当前位置：搜档网 › 高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。

例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用

化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。

流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。定态流动时液体的机械能衡量式为

∑?-=+?+

?f e p p h W v d p u z g 212

（1）该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中?2

p p

vdp 项

应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故ρ

ρp

p p dp vdp p p

p p ?=

??2

，代入（1）式有：

∑-=?+?+?f e h W p

u z g ρ

或 ∑+++=+++f e h p

u gz W p u gz ρ

ρ22

22121122 （2）

（2）式称为柏努利方程式。

需要注明的是，22u 为动能，gz 为位能，ρ

为静态能，e W 为有效能，∑f h 为

能量损耗，z ?为高度差。

例2 混合气体粘度的计算

常温下混合气体的计算式为

∑∑===

i i

i n

i i

m M

y M

y 1

211

21μμ （3）

其中m μ为常温下混合气体的粘合度（Pa.s ）；i y 为纯组分i 的摩尔分率；i μ为混合气体的温度下，纯组分i 的粘度（Pa.s ）；i M 为组分i 的分子量（Kg/kmol ）。

例如：空气组分约为01.0,78.0,21.022Ar N O （均为体积积分率），试利用

Ar N O ,,22的粘度数量，计算常温下C 020时空气的粘度？

解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率，

Ar N O ,,22的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下C 020时各组分的粘度为

Pa Ar s Pa N s Pa O ??????---55252

1009.2107.11003.2 代入（3）式计算空气的粘度，即

Pa M

y M

y n

i i

i n

i i

m ??=?+?+????+???+???=

----==∑∑52

152

151

211

1078.19

.3901.02878.03221.09

.391009.201.028107.178.0321003.221.0μμ

例3. 在细胞生长计算中的应用

随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。

如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A ，其浓度为a ，且A 的消耗速度与细胞浓度成正比：

X K dt

a =-

（4）（4）式中a K 为常数，假定接种后培养液中细胞浓度为0X ，且立即进入指数生长阶段，且一直保持到静止期，则

)exp(0t X X m m μ= （5）

其中m X 为分批培养达到的最大细胞浓度，即A 完全耗尽时细胞浓度，由（3）式和（4）式可得

)(00X X K a m m

整理得 00a K X X m

m μ+

也就是说分批培养过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系。

如果细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积累，可以认为

KX dt

=[1-f(有害物质浓度)] 为方便起见，假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系

)1(t bC KX dt

-= （5）其中k, b 为常数，t C 为有害物质浓度。由于有害物质有细胞产生，可以认为

qX dt

dC t

= t=0时，t C =0 （6）式中q 为常数，由（6）式可得?=t

t qXdt C 0

，代入（5）式有：

?-=t qXdt b KX dt

01(

因此有效生长速度为

)1(10?-=?=t Xdt bq K dt

X μ

随着时间急剧下降，当?=t Xdt bq 0

时，细胞的生长停止。

例4 细胞团内的氧传递

细胞集成团时，氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗，为方便起见，把细胞团看作一个均匀的耗氧球体，设它的半径为R ，密度为ρ，取其半径为r ，厚度为dr 的一层球壳进行稳态时的物料衡量

dr r Q r dr

dC D r dr dC D

o dr r r 2224|)4(|)4(2πρππ?=?--?-+ 其中D 为氧在细胞内的扩散系数，C 为半径r 处的氧浓度，将上式整理，可得到

ρ2222

)||(o r dr r Q r dr

dr dC

r dr dC r D =-+

当0→dr 时，

ρ222)(o Q r dr

dC r dr d D

= 因此

ρ2)2(22o Q dr dC

r dr

C d

D =+

（7）细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程

K C Q Q m m o o +=

)(22

式中m o Q )(2为最大耗氧速率，m K 为米氏常数，代入（7）式中，有

ρC K C Q dr dC

r dr

C d

D m m o +=+)()2(222 （8）

边界条件为 r=R 时，L C C = R=0时，0=dr

取L

m L C K R r

X C C y ===

β,,代入（8）式，有 y ay dx dy x dx

y d +=?+β22

2 （9）其中m

o L Q D

C R a )(662

ρ=

。

边界条件则改为 x=1时，y=1

x=0时，

1=dx

。设细胞团的表现比耗氧速率为Q ，

dr C

K C

Q r dr r Q R m m o R +?-+=?)(])[(343420333ρπρπ，

整理得 ?+=1023)(2dx y

y x Q Q

m o β，

（9）式可写作 y y

ax dx dy x dx d +=

β22)(，因此有

110

2|3)(3)(2===x m o dx

a dx dy x a Q Q 若取细胞团表面的比耗氧速率1

)()(22'

