2020年山东省济南市中考数学试卷(含答案解析)

2020年山东省济南市中考数学试卷

副标题

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1.?2的绝对值是()

A. 2

B. ?2

C. ±2

D. √2

2.如图所示的几何体，其俯视图是()

A. B. C. D.

3.2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是

21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为()

A. 0.215×108

B. 2.15×107

C. 2.15×106

D. 21.5×106

4.如图，AB//CD，AD⊥AC，∠BAD=35°，则∠ACD=()

A. 35°

B. 45°

C. 55°

D. 70°

5.古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票

中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

A.

B.

C.

D.

6.某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折

线统计图，下列说法正确的是()

A. 每月阅读课外书本数的众数是45

B. 每月阅读课外书本数的中位数是58

C. 从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降

D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45

7.下列运算正确的是()

A. (?2a3)2=4a6

B. a2?a3=a6

C. 3a+a2=3a3

D. (a?b)2=a2?b2

8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3

个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为()

A. (1,7)

B. (0,5)

C. (3,4)

D. (?3,2)

9.若m

A. B. C. D.

10.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半

径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF

上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为

()

A. 5

2

B. 3

C. 4

D. 5

11.如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE=43°，视线PE

与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF//BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若A点到B点的距离AB=1.6m，则盲区中DE的长度是()

(参者数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4)

A. 2.6m

B. 2.8m

C. 3.4m

D. 4.5m

12.已知抛物线y=x2+(2m?6)x+m2?3与y轴交于点A，与直线x=4交于点B，当x>2时，y值随

x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点)，M为G上任意一点，设M 的纵坐标为t，若t≥?3，则m的取值范围是()

A. m≥3

2

B. 3

2

≤m≤3 C. m≥3 D. 1≤m≤3

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.分解因式：2a2?ab=______．

14.在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出

白球的概率是______．

15.代数式3

x?1

与代数式2

x?3

的值相等，则x=______．

16.如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作

弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为______．

17.如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互

垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽

应为______米．

18.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=8，将AB沿AE翻折，

使点B落在B′处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在

线段EB′上的点C′处，EF为折痕，连接AC′.若CF=3，则

tan∠B′AC′=______．

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）

19.计算：(π

2

)0?2sin30°+√4+(1

2

)?1．

20.解不等式组：{4(2x?1)≤3x+1①

2x>x?3

2

②

，并写出它的所有整数解．

21.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交

AD，BC于点E，F.求证：AE=CF．

22.促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举

办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘

制了如表格和统计图：

等级次数频率

不合格100≤x<120a

合格120≤x<140b

良好140≤x<160

优秀160≤x<180

请结合上述信息完成下列问题：

(1)a=______，b=______；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______；

(4)若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人

数．

23.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A

作AD⊥DC，连接AC，BC．

(1)求证：AC是∠DAB的角平分线；

(2)若AD=2，AB=3，求AC的长．

24.5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：

型号价格

进价(元/部)售价(元/部)

A30003400

B35004000

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，

请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

25.如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2,2√3)，反比例函数y=k

x

(x>0)

的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=1

2

．

(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；

(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；

(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G

是否在反比例函数图象上．26.在等腰△ABC中，AC=BC，△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，∠ADE=1

2

∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．

(1)当∠CAB=45°时．

①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是______.线段BE与线段CF

的数量关系是______；

②如图2，当顶点D在边AB上时，(1)中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给

予证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．

(2)当∠CAB=30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明

理由．

27.如图1，抛物线y=?x2+bx+c过点A(?1,0)，点B(3,0)与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0<

m<3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当m=1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D

的坐标；

(3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，

若S1=2S2，求m的值．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：?2的绝对值是2；

故选：A．

根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数?a，解答即可．

此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2.【答案】C

【解析】解：从几何体上面看，共2层，底层2个小正方形，上层是3个小正方形，左齐．

故选：C．

根据俯视图是从物体上面看所得到的图形判断即可．

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．

3.【答案】B

【解析】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C

【解析】解：∵AB//CD，

∴∠ADC=∠BAD=35°，

∵AD⊥AC，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠ACD=90°?35°=55°，

故选：C．由平行线的性质得∠ADC=∠BAD=35°，再由垂线的定义可得三角形ACD是直角三角形，进而得出∠ACD 的度数．

本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，属于基础题型．

5.【答案】D

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．

故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6.【答案】B

【解析】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，

所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A错误；

每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、

72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，

故选项B正确；

从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4

月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C错误；

从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，故选项D错误．

故选：B．

从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．

本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．

7.【答案】A

【解析】解：∵(?2a3)2=4a6，故选项A正确；

∵a2?a3=a5，故选项B错误；

∵3a+a2不能合并，故选项C错误；

∵(a?b)2=a2?2ab+b2，故选项D错误；

故选：A．

根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．

本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

8.【答案】C

【解析】解：由坐标系可得B(?3,1)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(3,1)，再向上平移3个单位长度，点B的对应点B′的坐标为(3,1+3)，

