傅里叶变换性质证明

２。6 傅里叶变换得性质

2。6.1线性

若信号与得傅里叶变换分别为与,???

则对于任意得常数a与b,有?

?

将其推广,若,则???

其中为常数,n为正整数。?

由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、

?显然傅里叶变换也就是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换也乘以相同得常数a,即

???叠加性表明,几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与??

２．6．2 反褶与共轭性

设f(t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号得傅里叶变换。

(1)反褶

ｆ(-t)就是ｆ(ｔ)得反褶,其傅里叶变换为

(２)共轭

(3)既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明:

设ｇ(t)=f(-t),h(t)＝g*(t),则

在上面三条性质得证明中,并没有特别指明f(t)就是实函数还就是复函数,因此,无论f(t)为实信号还就是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质

2。6.3 奇偶虚实性

已知f(t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即

根据定义,上式还可以写成

下面根据f(t)得虚实性来讨论Ｆ()得虚实性、

(1) f(t)为实函数?对比式(２－33)与(2—34),由ＦT得唯一性可得

(1、1)f(t)就是实得偶函数,即ｆ(ｔ)=f(—t)

X()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故

这时X()=0,于就是??可见,若f(ｔ)就是实偶函数,则F()也就是实偶函数,即

左边反褶,右边共轭

(１、2)ｆ(t)就是实得奇函数,即-f(t)＝f(-t)?Ｒ()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故

这时R()=0,于就是

可见,若ｆ(t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数,即

左边反褶,右边共轭

有了上面这两条性质,下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号,又不就是奇信号,反正不清楚,或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱特点、

2.６。4对称性

傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系,称为傅里叶变换得对称性质。若已知

F()＝F［f(t)］

则有? F［f(t)]＝2лf(-)

证明:因为?

将变量ｔ与互换,再将2乘过来,得??上式右边就是傅里叶正变换定义式,被变换函数就是F(t)

所以?Ｆ［F(t)]＝2лf(-)

若ｆ(t)为偶信号,即f(t)=f(—ｔ),则有?Ｆ［F(t)]=2ｆ()

从上式可以瞧出,当f(ｔ)为偶信号时,频域与时域得对称性完全成立――即f(t)得频谱就是F(),F(t)得频谱为f()。

若ｆ(ｔ)为奇信号,即ｆ(t)=—f(—ｔ),则有

F［Ｆ(t)]=—2f()

利用FＴ得对称性,我们可以很方便地一些信号得傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点、?

２。6。5 尺度变换

若F［f(t)］=F(),则

?这里a就是非零得实常数。

下面利用ＦT得定义及积分得性质,分a〉０与a<0两种情形来证明傅里叶变换得尺度变换特性。

证明:因为??令at=x,

当ａ > 0时

当ａ < 0时

上述两种情况可综合成如下表达式:

由上可见,若信号ｆ(ｔ)在时域上压缩到原来得１/a倍,则其频谱在频域上将展宽a倍,同时其幅度减小到原来得1/ａ。

尺度变换性质表明,在时域中信号得压缩对应于频域中信号频带得扩展,反之,信号得时域扩展对应于频域得压缩。对于a=-1得特殊情况,它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。

对傅里叶变换得尺度变换特性最通俗得解释可以采用生活中得实例来说明,在录音带快放时,其放音速度比原磁带得录制速度要快,这就相当于信号在时间上受到了压缩,于就是其频谱就扩展,因而听起来就会感觉到声音发尖,即频率提高了。反之,当慢放时,放音得速度比原来速度要慢,听起来就会感觉到声音浑厚,即低频比原来丰富了(频域压缩)。

2.6。６时间平移(延时)

下面进行证明

证明:

?上式右边得积分项为傅里叶变换定义式,

于就是可以得到

同理可以得到

2.6。７时域微分

若F[f(ｔ)]=Ｆ(),则

?证明:因为,两边对ｔ求导,可得

所以

同理,可以推出

由上可见,在时域中ｆ(t)对ｔ取n阶导数等效于在频域中f(t)得频谱F()乘以(ｊ)n. 下面举一个简单得应用例子、若已知单位阶跃信号u(ｔ)得傅里叶变换,可利用此定理求出(t)得FT

２．6.8 频域微分

若F[f(ｔ)]=F(),则

证明:因为 ,两边分别对求导,可得

所以?

2.6．9 时域积分

可见,这与利用符号函数求得得结果一致。2．6.1０频域积分

若F[f(t)］=F() ,则有

2.6。11 时域卷积定理?

２。6．12 频域卷积定理

与时域卷积定理类似,

证明方法同时域卷积定理,在这里不在重复,同学们可自己证明、

由上可见,两个时间函数频谱得卷积等效于两个时间函数得乘积。或者说,两个时间函数乘积得频谱等于各个函数频谱乘积乘以１/2。

显然,时域与频域卷积定理就是对称得,这就是由傅里叶变换得对称性决定得。

２．6。13 帕斯瓦尔定理

前面我们在讲信号分解时,提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在ＦT中得具体表现形式、

若F［ｆ(t)]=F() ,则

这就就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现,它表明了信号得能量在时域与频域就是守恒得。下面利用ＦＴ得定义与性质,推导信号能量得求解。

?

式中就是信号f(t)得总能量,为信号ｆ(t)得能量谱密度。

帕斯瓦尔定理表明,这个总能量既可以按每单位时间得能量｜f(t)｜2在整个时间内积分计算出来,也可以按单位频率内得能量/2在整个频率范围内积分来得到。

此定理也可以如下证明。由相关性定理可得

取t=0,即得帕斯瓦尔定理。