+=βm o L m L

m o Q C K C Q Q 作为比较，则细胞元的耗氧有效因子为1'

|)1(3=+==

x dx dy

a Q

Q βη，a 则反映了细胞团中最大反应速率与最大传输速率之比，反应速率越大，传递速率越小，细胞团内部缺氧就越重，有效因子也就越低。

例5 在中心导体模型中的应用

长柱状细胞，如神经轴突和肌纤维细胞，其长度尺寸远大于细胞直径，电流横跨细胞膜的电阻往往比朱庄方向流经一段细胞内介质所代表的中心电阻高出很多，从而细胞流内流动的电流在溢出膜以前在柱轴方向内部导体中流过相当长距离，这种中心导体概念成为用电缆理论分析长纤维状细胞中电流、电位分布的基础。若设

m r 为单位长膜电阻，m C 为单位长膜电容，e i r r ,分别为胞内、外液单位长介质电阻。令胞内、外电位分别为e i V V ,，于是膜两侧电位差e i m V V V -=。经推导可得：

V C r V x V r r r m

m m m e i m ??+=???+22 令 m m m e

i m

C r r r r =+=

τλ,2 则得到标准的电缆方程形式：

t V V x

V m

m m m ??+=??τλ2

若细胞膜处于电绝缘状态，单位长度膜面积上的电流0=m i ，即2

2x V m

??=0，上式

成为一阶常微分方程：

0=+dt

dV V m

m τ 解得：m t m e V V τ/0-=，其中0V 为t=0时的m V 值。显然时间常数m τ表征均匀膜电位差的自然衰减性质。对非均匀性质莫而言，m V 的被动衰减较为复杂，m τ仅是一个主要衰减因子。

当输入为直流稳态电压时，上式简化为m m

V dx V d =2

λ。如果在x=0处维持0V V m =，其余地方均不加任何电压，即∞→x 处m V 为有限值，则方程的解为λ/0x m e V V -=。λ描

述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减。对于-∞=x 到+∞=x 的双无限

长电缆，x=0处维持0V V m =稳定值要求外加电流加倍。无限与半无限长电缆上的稳态分布，为实验确定细胞参数提供了依据。

例6 在动力学猝灭与静态猝死中的应用

激发态分子或荧光团由于加入像I 与2O 等猝死剂，彼此发生碰撞而造成荧光的猝死，又叫做动力学猝死或动态猝灭。这种猝死服从Stern-V olmer 方程。此方程从荧光量子效率或从激发衰变率都可导出。若r 为衰变率，则其与有猝灭剂时的总衰变率的比值即

]

[0Q K r r

F F q += 或者写成

][1][100

Q K Q K F

F d q +=+=τ (10) 式中F F ,0分别为没有和有猝死时的荧光，[Q]为猝灭剂的浓度，q K 为双分子猝死常数，0τ是荧光团在无猝灭剂时的荧光寿命，d K 就是Stern-V olmer 猝灭常数，这

说明荧光团的寿命愈长，它与猝灭剂碰撞的几率。此几率则决定于它们的扩散速率、分子大小与浓度等：

310/4aAD K q π=

D 为荧光团与猝灭剂扩散系数之和，a 为分子半径之和，A 为亚氏常数，测定q

K 可以给出扩散系数的情况。测定q K 最好用荧光寿命而不用荧光强度，因为后者可能被其他因素干扰，其中一种就是下面要叙述的静态猝灭。

碰撞猝灭可使激发态去布局(depopulation)，若激发态在有和无猝灭剂时的寿命分别为0ττ和，则

0])

