活实例,激发学生学习的热情,提高学生学习的兴趣,培养学生大胆猜想,小心求证,以及发现问题、提出问题,解决问题的数学能力。 【教学重点】 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题; 【教学难点】 数学归纳法中递推关系的应用。 【辅助教学】 多媒体技术辅助课堂教学。 【教学过程】 一、创设问题情境,启动学生思维(说明引入数学归纳法的必要性) (情景一)问题1:大球中有5个小球,如何证明它们都是绿色的? 问题2: 如果{}n a 是一个等差数列,怎样得到()11n a a n d =+-? (情境二)数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。 【设计意图:】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现,发现其结论正确性不同,而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法(只验证几个个体成立,得到一般性结论,但结论不一定正确)”和“完全归纳法(验证每个个体都成立,得到一般性结论,其结论一定正确)”。 (情景三)问题:如何解决不完全归纳法存在的问题呢? 如何保证骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到? 二、搜索生活实例,激发学生兴趣

实用文库汇编之数学归纳法经典例题及答案

*实用文库汇编之数学归纳法(2016.4.21)* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.

题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++

矩阵典型习题解析

2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的定义 由m×n个数a ij(i 1,2, ,m; j 1,2, , n)组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵,记为 A (a ij )m n 2.特殊矩阵 (1)方阵:行数与列数相等的矩阵; (2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下)三角阵; (3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵; (5)单位矩阵:主对角线上元素全是 1 的对角阵,记为E; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n),则称 A 与B相等,记为A=B 2.1.2 矩阵的运算

1.加法 (1)定义:设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ,则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ; ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0, –A 是 A 的负矩阵 2.数与矩阵的乘法 (1)定义:设 A (a ij ) mn , k 为常数,则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3.矩阵的乘法 (1)定义:设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ;② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义:A (a ij ) n ,则 A k A K A ②运算规律: A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4.矩阵的转置 (1) 定义:设矩阵 A=(a ij )mn ,将 A 的行与列的元素位置交换,称为矩阵 A 的转置,记为 A T (a ji )nm , (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ; ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。

专题06 数列与数学归纳法(原卷版)

1 专题6.数列与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一,命题形式多种多样,大小均有.其中,小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系,和其它知识综合考查的趋势明显,小题难度加大趋势明显;解答题的难度中等或稍难,随着文理同卷的实施,数列与不等式综合热门难题(压轴题),有所降温,难度趋减,将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和,在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上,进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等,与不等式结合,“放缩”思想及方法尤为重要.关于数学归纳法的考查,主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定,主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合 . 1.(2020·浙江省高考真题)已知等差数列{a n }的前n 项和S n ,公差d ≠0, 11a d ≤.记b 1=S 2,b n+1=S 2n+2–S 2n ,n *∈N ,下列等式不可能... 成立的是( ) A .2a 4=a 2+a 6 B .2b 4=b 2+b 6 C .2428a a a = D .2428b b b = 2.(2020·浙江省高考真题)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列(1)2n n +??????就是二阶等差数列,数列(1)2n n +?????? (N )n *∈ 的前3项和是________. 3.(2020·浙江省高考真题)已知数列{a n },{b n },{c n }中,111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N . (Ⅰ)若数列{b n }为等比数列,且公比0q >,且1236b b b +=,求q 与{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }为等差数列,且公差0d >,证明:1211n c c c d +++<+.*()n N ∈ 4.(2020·天津高考真题)已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列, ()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,求证:()2*21n n n S S S n ++<∈N ;

数学归纳法教学内容

数学归纳法

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 数学归纳法及其应用举例单元练习(二) 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为 21n (n -3)条时,第一步验证n 等于 A. 1 B.2 C.3 D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2 4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立;B.仅当n =1,2,3时成立 C.n =4时成立,n =5时不成立; D.仅当n =4时不成立 3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24 1321>n (n ≥2,n ∈N *)的过程中,由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边 A. 增加了1项 )1(21+k ; B.增加了“)1(21121+++k k ”,又减少了“1 1+k ” C.增加了2项 )1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ,减少了11+k 4.用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…(2n -1)(n ∈N *)时,假设n =k 时成立,若证n =k +1时也成立,两边同乘 A.2k +1 B.112++k k C.1)22)(12(+++k k k D.1 32+-k k

