热统II-课件-9月10日

绪论

(2009-9-10)

从一到无穷大（More is Different）

由基本粒子构成的巨大的和复杂的的集聚体的行为并不能依据少数粒子的性质作简单外推就能理解。正好相反，在复杂性的每一个层次之中会呈现全新的性质，而要理解这些新行为所需要作的研究，就其基础性而言，与其他研究相比毫不逊色。

------ P W Anderson 1972

力学，电磁学描述单体或少体体系的运动规律。若不考虑强相互作用及弱相互作用，则力学（引力），电磁学（电磁力）的知识基本上可以使我们完全理解一般个体的运动规律。量子力学是20世纪的革命，然而其作用也无非是引入量子化的概念是我们可以更准确地描述单体，少体体系的运动。

热力学与统计物理的研究对象是大量（有多大？N~1023）粒子组成的宏观系统，是我们日常所认识的。这些粒子的运动均满足力学、电磁学，那么是否可直接求解Hamilton方程或Maxwell方程呢？事实上这不可能也不现实。天体中日-地-月的简单3体问题，已经极其复杂。另外也不必要：谁会在意1023个粒子中的一个粒子的运动行为呢？事实上，当N极大时，新的物理规律--统计规律呈现出来，我们应采用非力学的方法来加以处理。

温故知新

Thermodynamics: Top-down approach,形而上唯象

热力学：研究宏观体系的平衡态的宏观物理量之间的关系。

热力学奠基人：Carnot，Joule，Clausius， Kelvin

热力学第一定律（能量守恒定律）

设一宏观体系，有内能U，体积V，在任一过程中体系的内能增加为外界对体系做

=?+

的功加上从外界吸收的热： dU PdV dQ

内能，体积是状态的函数。吸收的热量却是与过程有关的，不是由状态唯一决定的。焦耳的重要贡献就是指出热功当量---热本质上和功是一回事。

热力学第二定律（熵定律）

若第一定律可以说不过是能量守恒在热力学中的应用，这第二定律则是一个完全的热力学规律，它给出了不可逆性，或者说时间箭头，有着重要的意义。

文字表述:

克氏：不可能将热量从低温热源转移到高温热源而不引起其他变化。

开氏：不可能从单一热源吸收热量完全转化成功而不引起其他变化。

仔细品味两者，都可体会出“序”的概念：即自发过程只能是由“有序”到“无序”。热虽也是能量的一种表现形式，却不能自发转化成功，因为“热”是无序的能量，而“功”却是有序的。热量自发由高温到低温是允许的，因为那使得体系总的“序”更低，反之则不行。问题是，物理上如何刻画“序”？ 数学表述： 一个体系，经过一系列操作回到原来状态时： 0dQ T ≤∫

取等号是可逆过程。这个不等式给出了熵的概念，及熵增加原理。

a ）熵S

设C 1，C 2为由A-B 和B-A 的两个可逆过程，则

12120( )B A A B c c B B A A c c dQ dQ T T dQ dQ const independent of path T T +===∫∫∫∫

因此可以定义： |/A

A B any path B dQ S S dS dQ T T ?=?=∫

S 为状态函数，像U ，V 一样为广延量。

b ）熵增加原理

设C 1为B-A 的不可逆过程，总可以找到一可逆过程C 2 使体系A-B 。因此，整个回路积分小于等于0：

120B

A A

B c c dQ dQ T T +≤∫∫

若不可逆过程为绝热过程，则

0()0 0 0A B A B S S S S dS +?≤??≥?≥

结论：体系在绝热条件下进行的一切不可逆过程，熵永远不减少。

几个常用的热力学函数（适用于不同系统）

1）dU pdV TdS =?+

U 是V 和S 的全微分，V ，S 做自变量，适用于孤立体系，不是太常用。

2） S 作为自变量不好控制，通常温度T 容易控制（如利用大热源）。选用V ，T 作自变量，则应当研究另一函数：

, F U TS dF PdV SdT =?=??

F 称为自由能。虽然内能很大，在非0温下，只有F 可以（在等温条件下）用来对外界做功。某种意义下，TS 是束缚能，它们是用来维持恒温条件的。

3）在某些问题中，体系的V 也不好控制（比如在气液共存时），而压强P 是更易控制的。当取T ，P 为变量时，应取Gibbs 自由能：

, G F PV dG VdP SdT =+=?

4）化

学势（粒子数可变）

,,,T P T V S V dG VdP SdT dN

G F U N N N μμ=?+?????????===???????????????

Statistical Physics: Bottom-up approach, 形而下 微观

统计物理简史：从建立到现在已经有150多年。

经典统计建立于19世纪下半叶，Maxwell, Boltzmann, Gibbs: 经典统计奠基者 Planck, Einstein, Fermi, Dirac, Pauli, Bose:量子统计概念

von Neumann, Landau, Kramers, Pauli: 量子统计理论

Onsager ，杨振宁，李政道，Wilson, Kadanoff, Widom, Fisher, Prigogine

学科不断发展：不仅应用领域不断扩大，小到原子核，大到宇宙；从物理学到其它自然科学(化学、生物、信息科学、金融学、管理学、社会科学)；而且，学科本身也有了许多重大的发展，包括概念、理论和方法。

