武汉市2020届高三毕业生六月供题(二)

武汉市2020届高中毕业生六月供题（二）

理科数学

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上．

1．已知集合{

}3x

A y y ==，{}0,1,2,3

B =，则A B ?=（ ）

． A ．{}1,2,3

B ．()0,+∞

C ．{}0,1,2

D ．[)0,+∞

2．i 是虚数单位，复数()i

012i

a z a +=>-，若1z =，则a =（ ）

． A ．

12

B ．1

C ．2

D ．3

3．下列函数中是偶函数，且在()0,+∞上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x =

B ．()1

2f x x =

C ．()1

f x x x

=-

D ．()3x

f x =

5．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ??

=+

???

．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中

S N 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S

N

从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ）． A ．10％

B ．30％

C ．50％

D ．100％

5．设α、β、γ为平面，a 、b 为直线，给出下列条件： ①a α?，b β?，//αβ，//b α ②//αγ，//βγ

③αγ⊥，βγ⊥

④a α⊥，b β⊥，//a b

其中能推出//αβ的条件是（ ）． A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

6．若1

44a =，5log 12b =，1

3

1

log 9

c =，则（ ）． A ．b a c <<

B ．a b c <<

C ．a c b <<

D ．c a b <<

7．如图，在ABC △中，π

3

BAC ∠=

，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()1

2

AP mAC AB m =+

∈R ，若3AC =，4AB =，则AP CD ?的值为（ ）

．

A ．3-

B ．1312

-

C ．

1312

D ．112

-

8．若二项式23132n

x x ?

?- ??

?的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ）．

A ．135

2

-

B ．135-

C ．

135

2

D ．135

9．函数()2ln x

f x x x

=-

的图象大致为（ ）． A ．

B ．

C ．

D ．

10．设双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C

在第二象限的交点为P ，O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A ．5

B 5

C ．

5

3

D ．

54

11．将函数()2

3sin 22cos 1f x x x =+-的图象向右平移π02????

<<

??

?

个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12

min

π

6

x x -=

，则?=（ ）．

A ．

π6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

5π12

12．若函数()()()2ln 201

0a x x x f x x a x x ?-->?

=?++

的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．2

0,2e ????

B ．3

0,2e ????

C ．(

20,2e ??

D ．(

30,2e ??

二、填空题：

13．抛物线()2

20y px p =>的准线l 截圆2

2

210x y y +--=所得弦长为2，则p =______．

14．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动，设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ．则()

P B A =______．

15．在ABC △中，2AC =，1AB =，点D 为BC 边上的点，AD 是BAC ∠的角平分线，则AD 的取值范围是______．

16．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，ABD △沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A BCD -． ①当3AC =时，三棱锥A BCD -的体积为3

6

； ②当面ABD ⊥面BCD 时，AB CD ⊥； ③三棱锥A BCD -外接球的表面积为定值．

以上命题正确的是______．（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题

17．已知等比数列{}n a 是递增的数列，且前n 项和为n S ，37S =，又13a +，23a ，34a +成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1

2

log 64

n n a b +=，求12n b b b +++．

18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===，2AM MD =，

N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =．

（1）求BC 的长；

（2）求二面角N PM D --的余弦值．

19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的离心率为3

2，直线:10m x y -+=经过椭圆C 的

上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于A ，B 两点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线:40l x +=于Q ，R 两点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）求证：OQ OR ?（O 为坐标原点）为定值．

20．某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A 、B 两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A 的概率为2

3

、购买B 的概率为

13，而前一次购买A 产品的人下一次来购买A 产品的概率为14

、购买B 产品的概率为34，前一次购买B 产品的人下一次来购买A 产品的概率为12、购买B 产品的概率也是12

，

如此往复．记某人第n 次来购买A 产品的概率为n P ．

（1）求2P ，并证明数列25n P ?

?-????

是等比数列；

（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X 个人购买A 产品，求X 的分布列并求()E X ； （3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A 、B 产品各多少份．（直接写结论、不必说明理由）． 21．已知函数()()0,x f x ae a a =≠∈R ，()2

12

g x x =

． （1）当2a =-时，若直线l 与曲线()y f x =及()y g x =都相切，求直线l 的方程； （2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ． ①求实数a 的取值范围；

②若213x x ≥，求实数1x 的最大值． （二）选考题

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知曲线1C 的参数方程为2

221121t x t t y t ?+=??-??=

?-?

（t 为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+??=?（α为参

数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线1C 和曲线2C 的的极坐标方程； （2）射线π

6

θ=

与曲线1C 和曲线2C 分别交于M ，N ，已知点()4,0Q ，求QMN △的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲]

已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =，证明：

（1）2

22111

a b c a b c

++≤++； （2）

1111222a b c

++≤+++．

参考答案

1．A 2 C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A

11．C 12．B 13．2

14．

25

15．40,3?? ???

16．①③

17．解：（1）由题意得213123

634

7a a a a a a =+++??++=?，

设等比数列{}n a 的公比为q ，则222222

677a a a q q a a q a q ?

=++????++=??

，解得22122a q =??