[(--+==Q K r r q ττ

因此， ][1/00Q K q τττ+= (11)

此式与(10)式相似。它说明动态猝死的一个重要特性，即荧光强度的降低与荧光寿命的减少是等价的。因为F F /0的测定较方便，通常还是常用此参量。又因为F F /0的猝灭剂浓度呈线性关系，所以F F /0对[Q]左图可得到一条直线，其斜率就等于d K 或0τq K ，从而可得到猝灭常数的数值。Stern-V olmer 的线性关系只适用于溶液中只有一类荧光团的情况，并且它们对猝灭剂易感性是相同的。若细筒中含有两类荧光团，并且其中只有一类对猝灭剂易感，则用Stern-V olmer 方程得到的是像X 轴弯曲的曲线。

静态猝死是荧光团与猝灭剂在基态时就形成的不发荧光的络合物，当此络合物种荧光团吸收光能激发时，即刻回到基态而不发光，所以此时荧光强度与猝灭剂浓度的关系可从络合物形成时的络合常数（q K ）推导出来。静态猝灭的方程式与动态猝灭相似，只是在此以s K 代替0τq K ，则有

][10

Q K F

F s += 若在一溶液中同时存在静态和动态猝死，这时S-V 曲线就是向Y 轴弯曲的曲线。因为发光的分数0/F F 是未络合的部分(f)以及未被碰撞猝灭的部分两者的乘积，因此

]

[0Q K r r

f F F q +?

= 而][11Q K f s +=-，则：

])[1]([10

Q K Q K F F

s d ++= 这个修改过的Stern-V olmer 方程是[Q]的二次方程 )][])[(120

Q K K Q K K F F

s d s d +++= 令

)][])[(2Q K K Q K K K s d s d app ++=

则

][10

Q K F F

app += 用app K 对[Q]作图亦可得到一条直线，此直线的截距为s d K K +，斜率为s d K K 。至于动态部分则可用τ来测定，即][10

Q K d +=τ

τ。

例7 在三维重建中的应用

目前用于研究三维重建的生物原料有单科蛋白、噬菌体、单纯疱疹病毒核衣壳和膜蛋白结晶体，从二维投影到三维重构的方法很多，但最适于TEM 的方法是傅里叶变换，下面分别介绍：

(1) 傅里叶变换

若函数f(x)满足傅氏积分定理的要求，则在其连续处有

---=

a a

x i a

x i d e dx e x f x f ωπ

ωω])([21

)(

若令 ?--=a a

x i dx e x f F ωω)()( 频域则 ?

x i d e F x f ωωπ

ω)(21)( 空域（时域）

则)(ωF 和f(x)可通过积分相互表达，称为傅里叶变换对。若扩展到三维，

),,(z y x F ωωω和f(x,y,z)也一样是傅里叶变换对。

三维重构的目的是要得到f(x,y,z)，如能得到),,(z y x F ωωω，则可通过傅氏

变换的到f(x,y,z)。

电镜的二维图像相当于s(x,y)通过傅氏变换得到),(y x S ωω，如果能在),(y x S ωω和),,(z y x F ωωω之间建立联系，则问题得到解决。

(2) 中央界面定理(central slice theorem)

