北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
北京大学高等数学 A 期末考试试卷
2016~2017学年第 2 学期
考试科目：高等数学 A 考试类型：(闭卷)考试
考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
、填空题(本大题共 5小题，每小题 3分，共15分)
1．二元函数 z ln(y 2
2x 1) 的定义域为 。
2. 设向量 a (2,1,2) ，b (4, 1,10) ， c b a ，且 a c ，则 3．经过(4,0, 2)和(5,1,7)且平行于 x 轴的平面方程为 。
4．设 u x ，则 du 。
1
5．级数 ( 1)n 1
p ，当 p 满足
条件时级数条件收敛。
n 1 n
二、单项选择题 (本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分)
1．微分方程 2(xy x)y' y 的通解是
( )
A ． y Ce 2x
2 2x
B ． y
C e
C ． y
2
e
2y Cx
D ． e
2y Cxy
2．求极限 lim 2 xy 4
(
)
(x,y) (0,0)
xy
1 1 1 1
A ．
B ．
C ．
D ．
4
2 4 2
3．直线 L : x y z 和平面 :3x 2y 7z 8 0 的位置关系是 (
)
32 7
A．直线L 平行于平面B．直线L在平面上
三、计算题(本大题共 7小题，每小题 7分，共49分)
1. 求微分方程 y' y e x
满足初始条件 x 0， y 2的特解。
xy
2. 计算二重积分 2 2 dxdy ，其中 D {( x, y) x 2 y 2 1,x y 1} D x y
3．设 z z(x,y)为方程 2sin( x 2y 3z) x 4y 3z 确定的隐函数，求 xy
C ．直线 L 垂直于平面
D ．直线 L 与平面 斜交
4．D 是闭区域 {( x, y)|a 2 x 2
y 2 b 2
} ，
则 x 2 y 2d
D
3 3
2 3 3 4 3 3
A ． (b a )
B ． (b a )
C ． (b a ) 2 3 3 5．下列级数收敛的是
1 1 n 1 A ．
1
B ． 12
n
C ．
1
n 1 (n 1)(n 4) n 1 n 1 n 1 2n 1
D ．3
(b 3
a 3
)
2
D ．
n1
1 3
n(n 1)
4.求曲线积分(x y)dx (x y)dy ，其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0) ，逆时针方
L
向。
5. 计算y51 x2y6dxdy ，其中D是由y 3 x，x 1及y 1所围成的区域
D
n
6．判断级数( 1) n 1的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛n 1 n 1 n
(1 x)(2 x)展开成x的幂级数，并求其成立的区间
四、解答题 (本大题共 3 小题，每小题7 分，共21 分)
1．抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
7．将函数
nn
2. 求幂级数( 1) nx的和函数n 1 (n 1)!
3. 设函数f(x)和g (x)有连续导数，且 f (0) 1，g(0) 0 ，L为平面上任意简
单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为 D ，已知
xydx [yf(x) g(x)]dy yg(x)d ，
L
D
求 f (x)和g(x) 。
sin cos
1.5CM 参考答
案
一、填空题(本大题共 5小题，每小题 3分，共15分)
1．{( x,y)|y 2
2x 1 0} 2．3
3．9y z 2 0 4． yzx yz 1
dx zx yz
ln xdy yx yz
ln xdz 5．0 p 1
二、单项选择题 (本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分)
1．C 2．C 3．C 4．B 5． A
三、计算题(本大题共 7小题，每小题 7分，共49分) 1. 求微分方程 y' y e x
满足初始条件 x 0， y 2的特解。
解：先求 y' y 0的通解，得 y C 1e x ?????? 2 分 采用常数变易法，设 y h(x)e x
，得 y' h'(x)e x
h(x)e x
???3 分 代
入原方程得 h'(x)e x h(x)e x h(x)e x e x
?????? 4分
得h(x) 1e 2x C ?????? 5 分 2
故通解为 y 1
e x
Ce x
?????? 6分
2
将初始条件 x 0，y 2带入得C 23
，故特解为 y 1
2e x 3
2
e x
7分
2. 计算二重积分 x
2 y
2 dxdy ，其中 D {( x,y):x 2
y 2
D x y
1,x y 1} 。
解：设 x r cos , y r sin 1分 所以
x 2
y
2 D x 2 y 2
dxdy 2 d
sin cos
2
(sin cos 1)d
4
7分
r cos r sin
rdr 5分
6分
3分
3.设z z(x, y)为方程2sin( x 2y 3z) x 4y 3z 确定的隐函数，求xy 解：设 F ( x, y, z) x 4y 3z 2sin( x 2y 3z) ?????? 1 分
F x 1 2cos( x 2y 3z), F y 4 4cos( x 2y 3z), F z 3 6cos( x 2y 3z) ??????