?=??或，

∵{}n a 是递增数列，∴2q =，∴2

212222n n n n a a q

---==?=． （2）由（1）知12n

n a +=，∴2

2log 664

n

n b n ==-， ∴当6n ≤时，0n b ≤；当6n >时，0n b >； 当16n ≤≤时，()()

121116i 2

n

n i n n b b b =-++

+=-=

∑； 当6n >时，()()26

1211

1160

26i i 62n

n i i n n b b b ==-+++

+=-+-=∑∑；

∴()

122

11,1621160,62

n n n n b b b n n n ?-≤≤??++

+=?-+?>??． 18．取PC 的中点E ，连接EN 、ED ，

因为EN 平行于BC ，AD 平行于BC ，所以EN 平行于MD ， 所以M ，N ，E ，D 四点共面，

因为MN 平行于面PCD ，面PCD 与面MNED 交与ED 所以MN 平行于ED ，

所以MNED 为平行四边形．

所以2EN MD ==，24BC EN ==． （2）取BC 中点F ，则AF 垂直于BC ，

因为AD 平行于BC ，

所以AF 垂直于AD ，于是以A 点为原点，AF 为x 轴，

AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系，

由AF 垂直于AD ，AF 垂直于AP ，平面PMD 法向量为()1,0,0，

通过计算得平面PMN 的法向量为2,15?

??

，经判断知二面角为钝角，

于是其余弦为61

． 19．解：（1）据题设知，点()0,b 在直线:10m x y -+=上，得1b =．

又因为

3c a =，222

b c a +=，0a >，所以2a =，3c = 所以所求椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=． （2）设()00,P x y ，()1,A t -，()1,B t --，则有22

00440x y +-=．

直线AP 的方程为()0

11t y y t x x --=

+--．

令4x =-，整理得()000

431Q x t y y x +-=

+．

同理可得点R 纵坐标()000

341Q y x t

y x --+=+．

所以点Q ，R 的纵坐标之积

()()()()

2

2

2

0000002

000433494111Q R x t y y x t y x t y y x x x +---+-+?=?=+++．

又因为2

200114y x =-

，234

t =， 所以()()()()

22200022

00139143144311Q R x x x y y x x ??--+ ?-+???===-++， 所以()

()4,4,1613Q R Q R OQ OR y y y y ?=-?-=+?=， 即OQ OR ?（O 为坐标原点）为定值． 20．解：（1）221111

34323

P =

?+?= 依题意知()113

144

n n n p p p +=?

+-?，则1212545n n p p +??-=-- ???，

因为124515p -

=，所以数列25n P ?

?-???

?是首项为415公比为14-的等比数列．

（2）X 的所有可能取值为0、1、2、3且()()33

120,1,2,333k

k

k

P X k C k -????

=== ? ?

????

，

所以X 的分布列为

X 0 1 2

3

P

827 49

2

9 127

所以()801231279927

E X =?+?+?+?=． （3）公司每天应至少准备A 产品320份、B 产品480份． 21．解：（1）2a =-时，()2x

f x e =-，

设曲线()f x 上的切点为()

11,2x

x e -，则切线方程为()11122x x

y e e x x +=-，

设曲线()g x 上的切点为2221,

2x x ?? ???，则切线方程为()222212

y x x x x -=-， 由两条切线重合得()12

2

112

21212

x e x ex x x ?-=?

?-=-??，则1202x x =??=-?， 所以，公切线方程为22y x =-； 所以，公切线方程为22y x =--．

（2）①()()212

x

y f x g x ae x =-=-，x

y ae x '=-，

设其零点1x ，2x ，∵1212x x

ae x ae x -=-，∴12

12x x x x a e e ==

， 令()x x x e ?=，()1x x

x e

?-'=，

则()x ?在(],1-∞上递增，在()1,+∞上递减 且0x >时()0x ?>，()x ?在1x =处取最大值1

e

， 所以a 的取值范围是10,e ?? ???

． ②令()213x kx k =≥，可得

11

11x kx x kx e e =，则1ln 1

k

x k =-， 令()()ln 31x

h x x x =≥-，()()21

1ln 1x

x h x x --'=-，

又令()()11ln 3t x x x x =-

-≥，()210x

t x x

-'=<， 则()t x 单调递减，()()2

3ln 303

t x t ≤=-<，

∴()0h x '<，()h x 单调递减，

()ln 32h x ≤

，易知()0h x >，∴1ln 30,2x ??

∈ ???

， 所以1x 的最大值是ln 32，易知()0h x >，∴1ln 30,2x ??

∈ ??

?， 所以1x 的最大值是

ln 3

2

． 22．解：（1）曲线1C 消参得2

2

1x y -=，其极坐标方程为2

cos 21ρθ=， 曲线2C 消参得()2

224x y -+=其极坐标方程为4cos ρθ=． （2

）易得π

4cos

6

MN ==，

所以QMN △

的面积为． 23．证明：（1）由条件1abc =得

2211122c a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 2211122a b c bc +≥=，当且仅当b c =时等号成立， 2211122b c a ca

+≥=，当且仅当c a =时等号成立， 以上三个不等式相加可得()2

2211122a b c a b c ??

++≥++

???

， 当且仅当a b c ==时等号成立， 得证222

111a b c a b c ++≤

++． （2）由条件1abc =得

(

)()()()()()1

11431222222222ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++-??-++== ?

+++++++++??，

由三元基本不等式得3ab bc ca ++≤=（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证111

1222a b c

++≤+++．