等差数列学案

§3.2 等差数列

【知识要点归纳】

一、等差数列的有关概念

1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

2．等差中项：如果三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项．即A ＝a ＋b 2

二、等差数列的有关公式

1．通项公式：

2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n 2 三、等差数列的性质

1．在等差数列中，若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .

2．（1）下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…组成的数列仍为等差数列,公差为md .

（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{λa n +b}(λ、b 为常数)是公差为λd 的等差数列.

3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d .

4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值；d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．

5.等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d ，则其前n 项和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2

，B ＝a 1－d 2

，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．

6. 若等差数列{a n }的项数为2n(n ∈N *),则S 偶-S 奇=nd,1

=n n S a S a +奇偶 若等差数列{a n }的项数为2n-1(n ∈N *

),则n S S a -=奇偶,奇偶S S =n n 1-. 7.两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,则

2121

n n n n a S b T --=

四、 等差数列的判定方法主要有: 1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-

1. 定义法:a n+1-a n =d (常数)(n ∈N *

)?{a n }是等差数列;

2. 中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)?{a n }是等差数列;

3. 通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *)?{a n }是等差数列;

4. 前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)?{a n }是等差数列. 【典型例题精析】

例1 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.

(1) 求{a n }的通项公式；

(2) 记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．

例2在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)．

(1) 求a 2，a 3的值；

(2) 设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．

例3在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )

A ．58

B ．88

C ．143

D ．176

例4设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n

都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4

的值为________．

例5 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________ 时{}n a 的前n 项和最大

《等差数列前n项和公式》教学设计53171

《等差数列的前n项和》教学设计 一、设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 二、背景分析 本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。 四、教学目标 1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法； 2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题； 3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力； 4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点

等差数列与等比数列学案

专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n － 1. 求和公式 等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1） 2d ； 等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)． 性质

1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5＝( ) A.11 5 B.522 C.1110 D.225 解析：选D.S 11S 5＝11 2（a 1＋a 11） 52（a 1＋a 5 ）＝11a 65a 3＝22 5 .故选D. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3 2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3) ＝－10.故选B. 3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2 ＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋ 2）1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成 立，则有?????4－q 2 ＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得?????a 1＝1，q ＝2或? ????a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20 a 10 ＝________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3 ＝± 4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20 a 10 ＝q 10＝1. 法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，

等差数列的前n项和学案

【学习目标】1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n . 【学法指导】1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为： a n ＝????? S 1 n ＝1，S n －S n －1 n≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解 时，要分类讨论． 2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问 题的一个重要应用． 3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境 界处理等差数列的前n 项和问题． 一．知识导学 1．前n 项和S n 与a n 之间的关系 对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝????? n ＝1， n≥2. 2．等差数列前n 项和公式：S n ＝ ＝ . 3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝_ __，B ＝ ，C ＝ . 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 二．探究与发现 [问题情境] 1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗如果确定了，那么如何求它的通项公式应注意一些什么问题 2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c(a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗 3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和

高中数学必修五第二章数列学案 等差数列的前n项和(2)

§2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人： 王 浩 审核人： 马 琦 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程 一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题 例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。 变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。 例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.

等差数列的性质导学案

§等差数列（第二课时） 教学目标： 1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律； 2、理解等差数列的性质； 3、掌握等差数列的性质及其应用。 教学难点：等差数列的灵活应用 预习案 自主学习：等差数列的常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列： (1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n } （2）等差数列的通项公式：n a = 通项公式的推广：n m a a =+ ()* ,N n m ∈ 结论：若数列{n a }的通项公式为q pn a n +=的形式，p,q 为公差的等差数列。 （3）多项关系：若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈则m n a a +=

2、等差数列的性质： （1）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c+a n }(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{c a n }(c 为任一常数) 是公差为______的等差数列； (2) 若数列{n a }、{}分别是公差为d 1和d 2的等差数列，则数列{n n pa qb + } (pq 是常数)是公差为________的等差数列。 （3）若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ; a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ; 合作探究： 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象，这个图象有什么特点 （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系

2.2等差数列教学设计(第一课时)

2.2等差数列教学设计(第一课时)

2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，

真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性

新人教A版必修5高中数学2.2等差数列(1)学案(三)

高中数学 2.2等差数列（1）学案 新人教A 版必修5 学习目标 1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断 一个数列是等差数列； 2. 探索并掌握等差数列的通项公式； 3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项. 学习重难点 1.重点： 等差数列的通项公式 2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项 一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？ 二、试一试 问题一：等差数列的概念 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项， 用等式表示为A = 问题二：等差数列的通项公式 2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . ※ 学习探究 探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项； ⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

