小题专题练(四) 立体几何

小题专题练(四) 立体几何

1．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正(主)视图为( )

3．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为( )

A ．6 3

B ．8

C ．8 3

D ．12

4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧

视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ )

A.π3 B ．2π3 C ．π D ．4π3

5．设直线m 与平面α相交但不垂直，则( )

A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直

B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直

C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行

D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直

6．已知m 、n 、b 分别是三条不重合的直线，有两个不重合的平面α、β，且直线b ⊥平面β，有以下三个命题：

①若m ⊥α，n ∥b ，且α⊥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ∥b ，且α∥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ⊥b ，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是( )

A ．①②③

B ．①

C ．②

D ．③

7．已知四棱锥V -ABCD 的顶点都在同一球面上，底面ABCD 为矩形，AC ∩BD ＝G ，VG ⊥平面ABCD ，AB ＝3，AD ＝3，VG ＝3，则该球的体积为( )

A ．4π

B ．9π

C ．123π

D ．43π

8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在BC 1上运动，则下列三个命

题：①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②DP ⊥BC 1；③平面PDB 1⊥平面ACD 1.

其中正确命题的序号是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

9．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥

的体积为________．

10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的

中点．给出以下四个结论：

①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线BN 平行；③直线AM

与直线DD 1异面；④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为

________． (注：把你认为正确的结论序号都填上)

11．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________．

12．如图，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，△ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的个数为________．

13．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．

14．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．

15．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若长度为2的线段的两个端点P ，Q 分别在直线AB ，A 1D 1上，则线段PQ 的中点M 形成的轨迹的面积为________．

16. 如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，P ，Q 分别

在线段AB ，AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.

（1）证明：//DQ 平面CPM ；

（2）若二面角C AB D --的大小为3π

，求tan BDC ∠.

17.四棱锥P ABCD -中,平面PAC ⊥面

1

,2,23ABCD BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=.

（1）证明：AP BD ⊥；

（2）若AP AP =与BC 所成角的余弦值为7,求二面角A BP C --的余弦值.