Boltzmann 统计法回顾

统计物理解决热力学不能解决的事情：

(1) 从微观原理出发计算这些热力学量：U ，F ，G ，S ，等

(2) 建立物理量之间的关系：状态方程

(3) 计算热力学量的涨落

对相互作用较弱的近独立子系，Boltzmann 建立了一套统计法，其核心是“最大几率”。方法如下：

设有N 粒子体系。对单粒子设有一系列能级，{}l ε，其简并度为{}l w 。对N 个粒

子填充在能级上的一个特定分布{}l a 来说，相应的“微观”可能性为：

()!{}!l a l l l l l N a w a Ω=∏∏

我们若假设任何“微观态”出现的几率相同，自然我们应寻找使(){}l a Ω最大的分布

{}l a （--- 对应一个宏观状态），亦即出现几率最大的分布。注意寻找{}l a 时要满足一定

的约束： ,l l l l l N a E a ε==∑∑

利用拉格朗日不定乘子，在约束下将微观态取极值，利用Sterling 公式，我们求得最概然分布： l l l a w e αβε??=

利用此分布，可以求得热力学量的表达式，及相应的物态方程。

尽管取得了巨大的成功，Boltzmann 统计法有如下致命缺点：

1） 不能处理相互作用体系，因而不能处理液，固等凝聚相，也因此不能处理任

何相变问题。

2）

理论推导用到Sterling 公式，但1l a ≥条件不见得时时满足。

3） 只是具有最大几率的一种分布，平衡态时可能存在其他分布。幸好，N 极大时，偏离最概然分布出现的几率相对很小，这个问题不严重。

如何克服这些困难： Gibbs 的Ensemble 理论以及上世纪初的统计物理发展

Gibbs 统计理论的建立，给出了处理任何物理体系的统计问题的一个范式

（paradigm ），地位相当于电磁理论的Maxwell 方程。平衡态的最普遍理论是Gibbs 的统计系综理论（1902）；非平衡态的理论以Boltzmann 方程和 H-定理为核心，不像系综理论那么普遍，仅适用于稀薄气体。应该指出，玻氏方程和 H-定理的意义重大，涉及统计物理的基本问题：趋于平衡的不可逆性。

1924年，Bose 提出了一种新的统计方法（这是在量子力学建立以前），重新推导了Planck 的黑体辐射公式，1925年，Einstein 推广了Bose 的统计方法(以后被称为Bose-Einstein 统计），把它用到理想原子气体，并从理论上预言了一种新的凝结现象（以后被称为 Bose-Einstein Condensation ）.

1926年，Fermi 提出了另一种符合 Pauli 不相容原理的统计方法，稍后，Dirac 独立地提出了同样的统计方法（以后被称为Fermi-Dirac 统计），并论证了 Bose 统计和 Fermi 统计与多粒子体系波函数对称性之间的关系。

对Bose 统计和 Fermi 统计与粒子自旋之间的关系的认识要晚的多，是1945年由 Pauli 论证的。

1927年，V on Neumann 提出了密度矩阵的概念，证明密度矩阵的作用类似于经典统计系综的几率密度，他还推导出量子的Liouville 方程。Landau 与 Kramers, Pauli 等人对量子统计系综的建立也作出了重要的贡献。至此，量子统计系综理论的理论框架已经建立起来了.

1929年出版的 Fowler 的“统计力学”反映了当时统计物理学的几乎所有的主要成果。可以说是一部（当时的）统计物理学的“百科全书”。

第一章 系综理论基础 (Elements of Ensemble Theory)

§1 基本概念

1. 微观态和宏观态（Microstates and Macrostates)

Macrostates:

孤立系统： 用E, V , N 描述

与热源交换能量的体系：用T, V , N 描述

Microstates ：

经典力学：(),i i q p .,,2,1f i L = 分别为广义坐标和对应广义动量，满足正则方程。

量子力学：定态问题：用哈密顿描述，定态Schrodinger 方程 i

i i E H ψψ=? 量子数为系统自由度数，1023量级

对应同一Macrostate ，会存在非常多的Microstates 。

2． 相空间 (phase space)

系统N 个粒子组成，每个粒子有r 个自由度，则其运动状态由它的r 个广义坐标 12,,...r q q q 和r 个共轭广义动量12,,...r p p p 决定，系统总自由度为Nr f =。

相空间：以2f 个变量),,;,,,(2121f f p p p q q q L L 为坐标构成的2f 维空间。抽象空间，它由f 个广义坐标i q 和f 个广义动量i p 所组成，这种空间称为Γ空间，也称为相空间。在某时刻，体系中的N 个粒子有确定的i q 和i p ,于是，体系在此时刻的微观状态就对应于Γ空间中的一个点。这样一来，一个经典体系的微观状态就用Γ空间的中一个代表点表示，当体系的状态随时间变化时， 空间中的一点就画出一条曲线。

Γ空间中的体积元为：f f p p q q ΔΔΔΔ=ΔΩ......11，

测不准关系是h p q i i ~ΔΔ，这说明Γ空间体积元的量纲是f h 。

~f h ΔΩ

因此可以选取：Γ空间中的单位体积＝f

h

3． 运动方程 (equation of motion)

根据经典力学，系统由哈密顿量);,,;,,,(2121t p p p q q q H H f f L L =决定，满足哈密顿正

则方程： .,,2,1,,f i q H p p H q i

i i i L &&=???=??= 上述哈密顿正则方程（单值函数，决定论）给出系统状态的演化在相空间中表现为一条曲线。其性质如下：

（1） 由于哈密顿函数及其一阶微商都是单值的，经过相空间任何一点上的曲线只有一

条，因此体系运动所对应的轨道曲线不会自身相交。

（2） 若体系的初值不同，则生成的轨道曲线或与原曲线完全重合，或成为不同的轨道

曲线而与原曲线永远不会相交。

（3） 对于孤立体系，其总能量E 是守恒的，此时 11(,...;,...)f f

H q q p p E =

这是Γ空间中的一个超曲面，称为能量曲面。体系的代表点只能在此等能面上运动。

§2 系综 (ensemble)

微观量和宏观量

上面讨论的是体系微观状态的描述。统计物理中宏观量是微观量的统计平均值，例如压力是分子碰撞器壁的动量变化率的平均。由于分子碰撞极其频繁（单位体积中

每秒内分子发生2810次碰撞）

，Γ空间中的微观态极快地变化着。在每一次宏观测量时间内，微观态已经历了极多次的变化，因此宏观量A 宏是对应微观量A ()t 微的时

间平均

''1A ()A

()t t t t dt ττ+=∫宏微 （*）

τ是测量的时间，它是宏观上短，微观上长的时间间隔。

此种计算宏观量的方法虽然反映了实际过程，但是，要确定微观量随时间的变化A ()t 微，在实际上是办不到的。因为它要求解哈密顿正则方程，得到Γ空间中的轨迹，

对于数量级为20

10个分子，这是不可能的。因此要换一种思路来建立宏观量与微观量之间的关系，将对时间的平均换成按一定几率取平均。这体现了从力学规律向统计规律的发展。

下面将介绍如何用几率分布的方法来求宏观量，几率分布可用统计规律来确定，不再归结为力学问题了。

为了用几率分布来计算宏观量，首先将我们观察的这个体系进行复制。想象已复制出M 个体系（M 可取任意地大），它们具有完全相同的宏观条件（例如能量E 、体积V 和分子数N 相同。见上图），但其微观状态不一定相同。我们可以想象每个体系的“初态”是不一样的，随机选取的，因此它们随时间的演化也就沿着不同的轨道（均在等能面上）进行。每个体系在Γ空间中有一个代表点，这M 个体系在Γ空间中就用M 个代表点来表示，这M 个体系的集合就称为一个系综。