一个无力二维投影的傅里叶变换严格等于该物体的三维傅里叶变换中与投影方向垂直的通过原点的截面（中央界面）。

这个定理告诉我们，二维投影的傅里叶变换是三维傅里叶变换的一个特例。可具体为，假设物体二维投影以下面的函数表示：

?=dz z y x f y x s ),,(),(

令其二傅里叶变换为),(y x S ωω，则有

??+-=dxdy y x i y x s S y x y x ])[2ex p(),(),(ωωπωω

令样品二维像f(x,y,z)的三维傅里叶变换为),,(z y x F ωωω，则有

???++-=dxdydz z y x i z y x f F z y x z y x ])[2exp(),,(),,(ωωωπωωω

当0=z ω时，得到y x ωω,轴的傅里叶空间中间界面),,(z y x F ωωω。根据上等式可得到

?????+-=+-=dxdy

y x i y x s dxdydz

y x i z y x f F y x y x y x ])[2exp(),(])[2exp(),,()0,,(ωωπωωπωω

所以)0,,(y x F ωω=),(y x S ωω。

这就证明了物体在z 方向的投影的二维傅里叶变换),(y x S ωω与其三维像f(x,y,z)的三维傅里叶变换),,(z y x F ωωω在0=z ω时的截面相等。如果我们能得到各个方向投影的一系列i s ，就可以整合出F 。再利用傅里叶变换的反变换，就可以从频率域回到空间域重建出样品的三维图像

z y x z y x ia z y x d e

F z y x f z y x ωωωωωωωωωπ???++=)

(),,(),,(

以上是重建的基本理论。

(3) 三维重建的步骤

首先要确定三维重建需要收集的中央截面数，从一系列倾角观察面进行收集。如Henderson 等对6R 分子进行0.7nm 分辨率的三维重购时就从00570-倾角范围内

记录了18张样品照片，15张电子衍射图。通常获得一个分辨率为δ的结构所需要的最少观察面数N 由下式给出：

δπ/D N =

式中D 为样品的线度。

如前所述，在电子衍射图中，由于透过样品的电子束直接落在照相底片上，不受电镜分辨率的约束，因此根据规则的电子衍射花样，可精确计算出结构因子的振幅，而从高分辨电子显微镜的密度分布可容易计算出相位。为了从照片中抽取出结构信息，需要进行傅里叶变换。实验中是将电镜照片通过光学衍射仪完成如下公式：

+∞∞-+∞

∞

-+=dxdy ky hx i y x I k h F )](2exp[),(),(π

的傅里叶变换，产生明显的晶体衍射图，即从像平面返回到衍射平面，由此得到相应的像素（点阵），再利用光密度扫描仪扫描，即得到密度的傅里叶变换。最终把电镜图像转化成数字信号。

综合从电子衍生图得到的傅里叶项振幅和从电镜显微像得到的相位，再经傅里叶合成得到晶体的一个晶电子密度图。

由电子光学线性成像原理可知，电子波经过薄晶样品以后，携带了样品沿电子束方向投影信息，衍射到达物镜的后焦面，这个过程在数学上等于进行了一次傅里叶变换，也就是说在TEM 物镜后焦面上得到的电子衍射像就是前述的),(y x S ωω，只要改变样品的倾角就可以得到一系列的),2,1(, =i S i 。根据中央界面定理就可以得到),,(z y x F ωωω，再通过傅里叶的反变换则得到f(x,y,z)。

例8 在振动光谱中的应用

一般说来，蛋白质含有多种不同的二级结构，而特征振动频率则反映了多肽或蛋白质的特定二级结构，下面介绍从谐振子模型来说明双原子分子的振动光谱：

若设21,m m 分别为相连的两个原子1和2的质量，x 为在时间t 离开中心的位移，则有：

恢复力：

2dt

x d m m a F kx

F ==-=

化简上两式，可得到

022=+kx dt

d m （12） K 为键力常数，它是键强度的度量。解（12），得到：)2cos(?π+=vt A x ，对x

两次微分得到22dt

d 代入(12)是得：

振动频率 m

k v π21=

其中m 用μ代入，2

1m m m m +?=

μ为折合质量。

则有 μ

v 21=

以波数表示为：

πk

c v 21~

即分子的伸展振动频率取决于两个因素：键力常数k 和折合质量μ。

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+22 22；（旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学(上册)知识点汇总

三角函数公式

等比数列的求和公式： x x=x1?x x x 1?x = x1(1?x x) 1?x 等差数列求和公式： x x=x(x1?x x) 2 =xx1+ x(x?1) 2 x 立方和差公式： x3?x3=(x?x)(x2+xx+x2) x3+x3=(x+x)(x2?xx+x2)

x x?x x=(x?x)[x x?1+xx x?2+?+xx x?2+x x?1] 对数的概念：如果x（x>0，且x≠1）的x次幂等于x，即x x=x，那么数x叫做以x为底x的对数，记作：log x x=x. 由定义知：（1）负数和零没有对数；（2）x>0，且x≠1，x>0；（3）log x 1=0，log x x=1，log x x x=x，x log x x=x. 对数函数的运算法则：（）log x (x?x)=log x x+log x x （）log x (x÷x)=log x x?log x x （）log x x x=x log x x （）log x x=log x x log x x （）log x x x x=x x log x x 三角函数值