即(3,4)，

故选：C．

根据轴对称的性质和平移规律求得即可．

此题主要考查了坐标与图形的变化--对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．

9.【答案】D

【解析】解：∵m

∴m+1<0，1?m>0，

所以一次函数y=(m?1)x+1?m的图象经过一，二，四象限，

故选：D．

由m0，进而利用一次函数的性质解答即可．

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限．b> 0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．

10.【答案】D

【解析】解：由作法得EF垂直平分AB，

∴MB=MA，

∴BM+MD=MA+MD，

连接MA、DA，如图，

∵MA+MD≥AD(当且仅当M点在AD上时取等号)，

∴MA+MD的最小值为AD，

∵AB=AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，

∵S△ABC=1

2

?BC?AD=10，

∴AD=10×2

4

=5，

∴BM+MD长度的最小值为5．

故选：D．

由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB=MA，所以BM+MD=MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．

本题考查了作图?基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质．11.【答案】B

【解析】解：∵FD⊥AB，AC⊥EB，

∴DF//AC，

∵AF//EB，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵∠ACD=90°，

∴四边形ACDF是矩形，

∴DF=AC，

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，

∴AC=AB?sin43°≈1.6×0.7=1.12(m)，

∴DF=AC=1.44(m)，

在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，

∴tan∠E=DF

DE

，

∴DE≈1.12

0.4

=2.8(m)，

故选：B．

首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF即可解决问题．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12.【答案】A

【解析】解：当对称轴在y 轴的右侧时，{

2m ?6<0?2m?62≤24(m 2?3)?(2m?6)2

4

≥?3

，

解得3

2≤m <3，

当对称轴是y 轴时，m =3，符合题意，

当对称轴在y 轴的左侧时，2m ?6>0，解得m >3， 综上所述，满足条件的m 的值为m ≥3

2． 故选：A ．

根据题意，x =?b

2a ≤2，

4ac?b 24a

≥?3

本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

13.【答案】a(2a ?b)

【解析】解：2a 2?ab =a(2a ?b)． 故答案为：a(2a ?b)．

直接提取公因式a ，进而得出答案．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

14.【答案】2

5

【解析】解：共有球3+2=5个，白球有2个， 因此摸出的球是白球的概率为：2

5． 故答案为：2

5．

让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．

本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

15.【答案】7

【解析】解：根据题意得：3

x?1=2

x?3， 去分母得：3x ?9=2x ?2， 解得：x =7，

经检验x =7是分式方程的解．

故答案为：7．

根据题意列出分式方程，求出解即可．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

16.【答案】36

【解析】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π， 设正六边形的边长为r ， ∴

120π×r 2

360

×2=24π，

解得r =6．

则正六边形的边长为6．

根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．

本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．

17.【答案】1

【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意得： (10?x)(15?x)=126，

解得：x 1=1，x 2=24(不合题意，舍去)， 则道路的宽应为1米； 故答案为：1．

把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．

18.【答案】1

4

【解析】解：连接AF ，设CE =x ，则C′E =CE =x ，BE =B′E =10?x ， ∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB =CD =8，AD =BC =10，∠B =∠C =∠D =90°， ∴AE 2=AB 2+BE 2=82+(10?x)2=164?20x +x 2， EF 2=CE 2+CF 2=x 2+32=x 2+9， 由折叠知，∠AEB =∠AEB′，∠CEF =∠C′EF ，

∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，

∴∠AEF=∠AEB′+∠C′EF=90°，

∴AF2=AE2+EF2=164?20x+x2+x2+9=2x2?20x+173，

∵AF2=AD2+DF2=102+(8?3)2=125，

∴2x2?20x+173=125，

解得，x=4或6，

当x=6时，EC=EC′=6，BE=B′E=8?6=2，EC′>B′E，不合题意，应舍去，∴CE=C′E=4，

∴B′C′=B′E?C′E=(10?4)?4=2，

∵∠B′=∠B=90°，AB′=AB=8，

∴tan∠B′AC′=B′C′

A′B′=2

8

=1

4

．

故答案为：1

4

．

连接AF，设CE=x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF=90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．