系 综：由想象的大量同样的相互独立的体系所组成，它们所处的宏观条件是相同的，

但各自处于某种微观运动状态。

若系综在Γ空间中有M 个代表点，这M 个代表点在Γ空间中有一定的分布。为了

描述这M 个点在Γ空间各处的疏密程度，要引进一个物理量即密度分布ρ：在Γ空间中的某点(,)i i q p 附近，取一个体积元ΔΩ，在ΔΩ中有M Δ个代表点，

于是定义 0M M (,,)lim i i d q p t d ρΔΩ→Δ==ΔΩΩ

在Γ空间中，代表点的分布一般是不均匀的，而且会随时间而变，故ρ是,i i q p 和t 的

函数。ρ的直观意义就是Γ空间中单位体积内代表点的数目，因此在d Ω中的代表点的数目就是 M (,,)i i

d q p t d ρ=Ω 同时，整个Γ空间中的代表点总数为： (,,)M i i

q p t d ρΓ

Ω=∫

下面，我们要引入Gibbs 统计方法的核心基础：

各态历经假说（ergodic hypothesis ）

在τ时间间隔内，体系得微观状态已历经了所有“可能”的状态---即整个等能面。考虑到τ虽在宏观上是个小量，微观上却是个大量。若微观粒子之间的平均碰撞间隔时间s t ， 则s t >>τ。因此，体系的微观状态在τ时间内频繁地变化着。

（1）

若等能面可以被一条运动轨迹所覆盖，则只要时间足够长，体系一定可以“走”遍整个等能面，假说自动得证。 （2） 若等能面不可以被一条运动轨迹所覆盖，想象真实的体系（即使是“孤立”

体系）总被各种各样的微弱的外部涨落所扰动，设为?H

Δ。考虑E H <<Δ?，因此涨落不会改变体系的宏观性质；?H

Δ又足够大，可以使得体系足够快得在不同轨迹之间频繁跃迁。在此意义下，我们可以认为“各态历经”是可

信的。

在“各态历经”假说成立的基础上，我们可以将物理量的时间平均值转化成系综平均，理由如下。 物理量对时间的平均可写为

[()()(2)...()]t t A A t A t t A t t A t ττΔ<>=++Δ++Δ+++，

因为体系在如此频繁地在等能面上的微观态上跃迁，体系在不同时刻的微观状态可以等价于系综中的不同子系在此时刻的微观值（系综中的不同子系的运动轨迹可以认为是子

系随机取不同初值然后按Hamilton 方程演化得来）

。所以： ∫=Ω=+++=>

M Ad t q p t A t A t A M

A i i sM s s t /);,()](...)()([121ρ

A 称为系综平均值，它依赖于(,,)i i q p t ρ的形式。现在的问题是：能否找到这样的(,,)i i q p t ρ，由它算出的系综平均值A 与实际观察到的宏观量A 宏相符？这是统计物理

的核心问题。若能找到，就可通过系综平均来计算宏观量，不必去求体系代表点的轨迹，再用时间平均(*)计算宏观量了。对于平衡态问题比较简单，因为宏观量和ρ不随时间而变，已在不同的宏观条件下找出了相应的(,)i i q p ρ。下面的内容就要来做详细的分析并找出(,)i i q p ρ。但是，对于非平衡态，问题远未解决。

§3 Liouville 定理及其意义

1． 代表点及其密度分布

大量结构完全相同的系统，在相空间中的分布：Ωd t p p p q q q f f );,,;,,,(2121L L ρ表示在时刻t ，运动状态在相空间体积元f f dp dp dp dq dq dq d L L 2121=Ω中的代表点数，整个相空间的积分

N d t p p p q q q f f =Ω∫);,,;,,,(2121L L ρ 是所有系统的总数，

为一不随时间变化的常数。

2． Liouville 定理

分布函数随时间的微分, 这时(,,)i i q p t ρ中的,i i q p 不再是固定的了，它们将按哈密顿方程而运动: 0=??

??????+??+??=∑i i i i i p p q q t dt d &&ρρρρ。 3． Liouville 定理的证明

考虑相空间中的一个固定体积元f f dp dp dp dq dq dq d L L 2121=Ω这个体积元是由2f 对（2f-1维的）平面为边界构成的 i q ，i i dq q +；i p ，i i dp p + ()f i ,,2,1L =，

因此，在t 时刻，Ωd 内的代表点数为Ωd ρ；在t+dt 时刻，Ωd 内的代表点数为

Ω?????

???+d dt t ρρ；于是，dt 时间后，Ωd 内的代表点数的变化就是 Ω??dtd t ρ。

它是由于代表点通过Ωd 的边界流入的。通过i q 面流入的代表点数为

f f i i i i dp dp dp dq dq dq dq dtdq q dtdA q

L L L &&211121+?=ρρ， 通过i i dq q +面流出的代表点数为

()()f f i i i i i i i dq i q i dp dp dp dq dq dq dq dtdq dq q q q dtdA q L L L &&&211121+?+??????????+=ρρρ， 于是，通过Ωd 的边界纯流入代表点数为 ()()∑Ω????????+???i i i i i

dtd p p q q &&ρρ。 这个数就是Ω??dtd t ρ，即有 ()()∑Ω?????