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 5.证明1+413121+++…+2 121n n >- (n ∈N *),假设n =k 时成立,当n =k +1时,左端增加的项数是 A. 1项 B.k -1项 C.k 项 D.2k 项 6.上一个n 级台阶,若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是 A.f (n )=n B.f (n )=f (n -1)+f (n -2) C.f (n )=f (n -1)·f (n -2) D.f (n )=???≥-+-=3 )2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 7.凸n 边形内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和 f (k +1)=f (k )+___________. 8.观察下列式子:1+23212<,1+223121+<35,1+474 13121222<++,…则可归纳出:___________. 9.设f (n )=(1+)11()111)(1n n n n ++???++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后,f (k +1)与f (k )的关系是 f (k +1)=f (k )·___________. 10.有以下四个命题:(1)2n >2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+… +2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n -1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2 )2(-n n (n ≥4).其中满足“假设n =k (k

18年高考数学专题14二项式定理及数学归纳法教学案理

专题14 二项式定理及数学归纳法 【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有: (1) 二项式定理的简单应用,B级要求; (2)数学归纳法的简单应用,B级要求 【重点、难点剖析】 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n,上式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中C r n(r=1,2,3,…,n)叫做二项式系数,式中第r+1项叫做展开式的通项,用T r+1表示,即T r+1=C r n a n-r b r; (2)(a+b)n展开式中二项式系数C r n(r=1,2,3,…,n)的性质: ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C r n=C n-r n; ②C0n+C1n+C2n+…+C n n=2n;C0n+C2n+…=C1n+C3n+…=2n-1. 2.二项式定理的应用 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”. (2)二项式展开式的通项公式T r+1=C r n a n-r b r是展开式的第r+1项,而不是第r项. 3.数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立,第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,只要完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立,两步缺一不可. 4.数学归纳法的应用 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论. (2)利用数学归纳法证明三角恒等式时,常运用有关的三角知识、三角公式,要掌握三角变换方法. (3)利用数学归纳法证明不等式问题时,在由n=k成立,推导n=k+1成立时,过去讲的证明不等式的方法在此都可利用. (4)用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式.

数学归纳法典型例题

实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步形成“观察—-归纳—-猜想—-证明”的思维模式,就显得特别重要。 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n = n0时命题成立; (2)(归纳递推)假设n= k()时命题成立,

证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步 实用文档 文案大全各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n =k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。

数学归纳法专题复习

数学归纳法专题复习

《数学归纳法》专题复习 1.某个命题与正整数n 有关,若)(* N k k n ∈=时该命 题成立,那么可推得1+=k n 时该命题也成立,现在已知当5=n 时该命题不成立,那么可推得( ) . A 当6=n 时,该命题不成立 . B 当6=n 时,该命题成立 . C 当4=n 时,该命题不成立 . D 当4 =n 时,该命题成立 2.用数学归纳法证明“) (22 21 *+∈++≥N n n n n ”时,第 一步验证为 . 3.用数学归纳法证明:当* ∈N n 时,1 532 2 (22) 21-+++++n 是31的倍数时,当1=n 时原式为______,从k 到1+k 时需增添的项是________. 4.观察不等式:2 11>,131211>++,2371...31211>++++,215 1 ...31211>++++ , 2 5311...31211>++++ ,…,由此猜测第n 个不等式为 ________)(? ∈N n . 5.凸n 边形有)(n f 条对角线,则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为

. 6.求证:3 3 332 (1)12 3[ ]2 n n n +++++=L )(?∈N n . 7.证明不等式n n 213 12 11<+ ++ +Λ (n ∈N). 8.在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满 足???? ? ?+=n n n a a S 121(1) 求3 2 1 ,,a a a ;(2) 由(1)猜想 数列{}n a 的通项公式并证明.

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