孤子方程的达布变换及精确解

目录

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第1章引言 (1)

1.1 孤子理论研究的发展 (1)

1.2 达布变换 (2)

1.3 本文研究内容 (4)

第2章柱kdv方程的达布变换及精确解 (8)

2.1 柱kdv方程的Darboux变换 (8)

2.2 柱kdv方程的单孤子解 (12)

2.3 柱kdv方程的Crum定理及孤子解 (13)

第3章Boussinesq-Burgers系统3类达布变换间的关系及其精确解 (17)

3.1 孤子方程的导出 (17)

3.2 谱问题的达布变换 (20)

3.3 三种基本达布变换之间的关系 (23)

3.4 孤子解 (26)

第4章一个3×3矩阵谱问题的达布变换及相应孤子方程组的精确解 (28)

4.1谱问题的达布变换 (28)

4.2 辅谱问题的达布变换 (35)

4.3 利用达布变换求孤子方程组的精确解 (40)

参考文献 (42)

致谢 (45)

个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 (46)

IV

第1章 引言

1 1 第1章 引言

1.1 孤子理论研究的发展

孤立子在非线性偏微分方程中是一个典型的代表。

1844年9月英国物理学家J.Scott Russell 在一场《论波动》[1]的报告中讲述了他于1834年8月在一条运河里发现的一个水波的运动现象。后来在实验室经数次实验之后，观察到这种现象的波-孤立波。如果一条河道的深度为h ，此孤立波传播的速度c 满足关系式2()c g h η=+，其中g 为重力加速度，η为波的振幅。

此后，Boussinesq 为了能够近似地描述此孤立波提出了一种一维非线性的演化方程，此方程后来则被人们命名为Boussinesq 方程。

1895年，荷兰著名数学家D.Korteweg 和他的博士生G .de Vries [2]在研究浅水波的运动时，得到了单向运动的浅水波运动的方程：

22221()323t x

ησηαηη??=++?? 其中，x 是水平面上沿波传播方向的横坐标，t 表示时间，(,)x t ηη=是波峰高度，l 表示水深，α是运动常数，σ是由

313Tl l g σρ=-

定义的常数，ρ是流体的密度，T 是指毛细现象表面的张力。

作数学变换11,,23t x u ηα''===±-，通过运算，可得到： 60t x xxx u uu u ±+=

这就是著名的kdv 方程的一般形式。