最新2019—2020南京信息工程大学期末试卷--概率统计
最新2019—最新2019—2020南京信息工程大学期末试卷--概率统计
2015－ 2016学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( B 卷)
本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；出卷人 统计系 ；出卷时间 2016 年 1 月
学院 专业 班 学号 姓名
一、填空题（15分，每题3分）
1、设相互独立的事件,A B 满足条件：()()P A P B =，且已知7
()16
P A
B =
，则()______P A =.14
2、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(0)p p >，则此人射击4次恰好有2次命中目标的概率为_________.2
2
6(1)p p -
3、设随机变量2
~(4,3)X N ，则二次方程2
40y y X ++=无实根的概率为
_______.12
4、设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
(max{,}1)_________P X Y ≤=.1
9
5、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2
(,)N μσ，则2
()_________E XY =.3
2
μμσ+ 二、选择题（15分，每题3分）
1、设A 和B 为两个随机事件，且0()1,()0,()()P A P B P B A P B <<>=，则必有（ C ）.
A. ()()P A B P A B =
B. ()()P A B P A B ≠
C. ()()()P AB P A P B =
D. ()()()P AB P A P B ≠ 2、设~(0,1)U N ，则下列错误的是( B ).
A ．(1)(1)P U >-=Φ B. (||1)2(1P U >=Φ
C. (11)2(1)P U -<<=
Φ- D. (1)(1)1(1)P U P U <-=>=-Φ
3、从总体X 中抽取样本容量为16n =的样本，若总体的标准差()10.52X σ=，则总体X 的标准差()X σ为（ A ）.
A. ()42.08X σ=
B. ()10.52X σ=
C. () 2.63X σ=
D. ()168.32X σ=
4、设随机变量22
1122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且12(1)(1)P X P Y μμ-<>-<，则必有( A ).
A. 12σσ<
B. 12σσ>
C. 12μμ<
D. 12μμ> 5、设总体2
~(,0.6)X N μ，19,
,x x 为样本，其样本均值为x ，则总体均值μ的
90%的置信
区间是( D ).
A. 0.900.4x Z ±
B. 0.950.4x Z ±
C. 0.900.2x Z ±
D. 0.950.2x Z ± 三（10分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X . 1）试写出X 的分布律； 2）求X 的数学期望()E X . 解：1）记1q p =-，则X 的分布律为1
(),1,2,
i P X i q p i -=== ……………….. 4分
2）X 的数学期望1
1
1
()()i i i E X iP X i iq
p ∞∞
-===
==∑∑ ……………….. 3分
1
1
()()1i i q p q p q q ∞
=''===-∑ ……………….. 3分
四（15分）设随机变量X 的分布函数为?
?
?<≥+-=-0,00,)1(1)(x x e x x F x
， 求：（1）X 的概率密度； （2）(31)P X X <>； （3）2Y X =+的概率密度.
解：1）X 的概率密度为：,0
()()0,x xe x f x F x -?>'==??其他
……………….. 3分
2）1
(1)1(1)1(1)2P X P X F e ->=-≤=-= ……………….. 3分 故(13)
(31)(1)
P X P X X P X <<<>=
>
1321
(3)(1)24121(1)2F F e e e F e
------===-- ……………….. 3分 3）2Y X =+的分布函数()()(2)(2)(2)Y X F y P Y y P X y P X y F y =≤=+≤=≤-=-
故Y 的概率密度(2)(2),2
()()(2)(2)0,y Y Y X X y e y f y F y F y f y --?->''==-=-=??其他
……….. 6分
五（10分）设二维随机变量()Y X ,的概率密度为：
()1,01,02,0,x y x
f x y <<<
?其他
（1）求()Y X ,的边缘概率密度()()y f x f Y X ,； （2）求(1)P X Y +<.
解：1）()()20
,012,01
,0,0,x
X dy x x x f x f x y dy ∞
-∞
?<<<
==?????
??
其他其他
……………….. 3分 ()()1
2,021,02,20,0,y Y y dx y y f y f x y dx ∞
-∞
??<
=
==???????
??
其他其他 ……………….. 3分
2）2
131
02
1
(1)(,)3
y
y x y P X Y f x y dxdy dxdy -+<+<=
==???
?
. ……………….. 4分
六（10分）设12,,,n X X X 是来自标准正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，记
,1,2,,i i Y X X i n =-=.求（1）11Y X X =-的方差1()D Y ； （2）11(,)n Cov Y X X +.
解：1）12111()()()n
X X X D Y D X X D X n
++
+=-=-
122122
22
(1)(
)
(1)()()()
(1)(1)1n
n n X X X D n
n D X D X D X n n n n n n ----=-+++=
-+--== ……………….. 5分 2）12111(1)(,)(
,)n
n n n X X X Cov Y X X Cov X X n
---
-+=+
121111
((1),)1
[((1),)(,)]12[(1)1]n n n n Cov n X X X X X n Cov n X X Cov X X n n n n n
=----+=-+--=--= ……………….. 5分 七（15）设总体X 的概率密度为()36(),00,x
x x f x θθ
θ?-<
，n X X X ,,,21 是来自总体X 的
样本.试求
（1）θ的矩估计量?θ
； （2）总体X 的方差()D X ； （3）?θ的期望?()E θ和方差?()D θ. 解：1）2
3
6()()()2
x E X xf x dx x dx θ
θ
θθ∞
-∞
=
=-=
??
……………….. 2分
令
2
X θ
=，得θ的矩估计量?2X θ
= ……………….. 3分 2）由于3
2
2
2
3
66()()()20
x E X x f x dx x dx θ
θθθ∞
-∞
=
=-=??
……………….. 3分 22
2
2
26()()[()]()20220
D X
E X E X θθθ=-=-= ……………….. 2分
3）?()(2)2()2()E E X E X E X θ
θ==== ……………….. 2分 2
4?()(2)4()()5D D X D X D X n n
θθ==== ……………….. 3分
八（10分）假设某学校在校同学身高服从正态分布2
(,)N μσ，其中μ未知.现从该校随机抽取25名同学测量身高，算得身高数据的平均值170cm ，标准差为12cm.试通过检验说明，在显著性水平
0.05α=下，能否认为该校同学身高的方差2100σ=.
注：()()()()2
2
2
2
0.0250.0250.050.950.9751.96,2439.364,2436.415,2413.848,2412.4Z χχχχ=====
解：22
22
0010:100,
:100H H σσσσ==≠= ……………….. 2分
若原假设为真，则
2
220
(1)~(1)n S n χσ-- ……………….. 2分
于是 2222
2210022(1)(1)((1)(1))n S n S P n n ααχχασσ-????--≤-≥-=????????
因此，拒绝域为222102(1)(1)n S n αχσ-
??-≤-????或22
202(1)(1)n S n αχσ??-≥-????
……………….. 3分 已知222
0.0250.975025,0.05,12,(251)39.364,(251)12.4,100n S αχχσ===-=-==
计算得
2
20
(1)24144
34.56100
n S σ-?=
=
由于
2
22
2
1
22
(1)
(1)12.4(1)39.364
n S
n n
αα
χχ
σ
-
-
-=<<-=
故接受原假设，即可以认为该校同学身高的方差2100
σ=. ……………….. 3分