???+???=Ω??i i i i i dtd p p q q dtd t &&ρρρ， 所以 ()()∑????????+???=??i i i i i

p p q q t &&ρρρ。 利用正则方程，有0=??+??i

i i i p p q q &&，于是 ∑????????+???=??i i i i i

p p q q t &&ρρρ， 即 [],0i i i i

i q p H t q p t ρρρρρ??????++=+=????????∑&& 或则 0=dt d ρ。 这就是Liouville 定理（1838）。-- 完全力学规律的结果，无任何统计的概念。

4． Liouville 定理的意义

a. 一随代表点运动的观察者看到的代表点局域密度是不随时间变化的；也就是说沿代表点运动的轨迹，其附近代表点的密度是不变的。后面要设法确定各种微观状态出现的几率，那时Liouville 定理有重要的价值。代表点在相空间的运动就像物理空间中不可压缩流体的流动。

b. 平衡态时满足：

0,0

d

t dt

ρρ

?

==

?。与Hamilton函数一样，ρ也是一个守恒量（运动积分），ρ是总能量E的函数。

Homework：（Due Sep.17, 2009）

无

第七章、统计热力学基础习题和答案

统计热力学基础 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2. 在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令刀n i = N,刀n i & i = U , 这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的C 3. 假定某种分子的许可能级是0、&、2 ￡和3 &,简并度分别为1、1、2、3四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3￡时，体系的微观状态数为：() A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法A 5. 对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ? g i ? exp( - ￡ i/kT)的说法：(1) n i是第i能级上的粒子分布数; (2) 随着能级升高，￡ i 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 6. 对于分布在某一能级￡ i上的粒子数n i，下列说法中正确是：() A. n i 与能级的简并度无关 B. ￡ i 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D. 任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出B 7. 15?在已知温度T时，某种粒子的能级￡ j = 2 ￡ i，简并度g i = 2g j，则「和￡ i上 分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2￡kT) B. 2exp(- ￡j/2kT) C. 0.5exp( -￡j/kT) D. 2exp( 2 j/k￡T) C 8. I2的振动特征温度? v= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2的温度是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9. 下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 10. 分子运动的振动特征温度?v是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A. ? v越高，表示温度越高 B. ?v越高，表示分子振动能越小 C. ?越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. ?越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 11. 下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与

热统第三章作业答案

3.4 求证： （a ）,,;V n T V S T n μ?????? =- ? ??????? （b ）,,.T p t n V p n μ?????? = ? ??????? 解：（a ）由自由能的全微分（式（3.2.9）） dF SdT pdV dn μ=--+ （1） 及偏导数求导次序的可交换性，易得 ,,.V n T V S T n μ?????? =- ? ??????? （2） 这是开系的一个麦氏关系. （a ） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2）） dG SdT Vdp dn μ=-++ （3） 可得 ,,.T p T n V p n μ??????= ? ??????? （4） 这也是开系的一个麦氏关系. 3.5 求证： ,,.T V V n U T n T μμ?????? -=- ? ??????? 解：自由能F U T S =-是以, ,T V n 为自变量的特性函数，求F 对n 的 偏导数（, T V 不变），有 ,,,.T V T V T V F U S T n n n ????????? =- ? ? ?????????? （1） 但由自由能的全微分 dF SdT pdV dn μ=--+ 可得 ,,,,, T V T V V n F n S n T μμ??? = ? ????????? =- ? ??????? （2） 代入式（1），即有

,,.T V V n U T n T μμ?????? -=- ? ??????? （3） 3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 1.m p dT U L T dp ?? ?=- ?? ? 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m U 、摩尔焓m H 和摩尔体积m V 的改变满足 .m m m U H p V ?=?-? （1） 平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L ： .m H L ?= 克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出 ,m dp L dT T V = ? （3） 即 .m L dT V T dp ?= （4） 将式（2）和式（4）代入（1），即有 1.m p dT U L T dp ???=- ?? ? （5） 如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为 2 .dp L p dT R T = （6） 式（5）简化为 1.m RT U L L ???=- ?? ? （7） 3.9 以C βα表示在维持β相与α相两相平衡的条件下1mol β相物质升高1K 所吸收的热量，称为β相的两相平衡摩尔热容量，试证明：

matlab课后习题解答第二章doc

第2章符号运算 习题2及解答 1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度” 对象，还是“符号”符号对象？ 3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1)) 〖目的〗 ●不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗 c1=3/7+0.1 c2=sym(3/7+0.1) c3=sym('3/7+0.1') c4=vpa(sym(3/7+0.1)) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 = 0.5286 c2 = 37/70 c3 = 0.52857142857142857142857142857143 c4 = 0.52857142857142857142857142857143 Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym 2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认 为是自由符号变量. sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)') 〖目的〗 ●理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗 symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w symvar(sym('a*exp(-X)'),1) ans = a

symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z 3 求以下两个方程的解 （1）试写出求三阶方程05.443 =-x 正实根的程序。注意：只要正实根，不要出现其他根。 （2）试求二阶方程022=+-a ax x 在0>a 时的根。 〖目的〗 ● 体验变量限定假设的影响 〖解答〗 （1）求三阶方程05.443 =-x 正实根 reset(symengine) %确保下面操作不受前面指令运作的影响 syms x positive solve(x^3-44.5) ans = (2^(2/3)*89^(1/3))/2 （2）求五阶方程02 2 =+-a ax x 的实根 syms a positive %注意：关于x 的假设没有去除 solve(x^2-a*x+a^2) Warning: Explicit solution could not be found. > In solve at 83 ans = [ empty sym ] syms x clear syms a positive solve(x^2-a*x+a^2) ans = a/2 + (3^(1/2)*a*i)/2 a/2 - (3^(1/2)*a*i)/2 4 观察一个数（在此用@记述）在以下四条不同指令作用下的异同。 a =@, b = sym( @ ), c = sym( @ ,' d ' ), d = sym( '@ ' ) 在此，@ 分别代表具体数值 7/3 , pi/3 , pi*3^(1/3) ；而异同通过vpa(abs(a-d)) , vpa(abs(b-d)) , vpa(abs(c-d))等来观察。 〖目的〗 ● 理解准确符号数值的创建法。 ● 高精度误差的观察。 〖解答〗 （1）x=7/3 x=7/3;a=x,b=sym(x),c=sym(x,'d'),d=sym('7/3'), a =