高中数学等差数列前n项和教学案苏教版必修

[课 题]：2.1 等差数列的前n 项和（1） [知识摘记] 1. 等差数列的前n 项和： 公式1：___________________； 公式2：___________________； 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为 ________________. [例题解析] 例1 在等差数列｛a n ｝中， （1）已知31=a ，10150=a ，求50S ； （2）已知31=a ，21= d ，求10S ． 例2 在等差数列｛a n ｝中，已知21=d ，23=n a ，215-=n S ，求1a 及n . 例3 在等差数列｛a n ｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和． 例4 根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列. (1)S n ＝2n 2－n (2)S n ＝2n 2－n ＋1 [反思] [课外作业] 1.在等差数列{n a }中，若1107,43a a ==-，则10S = ；

2．等差数列{}n a 中，2519a a +=，540S =，则10a = ； 3.在等差数列{n a }中，若4141,a a +=则17S = ； 4.若等差数列{n a }的公差为 12，且100145S =，则13599a a a a +++???+= ； 5．在等差数列{}n a 中， （1）已知13d =，37n =，629n S =，求1a 及n a ； （2）已知120,54,999,n n a a S ===求d 及n ； 6.等差数列的前n 项和为n S ，若122028S 84,S 460,S .==求

等差数列专题训练

等差数列 【巩固练习】 1．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－ C. D. 2 2.已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）. A. 25n - B. 23n - C. 21n - D. 21n + 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 5．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 6.已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________. 7.已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________. 8.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________. 9.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________. 10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________. 11．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。 12．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。 13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。 14．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ {}n a 7a 4a 3a 1212

等差数列前n项和1-导学案(公开课)

§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时） 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美. 重点：等差数列前n 项和公式及其应用. 难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得. 复习回顾 1.数列{}n a 的前n 项和的概念： 一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和， 用n S 表示，即=n S 2.n S 与n a 的关系：(1)(2) n n a n =?=?≥? 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ...... 问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 思考： (1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2) (3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？

问题二：?n 321S n =+?+++=（小组讨论，总结方法） 高斯算法： 倒序相加法： 探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？ 问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？ 新知：等差数列前n 项和公式： 公式一： 公式二： 问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？ 公式一： 公式二： 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？

等差数列讲学案

2、2．1等差数列（一） 【学习要求】 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 【知识方法提炼】 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示。 2.等差数列通项公式：1n a a =+ * ();d n N ∈ 3. 等差中项：由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项，A = 。 4.判断一个数列为等差数列的方法： （1）定义法：{}*1().)n n n a a d a +-=∈?常数（n N 为等差数列。 （2）等差中项法：{}122(*)n n n n a a a n N a ++=+∈?为等差数列。 （3）通项法：n a 为n 的一次函数{}n a ?为等差数列。 【随堂检测】 A 组 1、数列3，7，13，21，31，…的通项公式是 （ ） A 、41n a n =- B 、322n a n n n =-++ C 、21n a n n =++ D 、不存在 A 、0 B 、37 C 、100 D 、－37 2、等差数列8，5，2，…的第20项为___________。 3、在等差数列中已知1612,27,a a d ===则___________。 4、在等差数列中已知13 d =-，718,a a ==则____________。 5、如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第___项. 6、已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为__________. 7、若数列{a n },已知a 1=2,a n+1=a n +2(n ≥1),求数列{a n }的通项公式__________. B 组 1、等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = 23n -.

等差数列前n项和导学案

课题：6.2.2 等差数列的前n 项和 【学习目标】 1、掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路； 2、会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 学习重点：等差数列的前n 项和公式. 学习难点：等差数列前n 项和的两个公式的应用. 【预习案】 【使用说明和学法指导】 1.认真阅读教材P13-16，对照学习目标，有困难或疑问请用红笔标注，并完成预习案； 2.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处. 一、相关知识： 1、等差数列的定义： 2、等差数列的通项公式： 3、等差数列的性质： 二、教材助读： 1、等差数列前n 项和的公式一： ； 2、等差数列前n 项和的公式二： ； 3、等差数列前n 项和的公式一、二分别在什么时候可以用？ 三、预习自测： 1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S ： ⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵1 14.50.715a d n ===，， ⑶142 3321=-==n a a n ，，； ⑷10152-===n a n d ，，. 2、已知数列{}n a 是等差数列，且15S =90，则51a a += ； 3、在等差数列-4,1,6,11，…中，前多少项的和是77？ 【我的疑惑】