导数公式：（1）(x)′=0（2）(x x)′ =xx x?1 （3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=?sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=?csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=?csc x cot x （9）(x x)′ =x x ln x（10）(x x)′=x x （11）(log x x)′=1 x ln x （12）(ln x)′=1 x （13）(xxx sin x)′= √1?x2 （14）(xxx cos x)′= √1?x2 （15）(xxx tan x)′=1 1+x2 （16）(xxx cot x)′=?1 1+x2 基本积分表：（1）∫x d x=xx+x（x是常数），（2）∫x x d x=x x+1 x+1 +x(x≠1) （3）∫d x x =ln|x|+x （4）∫d x 1+x2 =xxx tan x+x （5）∫tan x d x=?ln|cos x|+x （6）∫cot x d x=ln|sin x|+x

高数一基础知识

高数（一）的预备知识第一部份代数部份（一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程（1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中）标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法：（二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数：（1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质

(1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式（1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号；例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜（四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a -（-,）；对称轴：2b x a =- ；最值：2 44ac b y a -=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）；

高等数学下知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程

1、一般式方程：?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量：),,(p n m s =ρ ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111 p n m s =ρ ，),,(2222p n m s =ρ ， ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ?∏//L 0=++Cp Bn Am ；?∏⊥L p C n B m A == 第九章多元函数微分法及其应用 1、连续： ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、偏导数： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ；y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、方向导数： βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y ??= +?? （一）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+2222；（旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

考研数学：得高数者得天下

考研数学：得高数者得天下 [摘要]考研数学作为公共课里面最令人头痛的学科，让很多考生对他咬牙切齿，却依旧低下头来。由于数学综合性比较强、知识覆盖面广、难度颇大，很多考生复习起来没有思路。而且高数是数学考试中内容最多的一部分，分值所占比例也最高。函数、极限、连续一元函数微分学一元函数积分学多元函数微分学多元函数积分学无穷级数高等数学在150分的考研数学一和数学三中占了56%，即82分，而高等数学二在150分的考研数学二中占了78%，即116分，从而可以看出高数对考研数学来说是最重要的一科，所以我们经常这样说“得高数者，得天下”!下面凯程考研数学名师就结合考研数学大纲为大家详细介绍高数中函数、极限、连续的考试要求：【1】理解【函数的概念】，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 【2】了解【函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性】. 【3】理解【复合函数】及【分段函数】的概念，了解【反函数】及【隐函数】的概念. 【4】掌握基本【初等函数】的性质及其图形，了解初等函数的概念. 【5】理解【极限的概念】，理解函数左极限与右极限的概念以及【函数极限】存在与左、右极限之间的关系. 【6】掌握【极限的性质】及【极限四则运算法则】. 【7】掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用【两个重要极限】求极限的方法. 【8】理解【无穷小量】、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷

小量求极限. 【9】理解【函数连续性的概念】(含左连续与右连续)，会判别【函数间断点】的类型. 【10】了解【连续函数的性质】和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 那么如何才能掌握函数、极限、连续的考试要求中的各个知识点呢?下面凯程考研辅导名师帮助考生做出复习建议。建议一：从根本上理解概念定理高数中有很多概念，需要考生理解记忆。而概念本身是反映事物的本质，考生只有弄清楚它是如何定义的，有什么性质，才能从根本上理解一个概念。所有需要背诵记忆的东西只有建立在理解的基础上才会变得更加容易。定理是一个正确的命题，它分为条件和结论两个部分组成。对于定理的记忆除了要掌握它的条件和结论，还要搞清楚它所适用的范围，更好的理解运用。建议二：从熟练上掌握题型特点在复习中很多考生都过多的重视题海策略，往往忽视了最根本的例题。课本上的例题都是很经典的，有助于考生理解概念和掌握定理。通过反复掌握例题来了解不同例题的特点和解法，在理解例题的同时适量的练习习题。在做题时要善于总结，把做错的题型总结起来，在后面的复习中加深印象。通过熟练的掌握例题以及总结类型，这样在往后遇到的题目中才能做到举一反三。建议三：从宏观上理清知识脉络考生要对整个高数知识有个整体的把握，构建一个系统的知识体系，这样把所有知识串联在一起，方便记忆，以及加深对知识的理解，这为今后的复习起到事半功倍的效果。考研数学历年来出的题目往往不是那些高难度的题型，大多是考查考生基础知识。所以考生只有脚踏实地，把基础知识掌握牢固才能赢得考研数学。凯程教育：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；