4 分
所以
xy
4. 求曲线积分(x y)dx (x y) dy，其中L沿x2 y2 a2(x 0,y 0) ，逆时
针L
方向。
解：圆的参数方程为：x acost , y a sint (0 t ) ?????1分
2
(x y)dx (x y)dy
02(a cost a sin t )da cost
02
(a cost a sin t)da
sint ??3 分L
a2 2 (cos 2t sin 2t )dt ?????? 4 分
a
2
[sin 2t cos2t]02?????? 6 分
2
a2??????7 分
(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)
5. 计算y51 x2y6dxdy ，其中D是由y 3 x，x 1及y 1所围成的区
域。 D
解：D {(x,y)|3 x y 1, 1 x 1} ??????1分
y 5
1 x
2
y
6
dxdy
D 1
1
dx
y6dy 2分
4分
z F x 2cos(x 2y 3z) 1 x F z 3[1 2cos( x 2y 3z)] z F y 4cos(x 2y 3z) 4
y F z 3[1 2cos(x 2y 3z)]
6分
zz 7分
1 1 3
9 1
(|x|3
1)dx 5分 1
3
(x 3
1)dx ??????
6
分
7分
6. 判断级数
n1 ( 1)
n
n n1
的敛散性，并指出是条件收敛还是
绝对收敛
解：
( 1)n
n 1 n 1 n
n 1
?????? n 1 n
1分
1
(n ) ?????? 3 分
n
所以级数发散。 ?????? 4 分 又
n 1 n ( 1) (1
1)1
n 1 n
5分
( 1)n
( 1)
n 1
n (n 1) n
6分
显然，交错级数 ( 1)
， n 1 n 收敛。 ?????? 7 分
n1 ( 1)n
(n 1) n 都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
7. 将函数 (1 x)(2 x) 展开成 x 的幂级数，并求其成立的区间 解：
(1 x)(2 x) 1 x 2 x 2分
1
n 而
x n
, |x| 1
1 x n 0 3分
21x 12[1 2x (x 2)2
] (|x| 2)
4分 所
以
(1 x)(2 x)
1 x x
2
12
[1 2x (2x )2
]
5分
(1 n 11
) x n
?????? 6分 n 0 2
成立范围 |x| 1?????? 7 分 四、解答题(本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分)
1. 抛物面 z x 2 y 2 被平面 x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的
最长与最 短距离。
解：设椭圆上任一点 P 的坐标为 P(x,y,z)， P 点满足抛物面和平面方程。原点
到这椭圆上任一点的距离的平方为 x 2 y 2 z 2 ，?????? 1 分 构造拉格朗日函数
F x 2
y 2
z 2
(x 2
y 2
z) (x y z 1) ?????? 2 分
F x 2x 2x 0 F y 2y 2y 0
F z 2z 0 ?????? 4 分 F x 2 y 2
z 0
F x y z 1 0
解得 x 1
( 1 3) ?????? 5 分
2
得两个驻点为 P 1 ( 1 3, 1 3
,2 3), P 2 (
1 3
, 1 3
,2 3)
2 2 2
2 2
2 2
2
??????? 6 分
所以最短距离为 9 5 3 ，最短距离为 9 5 3 ?????? 7 分
nn
2. 求幂级数
( 1) nx
的和函数 n 1 (n 1)!
n
解：因为 e
x
x
，所以 e x
n 0 n! n 0
nn
( 1) x n!
1分 S(x)
n0
nn ( 1) nx (n
1)! n0
( 1)n (n 1 1)x
n (n 1)! 2分
n n n n
( 1)n
x n
( 1)n
x n
??????
n 0 n! n 0 (n 1)!
3分
所以
1
S(x) e x (1 e x
)(x 0)
x 1x
(1 e x
) (x 0) ??6 分 x
nn
x
x
( 1)n x n
dx n 0 n!
1 x 1 x x xde x 0
1
xx
xe e 1 x II
3. 设函数 f(x)和g(x)有连续导数，且 f(0) 1，g(0) 0 ，L 为平面
上任意简单 光滑闭曲线，取逆时针方向， L 围成的平面区域为
II xx ee xx
nn
( 1)n x n
x
e n
0 n! 4分
( 1)n x n 1 ( 1)n x n 1
1 ( 1)n 1
x n 1
n 0 (n 1)! x n 0 (n 1)! x n 0 (n 1)!
1 ( 1)n x n
1 x n 0 n!
1 1
e
x
e xx
n 0 (n 1)!
1 ( 1)n x n
x n 1 n! 1 1 ( 1)n x n x x n 0 n!
(x 0 )? 5分
故 S(x) e x 当 x 0 时， S(x) 0 。 7分 另解：
当 x 0 时，
( 1)n nx n 1 ( 1)n nx n 1 1 ( 1)n n 1 (n 1)! x n 1 (n 1)! x n 1 (n 1)! x n
dx 0
1x
x 0 n 1 (n 1)! dx
( 1)
n 1
x n 1 0
x
( 1) x
dx
n 1 (n 1)!
x
x 0 xe 当 x 0 时，
S(x) 0 。
D，已知
L
xydx [yf(x) g(x)]dy yg(x)d ，
求 f (x)和g(x) 。
解：由格林公式得
[yf '(x) g'(x) x]dxdy yg(x)dxdy?????? 2 分
DD
即[yf '(x) g'(x) x yg( x)]dxdy 0 ?????? 3 分D
由于区域的任意性，yf '(x) g'(x) x yg(x) 0 ??????4分又由于y的任意性，有 f '(x) g(x)，g'(x) x ?????5分
2
又由f(0) 1，g(0) 0得，g(x) x??????6分
2
3
所以 f (x) x 1 ??????7 分
6
1 62
3 1
[(1 x2 y6)2]13
x
dx