【探究案】 一、质疑探究 探究点一：等差数列前n 项和公式的推导 问题：某工厂的仓库里堆放着一批钢管，最上一层4根，以下每层比上层多一根，共堆放了7层，求钢管总数. 思考： ① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和? ② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和? 规律方法总结：倒序求和法 探究点二：等差数列前n 项和公式的应用 例1、一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层防一支铅笔，往上每一层都比下面一层多放一支，最上面放有120支，这个V 形架上共放有多少支铅笔？ 方法一： 方法二： 规律方法总结：1. 用1()2 n n n a a S += ，必须已知三个条件： . 2. 用1(1)2 n n n d S na -=+，必须已知三个条件： . 变式：在等差数列-5，-1,3,7，…中，前多少项的和是345？ 规律方法总结：在等差数列前n 项和公式中有四个量，知道其中三个可以求出第四个. 二、归纳梳理、整合内化 【训练案】 一、当堂检测 1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．4566 3.在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = . 4.在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = . 5.有多少个三位正整数是6的倍数？求它们的和. 二、作业：教材P17习题3、4、5 【我的收获】（反思静悟、体验成功）

高中数学导学案 等差数列

2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期

《等差数列及其前n项和》学案.doc

等差数列及其前//项和 一、自主梳理 1.等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第—项起，每一项与它的前一项的—等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ d为 常数). (2)数列a, A, b成等差数列的充要条件是___________ ,其中A叫做a, b的—等差中项_______ ? 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n= _______ , a n=a m+ __________ (jn, z/GN*). (2)前n项和公式：S n= __________ = ____________ . 3.等差数列的性质 (1)^m+n=p + q(m, n, p, gGN*),则有 _______________ , 特别地，当m+n=2p时，________________ ? (2)若｛给｝是等差数列，公差为d,则｛他”｝也是等差数列，公差为____ (3)若｛给｝是等差数列，公差为〃，则做，如加，做+2加…伙，加UN*)是公差为_ 的等差数列. ⑷若｛為｝, ｛仇｝是等差数列，贝\\｛pa n+qb n｝也是等差数列. (5)等差数列的单调性：若公差〃＞0,则数列为_____________ ; 若虫0,则数列为____________ ；若d=0,则数列为___________ ? (6)等差数列中,S mf S2m-S m9 S3f n-S2l…成等差数列. (7)S2n-1= (2n 1 )a n. 二、自我检测 1.在等差数歹!]｛為｝中，若=4,匂=2,贝妆=() A.-l B.O C」 D.6 2?｛為｝是首项67, =1,公差为d = 3的等差数列，如果色=2005,则序号〃等于() A. 667 B. 668 C. 669 D. 670 3.(2015课标全国II，文5)设S”是等差数列｛a n｝的前比项和，若q +他+% =3,则Ss=() A.5 B.7 C.9 Dll

等差数列导学案及练习题

等差数列导学案及练习题 [学习目标] 1．理解等差数列的意义． 2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题． 3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用． [自主学习] 探究一等差数列的概念 问题1 我们先看下面几组数列：(1)3, 4, 5, 6, 7，…； (2)6, 3, 0，－3，－6，…； (3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 . 问题2 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由： (1)4, 7, 10, 13, 16，…； (2)31, 25, 19, 13, 7，…； (3)0, 0, 0, 0, 0，…； (4)a，a－b，a－2b，…； (5)1,2,5,8,11，…. 总结如下： 从第项起，每一项与的是（又称），我们称这样

的数列为等差数列. ⑴当公差时，是什么数列？ (2)如何判断一个数列是否为等差数列？ ⑶将有穷等差数列所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？ 探究点二等差数列的通项公式 问题如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？ 等差数列的通项公式为 探究点三等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么叫做和的，试用x，y表示A. 探究若数列{an}满足：an＋1＝，求证：{an}是等差数列． 例1已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为：a,2a－1,3－a. 跟踪训练1 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 例2已知1a，1b，1成等差数列，求证：b＋a，a＋b，a＋b也成等差数列． 跟踪训练2 已知a，b，成等差数列，那么a2(b＋)，b2(＋

完整版等差数列前n项和教案

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1 ?掌握等差数列前n项和公式； 2?体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3?会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1?通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务：

前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a 如 , Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前 n 项 和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 即:Sioo=l+2+3+ ? +100=? 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+?+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 特点： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98 =101, 50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。 5050 第50项与倒数第50项的和: 于是所求的和是： 1 + 2+3+ ? +100 二 101X50

等差数列教学设计及教案

等差数列》教学设计 教材分析 1.教学内容： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》（人教A 版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。 2.教学地位： 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 3.教学重点难点： 重点：①理解等差数列的概念。 ②探索并掌握等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：理解等差数 列“等差”的特点及通项公式的含义，概括通项公式推导过程中体现出的 数学思想方法。 学情分析 我所教学的学生是我校高二（9）班、（10）班的学生，经过一年的学习，已具有一定的理性分析能力和概括能力。且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。但也有一部分学生的基础较弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启