工程热力学思考题答案,第七章

第七章 气体与蒸汽的流动 7、1对改变气流速度起主要作用的就是通道的形状还就是气流本身的状态变化？ 答:改变气流速度主要就是气流本身状态变化,主要就是压力变化直接导致流速 的变化。 7、2如何用连续性方程解释日常生活的经验:水的流通截面积增大,流速就降低？ 答:日常生活中水的流动一般都为稳定流动情况11 221212f f m m m Ac A c q q q v v ====,对 于不可压缩流体水1v =2v ,故有流速与流通截面积成反比关系。 7、3在高空飞行可达到高超音速的飞机在海平面上就是否能达到相同的高马赫数？ 答:不能,因为速度与压比有个反比关系,当压比越大最大速度越小,高空时压比小, 可以达到高马赫数,海平面时压比增大,最大速度降低无法达到一样的高马赫数。 7、4当气流速度分别为亚声速与超声速时,下列形状的管道(图7-16)宜于作喷管还就是宜于作扩压管？ 答:气流速度为亚声速时图7-16中的1 图宜于作喷管,2 图宜于作扩压管,3 图宜 于作喷管。当声速达到超声速时时1 图宜于作扩压管,2 图宜于作喷管,3 图宜于作扩压管。4 图不改变声速也不改变压强。 7、5当有摩擦损耗时,喷管的流出速度同样可用2f c ,似乎与无 摩擦损耗时相同,那么摩擦损耗表现在哪里呢？ 答:摩擦损耗包含在流体出口的焓值里。摩擦引起出口速度变小,出口动能的减小 引起出口焓值的增大。 7、6考虑摩擦损耗时,为什么修正出口截面上速度后还要修正温度？ 答:因为摩擦而损耗的动能被气流所吸收,故需修正温度。

7、7考虑喷管内流动的摩擦损耗时,动能损失就是不就是就就是流动不可逆损 失？为什么？ 答:不就是。因为其中不可逆还包括部分动能因摩擦损耗转化成热能,而热能又被 气流所吸收,所造成的不可逆。 7、8在图7-17 中图(a)为渐缩喷管,图(b) 为缩放喷管。设两喷管的工作背压均为0、1MPa,进口截面压力均为1 MPa,进口流速1f c 可忽略不计。1)若两喷管的最小截面面积相等,问两喷管的流量、出口截面流速与压力就是否相同？2) 假如沿截面2’-2’切去一段,将产生哪些后果？出口截面上的压力、流速与流量起什么变化？ 答:1)若两喷管的最小截面面积相等,两喷管的流量相等,渐缩喷管出口截面流速 小于缩放喷管出口截面流速,渐缩喷管出口截面压力大于缩放喷管出口截面压力。 2) 若截取一段,渐缩喷管最小截面面积大于缩放喷管最小截面面积,则渐缩喷管的流量小于缩放喷管的流量,渐缩喷管出口截面流速小于缩放喷管出口截面流 速,渐缩喷管出口截面压力大于缩放喷管出口截面压力。 7、9图7-18中定焓线就是否就是节流过程线？既然节流过程不可逆,为何在推导节流微分效应j μ时可利用0dh =？ 答:定焓线并不就是节流过程线。在节流口附近流体发生强烈的扰动及涡流,不能

DS第二章-课后习题答案

第二章线性表 2.1 填空题 (1)一半插入或删除的位置 (2)静态动态 (3)一定不一定 (4)头指针头结点的next 前一个元素的next 2.2 选择题 (1)A (2) DA GKHDA EL IAF IFA(IDA) (3)D (4)D (5) D 2.3 头指针：在带头结点的链表中，头指针存储头结点的地址；在不带头结点的链表中，头指针存放第一个元素结点的地址； 头结点：为了操作方便，在第一个元素结点前申请一个结点，其指针域存放第一个元素结点的地址，数据域可以什么都不放； 首元素结点：第一个元素的结点。 2.4已知顺序表L递增有序，写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。 void InserList(SeqList *L,ElemType x) { int i=L->last; if(L->last>=MAXSIZE-1) return FALSE; //顺序表已满 while(i>=0 && L->elem[i]>x) { L->elem[i+1]=L->elem[i]; i--; } L->elem[i+1]=x; L->last++; } 2.5 删除顺序表中从i开始的k个元素 int DelList(SeqList *L,int i,int k) { int j,l; if(i<=0||i>L->last) {printf("The Initial Position is Error!"); return 0;} if(k<=0) return 1; /*No Need to Delete*/ if(i+k-2>=L->last) L->last=L->last-k; /*modify the length*/

电与热

电与热 【教材分析】 新的物理课程标准的基本理念是：（1）注重学生发展，改变学科本位观念；（2）从生活走向物理，从物理走向社会；（3）注重科学探究，提倡学习方式多样化等。为了体现这些新的理念，《电与热》在《电功率》这一章中起着联接的作用。电和热是从学生生活中熟悉的用电器入手，使学生进一步认识电和热的关系。因此此节的教学设计思想是：结合教学实际，对本节内容进行更为合理的重组，以电热知识和相关技能为载体，通过创设问题情境，激发学习探究的积极性；让学生经历科学探究过程，学习科学探究方法，培养科学探究精神、创新意识和实践能力，及团队合作精神。教学过程中，以学生为主体，教师为主导，双向互动为原则，注重学生能力培养，提高教学效益。在教学过程中重要的是让学生通过观察、思考探索电流热效应跟电阻、电流大小以及通电时间的关系，使学生了解科学探究的方法。所教的学生是普通学生，思维反应比较慢，需要逐步引导，又因长期受应试教育影响，学习常常是“只听不动手，听了又忘记”的怪圈中重复。所以需要花一定的时间和精力来改变他们的不良学习习惯。 【教学目标】 一、知识与技能 了解焦耳定律。 知道利用和防止电热的场合和方法。 二、过程与方法 通过实验探索电流的热效应跟电流、电阻、通电时间的关系。 三、情感态度与价值观 具有对科学的求知欲，乐于探索日常生活中的物理学道理，乐于参与观察、实验、制作等科学实践活动。 能表达自己的观点，初步具有评估和听取反馈意见的意识。 【重点与难点】 重点：电流产生的热量跟电阻、电流、通电时间的关系。 难点：理解焦耳定律。 【教学准备】