本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，关键是利用勾股定理列出方程．

19.【答案】解：原式1?2×1

2

+2+2

=1?1+2+2

=4．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20.【答案】解：{4(2x?1)≤3x+1①2x>x?3

2

②

，

解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x>?1，∴不等式组的解集为?1

∴不等式组的所有整数解为0，1．

【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．

21.【答案】证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴AO=CO，AD//BC，

∴∠EAC=∠FCO，

在△AOE和△COF中

{

∠EAO=∠FCO

AO=OC

∠AOE=∠COF

，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴AE=CF．

【解析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

22.【答案】0.10.35108°

【解析】解：(1)根据频数分布直方图可知：a=4÷40=0.1，

因为40×25%=10，

所以b=(40?4?12?10)÷40=14÷40=0.35，

故答案为：0.1；0.35；

(2)如图，即为补全的频数分布直方图；

(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×12

40

=108°；

故答案为：108°；

(4)因为2000×40?4

40

=1800，

所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．

(1)用调查总人数减去其他小组的频数即可求得a值；

(2)根据调查的总人数和每一小组的频数即可确定中位数落在那个范围内；

(3)用总人数乘以达标率即可．

此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．

23.【答案】解：(1)证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACD+∠ACO=90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠ACO=∠DAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC是∠DAB的角平分线；

(2)∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠D=∠ACB=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴AD

AC

=AC

AB

，

∴AC2=AD?AB=2×3=6，

∴AC=√6．

【解析】(1)连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB 的角平分线；

(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．

24.【答案】解：(1)设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，

{

3000a+3500b=32000

(3400?3000)a+(4000?3500)b=4400，

解得，{

a=6

b=4，

答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；

(2)设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30?x)部，获得的利润为w元，

w=(3400?3000)x+(4000?3500)(30?x)=?100x+15000，

∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，

∴30?x≤2x，

解得，x≥10，

∵w=?100x+15000，k=?100，

∴w随x的增大而减小，

∴当x=10时，w取得最大值，此时w=14000，30?x=20，

答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B 两种型号手机各多少部；

(2)根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．

本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

25.【答案】解：(1)∵B(2,2√3)，则BC=2，

而BD =1

2，

∴CD =2?1

2=3

2，故点D(3

2

,2√3)，

将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：2√3=k

32

，解得k =3√3，

故反比例函数表达式为y =3√3x

，

当x =2时，y =3√32，故点E(2,3√3

2

)；

(2)由(1)知，D(3

2,2√3)，点E(2,3√32

)，点B(2,2√3)，

则BD =1

2，BE =√3

2

，

故

BD BC

=

1

2

2

=

1

4，EB AB

=

√32

2√3

=1

4=

BD BC

， ∴DE//AC ；

(3)①当点F 在点C 的下方时，如下图，

过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，

∵四边形BCFG 为菱形，则BC =CF =FG =BG =2， 在Rt △OAC 中，OA =BC =2，OB =AB =2√3， 则tan∠OCA =

AO CO

=

2√3

=

√3

3

，故∠OCA =30°，

则FH =1

2FC =1，CH =CF ?cos∠OCA =2×√3

2

=√3，

故点F(1,√3)，则点G(3,√3)， 当x =3时，y =

3√3x

=√3，故点G 在反比例函数图象上；

②当点F 在点C 的上方时， 同理可得，点G(1,3√3)，

同理可得，点G 在反比例函数图象上；

综上，点G 的坐标为(3,√3)或(1,3√3)，这两个点都在反比例函数图象上．

【解析】(1)求出D(3

2,2√3)，再用待定系数法即可求解； (2)证明EB

AB =

BD BC

，即可求解；

(3)①当点F 在点C 的下方时，求出FH =1，CH =√3，求出点F(1,√3)，则点G(3,√3)，即可求解；②当点F 在点C 的上方时，同理可解．

此题为反比例函数综合题，涉及到菱形的性质、解直角三角形、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识