高等数学基本知识

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ，其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正数δ,（或存在X ）使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时）恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限，记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高等数学各章知识点总结——第9章

一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点，是某一正数，与点0P 距离小于的点P 的全体称为点0P 的邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的邻域去掉中心点0P 就成为0P 的空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集，则称E 为闭集。区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。

考研数学一二三试卷内容区别

考研数学一二三试卷内容区别我们在进行考研的时候，一定要把数学一二三的试卷内容有什么样的区别了解清楚。小编为大家精心准备了考研数学一二三试卷内容的指导，欢迎大家前来阅读。考研数学一二三试卷内容的分别一、科目考试区别： 1.线性代数数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识，不过通过研究近五年的考试真题，我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过，其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点，而且从近两年的真题来看，数一、数二、数三中线性代数部分的试题是一样的，没再出现变化的题目，那么也就是说从以往的经验来看，2020年的考研数学中数一、数二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!

2.概率论与数理统计数学二不考察，数学一与数学三均占22%，从历年的考试大纲来看，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件，广大的考研学子们都知道大纲中的"了解"与"掌握"是两个不同的概念，因此，建议广大考生在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲，不要做无用功! 3.高等数学数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。由于考察的内容比较多，故我们只从大的方向上对数一、二、三做简单的区别。以同济六版教材为例，数一考察的范围是最广的，基本涵盖整个教材(除课本上标有*号的内容);数二不考察向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数;数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及所有与物理相关的应用。二、试卷考试内容区别

大学高等数学知识点

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ == ∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 11 ()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000, ,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0n x x x +→=, 0,x x e x →-∞?→?+∞→+∞? 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin () ()u x u x ; tan ()()u x u x ; 2 11cos () ()2 u x u x -; () 1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-; arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x 2. 泰勒公式: (1)2 211()2!x e x x o x =++ +; (2)22 1ln(1)()2x x x o x +=-+; (3)34 1sin ()3! x x x o x =-+; (4)245 11cos 1()2!4! x x x o x =-++;

高等数学基本知识大全

高等数学

高等数学高数知识点总结

高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学基本知识点大全

同济六版高等数学(下)知识点整理

高等数学(上册)知识点汇总

高数一基础知识

高等数学下知识点总结

同济六版高等数学(下)知识点整理

考研数学：得高数者得天下

高等数学基本知识

高等数学(下)知识点总结

微积分知识点归纳

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

考研高等数学知识点总结

高等数学各章知识点总结——第9章

考研数学一二三试卷内容区别

最新高等数学知识点(重点)

大学高等数学知识点

高等数学基本知识大全

高等数学高数知识点总结

相关文档

最新文档

高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学基本知识点大全

同济六版高等数学(下)知识点整理

高等数学(上册)知识点汇总

高数一基础知识

高等数学下知识点总结

同济六版高等数学(下)知识点整理

考研数学：得高数者得天下

高等数学基本知识

高等数学(下)知识点总结

微积分知识点归纳

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

考研高等数学知识点总结

高等数学 各章知识点总结——第9章

考研数学一二三试卷内容区别

最新高等数学知识点(重点)

大学高等数学知识点

高等数学基本知识大全

高等数学高数知识点总结

相关文档

最新文档

高等数学各章知识点总结——第9章