学生电源、导线、开关、电阻丝、烧杯、温度计、水、焦耳定律演示器、焦耳定律演示课件（flash课件） 【板书设计】 【教学过程】

热统第一章作业答案

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数 κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果11 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2）

上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 00 p V pV C T T ==（常量） ， 或 .p V C T = （5） 式（5）就是由所给11,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。

大物第二章课后习题答案

简答题 什么是伽利略相对性原理什么是狭义相对性原理 答：伽利略相对性原理又称力学相对性原理，是指一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描述机械运动的力学规律来说完全等价。 狭义相对性原理包括狭义相对性原理和光速不变原理。狭义相对性原理是指物理学定律在所有的惯性系中都具有相同的数学表达形式。光速不变原理是指在所有惯性系中，真空中光沿各方向的传播速率都等于同一个恒量。 同时的相对性是什么意思如果光速是无限大，是否还会有同时的相对性 答：同时的相对性是：在某一惯性系中同时发生的两个事件，在相对于此惯性系运动的另一个惯性系中观察，并不一定同时。 如果光速是无限的，破坏了狭义相对论的基础，就不会再涉及同时的相对性。 什么是钟慢效应 什么是尺缩效应 答：在某一参考系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫固有时。固有时最短。固有时和在其它参考系中测得的时间的关系，如果用钟走的快慢来说明，就是运动的钟的一秒对应于这静止的同步的钟的好几秒。这个效应叫运动的钟时间延缓。 尺子静止时测得的长度叫它的固有长度，固有长度是最长的。在相对于其运动的参考系中测量其长度要收缩。这个效应叫尺缩效应。 狭义相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同 有何联系 答：牛顿力学的时间和空间概念即绝对时空观的基本出发点是：任何过程所经历的时间不因参考系而差异；任何物体的长度测量不因参考系而不同。狭义相对论认为时间测量和空间测量都是相对的，并且二者的测量互相不能分离而成为一个整体。 牛顿力学的绝对时空观是相对论时间和空间概念在低速世界的特例，是狭义相对论在低速情况下忽略相对论效应的很好近似。 能把一个粒子加速到光速c 吗为什么 答：真空中光速C 是一切物体运动的极限速度，不可能把一个粒子加速到光速C 。从质速关系可看到，当速度趋近光速C 时，质量趋近于无穷。粒子的能量为2 mc ，在实验室中不存在这无穷大的能量。 什么叫质量亏损 它和原子能的释放有何关系 答：粒子反应中，反应前后如存在粒子总的静质量的减少0m ?，则0m ?叫质量亏损。原子能的释放指核反应中所释 放的能量，是反应前后粒子总动能的增量k E ?，它可通过质量亏损算出20k E m c ?=?。 在相对论的时空观中，以下的判断哪一个是对的 （ C ） （A ）在一个惯性系中，两个同时的事件，在另一个惯性系中一定不同时；

第七章 统计热力学基础

第七章统计热力学基础 一、选择题 1、统计热力学主要研究（）。 (A) 平衡体系(B)单个粒子的行为案(C) 非平衡体系(D) 耗散结构 2、能量零点的不同选择，在下面诸结论中哪一种说法是错误的：( ) (A) 影响配分函数的计算数值(B) 影响U，H，F，G 的数值 (C) 影响Boltzmann分布数N 的数值(D) 影响能级能量εi的计算数值 3、最低能量零点选择不同，对哪些热力学函数值无影响：( ) (A) U (B) S (C) G (D) H 4、统计热力学研究的主要对象是：（） (A) 微观粒子的各种变化规律 (B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律 (D) 宏观系统的平衡性质 5、对于一个U,N,V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论(D) 统计学原理 6、以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 7、各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（） (A) t > r > v > e(B) t < r < v < e (C) e > v > t > r(D) v > e > t > r 8、在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（） (A) 气体和晶体皆属定域子体系 (B) 气体和晶体皆属离域子体系 (C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系 (D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 9、对于定域子体系分布X所拥有的微观状态t x为：（） (A) (B)

第二章课后习题与答案

第2章人工智能与知识工程初步 1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s (1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。 解：定义谓词d P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花}。 将知识用谓词表示为： (?x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花)) (2) 有人每天下午都去打篮球。 解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为：a (?x )(?y) (A(y)→B(x)∧P(x)) (3)新型计算机速度又快，存储容量又大。 解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x) (NC(x)→F(x)∧B(x)) (4) 不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x, pragramming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ? (?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer)) (5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。 解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x, y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为：

(?x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer)) 2 请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。 解： (2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。 解： (3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。 解：参例2.14 (4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。 解：参例2.10 (5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。 解：

化工热力学作业答案

一、试计算一个125cm 3的刚性容器，在50℃和18.745MPa 的条件下能贮存甲烷多少克（实验值是17克）？分别比较理想气体方程、三参数对应态原理和PR 方程的结果。 解：查出T c =190.58K,P c =4.604MPa,ω=0.011 (1) 利用理想气体状态方程nRT PV = g m RT PV n 14872.0=?== (2) 三参数对应态原理 查表得 Z 0=0.8846 Z 1=0.2562 (3) PR 方程利用软件计算得g m n mol cm V 3.1602.1/7268.1223=?=?= 二、用virial 方程估算0.5MPa ，373.15K 时的等摩尔甲烷（1）-乙烷（2）-戊烷（3）混合物的摩尔体积(实验值5975cm 3mol -1)。已知373.15K 时的virial 系数如下（单位：cm 3 mol -1）， 399,122,75,621,241,20231312332211-=-=-=-=-=-=B B B B B B 。 解：混合物的virial 系数是 44 .2309 399 212227526212412022231 132332122132 3222121313 1 -=?-?-?----= +++++==∑∑==B y y B y y B y y B y B y B y B y y B ij i j j i 298.597444.2305.0/15.373314.8/=-?=+=B P RT V cm 3 mol -1 三、(1) 在一定的温度和常压下，二元溶液中的组分1的偏摩尔焓如服从下式2 211 x H H α+=，并已知纯组分的焓是H 1，H 2，试求出H 2和H 表达式。 解： ()112221 2 2121121222dx x dx x x x dx dx H d x x H d x x H d αα-=-=???? ??-=- =得 2122x H H α+= 同样有2211 x H H α+= 所以 212211x x x H x H H x H i i α++==∑ ()()1,,o r r r r Z Z P T Z P T ω=+323.1518.745 1.696 4.071190.58 4.604r r T P = ===0.88640.0110.25620.8892Z =+?=30.88928.314323.15127.4/18.745 ZRT V cm mol P ??= ==1250.9812127.4t V n mol V ===15.7m g =