点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．

26.【答案】∠EAB =∠CBA CF =1

2BE

【解析】解：(1)①如图1中，连接BE ，设DE 交AB 于T ．

∵CA =CB ，∠CAB =45°， ∴∠CAB =∠ABC =45°，

∴∠ACB =90°，

∵∠ADE =1

2∠ACB =45°，∠DAE =90°，

∴∠ADE =∠AED =45°， ∴AD =AE ，

∵∠DAT =∠EAT =45°， ∴AT ⊥DE ，DT =ET ， ∴AB 垂直平分DE ， ∴BD =BE ，

∵∠BCD =90°，DF =FB ， ∴CF =1

2BD ，

∴CF=1

2

BE．

∵∠CBA=45°，∠EAB=45°，

∴∠EAB=∠ABC．

故答案为：∠EAB=∠ABC，CF=1

2

BE．

②结论不变．

解法一：如图2?1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．

∵∠ACB=90°，CA=CB，AM=BM，

∴CM⊥AB，CM=BM=AM，

设AD=AE=y.FM=x，DM=a，则DF=FB=a+x，

∵AM=BM，

∴y+a=a+2x，

∴y=2x，即AD=2FM，

∵AM=BM，EN=BN，

∴AE=2MN，MN//AE，

∴MN=FM，∠BMN=∠EAB=90°，

∴∠CMF=∠BMN=90°，

∴△CMF≌△BMN(SAS)，

∴CF=BN，

∵BE=2BN，

∴CF=1

2

BE．

解法二：如图2?2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．∵AD=AE，∠EAD=90°，EG=DG，

∴AG⊥DE，∠EAG=∠DAG=45°，AG=DG=EG，

∵∠CAB=45°，

∴∠CAG=90°，

∴AC⊥AG，

∴AC//DE，

∵∠ACB=∠CBT=90°，

∴AC//BT//BD，

∵AG=BT，

∴DG=BT=EG，

∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，∴BD与GT互相平分，

∵点F是BD的中点，

∴BD与GT交于点F，

∴GF=FT，

∵△GCT是等腰直角三角形，

∴CF=FG=FT，

∴CF=1

2

BE．

(2)结论：BE=2√3CF．

理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．

∵CA=CB，

∴∠CAB=∠CBA=30°，∠ACB=120°，∵AT=TB，

∴CT⊥AB，

∴AT=√3CT，

∴AB=2√3CT，

∵DF=FB，AT=TB，

∴TF//AD，AD=2FT，

∴∠FTB=∠CAB=30°，

∵∠CTB=∠DAE=90°，

∴∠CTF=∠BAE=60°，

∵∠ADE=1

2

∠ACB=60°，

∴AE=√3AD=2√3FT，

∴AB

CT =AE

FT

=2√3，

∴△BAE∽△CTF，

∴BE

CF =BA

CT

=2√3，

∴BE=2√3CF．

(1)①如图1中，连接BE，设DE交AB于T.首先证明BD=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．

②解法一：如图2?1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN.证明△CMF≌△BMN(SAS)可得结论．

解法二：如图2?2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG.证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．

(2)结论：BE=2√3CF.如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT.证明△BAE∽△CTF可得结论．

本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

27.【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得{?1?b+c=0

?9+3b+c=0，解得{

b=2

c=3，

故抛物线的表达式为y=?x2+2x+3，

当x=0时，y=3，故点C(0,3)；

(2)当m=1时，点E(1,0)，设点D的坐标为(1,a)，

由点A、C、D的坐标得，AC=√(0+1)2+(3?0)2=√10，同理可得：AD=√a2+4，CD=√1+(a?3)2，

①当CD=AD时，即√a2+4=√1+(a?3)2，解得a=1；

②当AC=AD时，同理可得a=±√6(舍去负值)；

故点D的坐标为(1,1)或(1,√6)；

(3)∵E(m,0)，则设点M(m,?m2+2m+3)，

设直线BM的表达式为y=sx+t，则{

?m2+2m+3=sm+t

0=3s+t

，解得{

s=?1

m+1

t=3

m+1

，

故直线BM的表达式为y=?1

m+1

x+3

m+1

，

当x=0时，y=3

m+1

，故点N(0,3

m+1

)，则ON=3

m+1

；

S1=1

2

×AE×y M=1

2

×(m+1)×(?m2+2m+3)，

2S2=ON?x M=3

m+1

×m=S1=1

2

×(m+1)×(?m2+2m+3)，

解得m=?2±√7(舍去负值)，

经检验m=√7?2是方程的根，

故m=√7?2．

【解析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD=AD或AC=AD两种情况，分别求解即可；

(3)S1=1

2

×AE×y M，2S2=ON?x M，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．