发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。教法和学法分析 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题， 调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从三个现实问题（课本页码问题、月均等额还款问题、操场跑道问题）概括出特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；引导学生多角度、多层面认识事物，学会探究。在本节的备课和教学过程中，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题、解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适、自我选择。 教学目标 通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式。能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来

等差数列的概念导学案

课题：6.2.1 等差数列的概念 【学习目标】 1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念. 2、逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题. 学习重点：等差数列的概念及其通项公式. 学习难点：等差数列通项公式的推导和灵活运用. 【预习案】 【使用说明和学法指导】 1.认真阅读教材P9-12，对照学习目标，有困难或疑问请用红笔标注，并完成预习案； 2.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处. 一、相关知识： 数列的通项公式： 二、教材助读： 1、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的差等于________,那么这 个数列就叫做等差数列，这个________叫做等差数列的公差，公差通常用字母_____表示. 2、公差为0的数列叫做 . 3、等差数列的通项公式： . 4、若三个数b A a ，，组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ，即=A 2 或=A . 三、预习自测： 1、判断下列数列是否为等差数列： （1）4，7，10，13，16 （2）-3，-2，-1，1，2 （3）0， 0， 0 ，0，…，0 （4）a-d ，a ，a+d 2、求下列各组数的等差中项： （1）732与-136； （2） 2 49 与42. 3、求等差数列10，8 ，6，…的第二十项； 4、100是不是等差数列2, 9, 16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 5、在等差数列{}n a 中，d a a ，求公差，271261==. 【我的疑惑】

一、质疑探究 探究点一：等差数列的概念，怎样判断数列是否为等差数列. 例1．（等差数列概念）给出下列命题：①1，2，3，4，5是等差数列；②1，1，2，3，4，5是等差数列； ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列； ⑤数列{}12+n 是等差数列； ⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成 等差数列；⑦若() *1N n n a a n n ∈=--，则数列{}n a 成等差数列； ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列； ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。其中真命题的序号是 . 注意：⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵对于数列{n a },若1--n n a a =d (d 为常数)，（n=2,3,4，…），则此数列是等差数列，d 为公差. 探究点二：等差数列的通项公式 例2.求等差数列8,5,2,…的第20项. 变式一.已知数列{}n a 的公差,4 315,4330== a d 则=1a 变式二.401-是不是等差数列 ,13,9,5---中的项？如果是，是第几项？ 规律方法总结：在通项公式中有四个量：n d a a n 、、、1,已知其中三个量的值，可以求得第四个量. 探究点三：等差中项 例3.已知等差数列{}n a 中，31=a ，公差d=5，则52a a 与的等差中项为 . 注意：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项. 二、归纳梳理、整合内化 【训练案】 一、当堂检测 1、在等差数列{}n a 中，26,271==a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）88是不是数列{}n a 中的项？ 2、在等差数列{}n a 中，已知22131===d a a n ，，，求n ； 3、求537537-+和的等差中项. 二、作业：教材P13A 组第2题，B 组1、2、3、4

等差数列导学案

高一数学 《等差数列》导学案 撰稿：刘望时间：2015-4-12 【学习目标】 1、明确等差数列的定义 2、掌握等差数列的通项公式，知道a i,a n,d,n中的三个，求另外一个的 问题 【重点难点】 重点：1、等差数列的概念。2、等差数列通项公式的推倒和应用 难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 【知识链接】 1.已知数列a n的通项公式a n 3n 7, n N ，写出数列的前5项—「且a2015= 2.已知数列a n的通项公式a n a n1 1 ,n N ,n 2 , a“3,写出数列的前5项________________________

【学习过程】知识点一、等差数列的概念 0, -5, -10, -15, -20, -25, -30 … 1884,1988,1992,1996,2000,2004,2008 ??? 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 ??? 22 - , 23, 23 - , 24, 24 -,25, 25 - , 26 2 2 2 2 观察以上数列，尝试回答以下问题 问题1：这些数列的共同点是____________________________________ 问题2:等差数列的定义：______________________________________ 叫公差，用 _____ 表示. a1称为. 例1 :已知数列a n的通项公式a n 4n 3, n N ，判断这个数列是等差数列

如果是等差数列求出它的首项a i和公差d 解：?当n 2 时，a. a. i _____________________________________________________ 二a n 4n 3, n N ____________ 等差数列。 拓展：1.数列a n的通项公式a n=pn+q（p, q是常数），这个数列是等差数列吗你能证明吗如果是等差数列，求出首项a i和公差d. 知识点二：等差数列的通项公式 例2:已知等差数列a n的首项为a i，公差为d，试推导其通项公式 方法1：（数学猜想）由a n是等差数列，得a n a n i d（n 2） a n a n i d 贝S a2 a i d，a3 )d a i ( )d a4 ( ) d ( )d a i ( )d a5 ( ) d ( )d a i ( )d