高教热统答案第七章

第七章 玻耳兹曼统计 习题7.1根据公式∑??-=l l l V a P ε证明，对于非相对论粒子： )()2( 2122 222 2 z y x n n n L m m p s ++= = π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V U p 32=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证：∑??-=l l l V a P ε=?? ????++??- ∑ )()2(212222z y x l l n n n L m V a π =?? ? ???++??-∑)()2(222223 z y x l l n n n L m L V a π 其中 V a u l l ε∑= ;V ~3L ?=p ??? ? ??? ? ++?? - ∑)() 2(212 2 2 2 32 z y x l l n n n V m V a π (对同一l ,2 22z y x n n n ++) =m a l l 21∑-2 )2( π)(2 22z y x n n n ++) 3 2(3 5- - V =m a l l 21∑-2 2 222) ()2(L n n n z y x ++ π) 3 2(3 532-- V V = V U 32 习题7.2试根据公式∑??-=l l l V a P ε证明，对于极端相对论粒子： 2 1 2 22) (2z y x n n n L c cp ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V U p 31= ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证： ∑??-=l l l V a P ε；

第二章课后习题答案

1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。 （2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。 求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。 （4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响. 解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P 得: Pe=6 以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略) (2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数 Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7 以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略) (3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p , 代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5 以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5 (4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时,

衡水学院 《物理化学》第三章 热力学第二定律 作业及答案

[143-1] 卡诺热机在T 1 = 600 K 的高温热源和T 2 = 300 K 的低温热源间工作。求： ⑴热机效率η； ⑵当向环境作功 – W = 100 kJ 时，系统从高温热源吸收的热 Q 1 及向低温热源放出的热 - Q 2。 解：5.0600 300 600121=-=-= T T T r η⑴ ）（解得：即⑵kJ 200100.5011 1== -= Q Q Q W η Q 2 + Q 1 = - W Q 2 + 200 = 100 -Q 2 = 100 (kJ) [143-2] 某地热水的温度为65℃，大气温度为20℃。若分别利用一可逆热机和一不可逆热机 从地热水中取出1000 J 的热量。 ⑴分别计算两热机对外所做的功，已知不可逆热机是可逆热机效率的80%； ⑵分别计算两热机向大气中所放出的热。 解：1 121Q W T T T r r -= -= η⑴ ） （解得：即 J 13310005.12736520-65-=-= +r r W W W ir = 80% W r = 80% × (-133) = - 106.5 (J) ⑵ Q 2 + Q 1 = - W Q r,2 + 1000 = 133 Q r,2 = - 867 (J) Q ir,2 + 1000 = 106.5

Q ir,2 = - 893.5 (J) [143-3] 卡诺热机在T 1 = 900 K 的高温热源和T 2 = 300 K 的低温热源间工作。求： ⑴热机效率η； ⑵当向低温热源放热 - Q 2 = 100 kJ 时，系统从高温热源吸热Q 1及对环境所作的功– W 。 解：6667.0900 300 900121=-=-= T T T r η⑴ ）（解得：即⑵kJ 300100 1.66670111 1 2 =-+ =+ =Q Q Q Q η Q 2 + Q 1 = - W -100 + 300 = - W - W = 200 (kJ) [143-4] 冬季利用热泵从室外0℃的环境吸热，向室内18℃的房间供热。若每分钟用100 kJ 的功开动热泵，试估算热泵每分钟最多能向室内供热多少？ 解：从室外吸热Q 1，向室内供热Q 2，室外温度定为T 1，室内温度定为T 2。 1 121Q W T T T r -= -= η⑴ ）（解得：即 J 5.1517100 5.127391.152-73.15211=-= Q Q Q 2 + Q 1 = - W Q 2 + 1517.5 = -100 Q 2 = - 1617.5 (J) [143-5] 高温热源温度T 1 = 600 K ，低温热源温度T 2 = 300 K 。今有120 kJ 的热直接从高温热 源传给低温热源，求此过程两热源的总熵变ΔS 。 解：120 kJ 的热直接从高温热源传给低温热源，-Q 1 = Q 2 = 120 kJ )()(21T S T S S ?+?=?2 2 11T Q T Q += 300120000600120000+-=)K J (2001-?=

第2章课后习题参考答案

第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n 误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解： 得： 2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。 证明： 其中： ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ211 1 2 )?()?(i n i i n i i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-= 01????i i i i i Y X e Y Y ββ=+=-

即： ∑e i =0 ，∑e i X i =0 2.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什 么条件下等价?给出证明。 答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数： 使得Ln （L ）最大的0 ?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小， 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, σ2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi ~N(0, σ2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ0 1 00??Q Q β β ??==? ?

水力学第二章课后习题答案

2.12 密闭容器，测压管液面高于容器内液面h=1.8m ,液体的密度为850kg/m 3,求液面 压强。 解：P o = P a ，gh = P a 850 9.807 1.8 相对压强为：15.00kPa。 绝对压强为：116.33kPa。 答：液面相对压强为15.00kPa，绝对压强为116.33kPa。 2.13 密闭容器，压力表的示值为4900N/m 2,压力表中心比A点高0.4m , A点在水下 1.5m，，求水面压强。 P0 1.5m 1 0.4m A

解: P0 = P a P -1.1 'g 二P a 4900 -1.1 1000 9.807 二p a「5.888 （kPa） 相对压强为：_5.888kPa。 绝对压强为：95.437kPa。 答: 水面相对压强为-5.888kPa,绝对压强为95.437kPa。 3m 解：（1）总压力：Pz=A p=4「g 3 3 = 353.052 （kN） （2）支反力：R 二W总二W K W箱二W箱;?g 1 1 1 3 3 3 =W箱 9807 28 =274.596 kN W箱 不同之原因：总压力位底面水压力与面积的乘积，为压力体Qg。而支座反力与水体重量及箱体重力相平衡，而水体重量为水的实际体积Eg。 答：水箱底面上总压力是353.052kN，4个支座的支座反力是274.596kN。 2.14 盛满水的容器，顶口装有活塞A，直径d =0.4m，容器底的直径D=1.0m，高h

=1.8m ,如活塞上加力2520N （包括活塞自重），求容器底的压强和总压力 解: （1）容器底的压强： P D =P A'gh =252°9807 1.8 =37.706（kPa）（相对压强） /-d2 4 （2）容器底的总压力： P D二Ap D D2 p D12 37.706 10 = 29.614（kN） 4 4 答：容器底的压强为37.706kPa，总压力为29.614kN 。 2.6用多管水银测压计测压，图中标高的单位为m，试求水面的压强P0。

第二章课后作业答案

第二章线性表习题(答案) 1.描述以下三个概念的区别：头指针，头结点，首元素结点。 首元结点是指链表中存储线性表中第一个数据元素a1的结点。为了操作方便，通常在链表的首元结点之前附设一个结点，称为头结点，该结点的数据域中不存储线性表的数据元素，其作用是为了对链表进行操作时，可以对空表、非空表的情况以及对首元结点进行统一处理。头指针是指向链表中第一个结点（或为头结点或为首元结点）的指针。 若链表中附设头结点，则不管线性表是否为空表，头指针均不为空。否则表示空表的链表的头指针为空。 2.填空： （1）在顺序表中插入或删除一个元素，需要平均移动一半元素，具体移动的元素个数与插入或删除的位置有关。 （2）在顺序表中，逻辑上相邻的元素，其物理位置也相邻。在单链表中，逻辑上相邻的元素，其物理位置不一定相邻。 （3）在带头结点的非空单链表中，头结点的存储位置由头指针指示，首元素结点的存储位置由头结点的next域指示，除首元素结点外，其它任一元素结点的存储位置由其直接前趋的next域指示。 3．已知L是无表头结点的单链表，且P结点既不是首元素结点，也不是尾元素结点。按要求从下列语句中选择合适的语句序列。 a. 在P结点后插入S结点的语句序列是：（4）、（1）。 b. 在P结点前插入S结点的语句序列是：（7）、（11）、（8）、（4）、（1）。 c. 在表首插入S结点的语句序列是：（5）、（12）。 d. 在表尾插入S结点的语句序列是：（11）、（9）、（1）、（6）。 供选择的语句有： （1）P->next=S; （2）P->next= P->next->next; （3）P->next= S->next;（4）S->next= P->next; （5）S->next= L; （6）S->next= NULL;（7）Q= P; （8）while(P->next!=Q) P=P->next; （9）while(P->next!=NULL) P=P->next; （10）P= Q; （11）P= L; （12）L= S; （13）L= P; 4.设线性表存于a[n]中且递增有序。试写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保 持线性表的有序性。 void insertData(int a[],int data) { int i,location=0; for(i=0;i=location;i--) /*把查入点及查入点之后的数据以次后移一位*/ { a[i+1]=a[i]; } a[location]=data; /*把查新数据*/ lenth++; } 5.写一算法，从顺序表中删除自第i个元素开始的k个元素。 int DeleteData(int a[],int i,int k) { int j; if(i<1||i>lenth||k<0||k>lenth-k+1)return 0; for(j=i-1;j

第二章课后习题答案

第二章 牛顿定律 2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( ) (A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ 分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F Ｔ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a ,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征． 2 -2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( ) (A) 不为零,但保持不变 (B) 随F N 成正比地增大 (C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定 分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值．当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)． 2 - 3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率 ( ) (A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ (C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽

物理化学第三章课后答案完整版

第三章热力学第二定律 3.1 卡诺热机在的高温热源和的低温热源间工作。求 （1）热机效率； （2）当向环境作功时，系统从高温热源吸收的热及向低温热源放出的热 。 解：卡诺热机的效率为 根据定义 3．2 卡诺热机在的高温热源和的低温热源间工作，求： （1）热机效率； （2）当从高温热源吸热时，系统对环境作的功及向低温热源放出的热解：(1) 由卡诺循环的热机效率得出 （2） 3．3 卡诺热机在的高温热源和的低温热源间工作，求 （1）热机效率； （2）当向低温热源放热时，系统从高温热源吸热及对环境所作的功。 解：（1）

(2) 3．4 试说明：在高温热源和低温热源间工作的不可逆热机与卡诺机联合操作时，若令卡诺 热机得到的功r W 等于不可逆热机作出的功－W 。假设不可逆热机的热机效率大于卡诺热机效率，其结果必然是有热量从低温热源流向高温热源，而违反势热力学第二定律的克劳修 斯说法。 证： （反证法） 设 r ir ηη> 不可逆热机从高温热源吸热，向低温热源 放热 ，对环境作功 则 逆向卡诺热机从环境得功 从低温热源 吸热 向高温热源 放热 则 若使逆向卡诺热机向高温热源放出的热 不可逆热机从高温热源吸收的热 相等，即 总的结果是：得自单一低温热源的热 ，变成了环境作功 ，违背了热 力学第二定律的开尔文说法，同样也就违背了克劳修斯说法。

3．5 高温热源温度，低温热源温度，今有120KJ的热直接从高温热源传给 低温热源，求此过程。 解：将热源看作无限大，因此，传热过程对热源来说是可逆过程 3.6 不同的热机中作于的高温热源及的低温热源之间。求下列三种 情况下，当热机从高温热源吸热时，两热源的总熵变。 （1）可逆热机效率。 （2）不可逆热机效率。 （3）不可逆热机效率。 解：设热机向低温热源放热，根据热机效率的定义 因此，上面三种过程的总熵变分别为。 3.7 已知水的比定压热容。今有1 kg，10℃的水经下列三种不同过程加 热成100 ℃的水，求过程的。 （1）系统与100℃的热源接触。 （2）系统先与55℃的热源接触至热平衡，再与100℃的热源接触。 （3）系统先与40℃，70℃的热源接触至热平衡，再与100℃的热源接触。 解：熵为状态函数，在三种情况下系统的熵变相同 在过程中系统所得到的热为热源所放出的热，因此