复习小结-机械系统动力学汇总

《机械系统动力学》复习小结

第一章绪论

★ 1?《机械系统动力学》课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法）主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学

"单自由度刚体动力学：等效力学模型；

刚体动力学Y

二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法；

-单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动）

有频率计算、Duhamel积分；

,两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器；

机械振动学]多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法；弹性体振动：杆的纵向振动、轴的扭转振动、梁的横向自由振动

W种边界条件下的频率方程；

2.机械系统的一些基本概念

系统、机械系统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。

3.机械振动的概念及其分类

简谐振动：x = Asin「t亠"] 复数形式* x = Ae‘上

★ 4.谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。

a 迂

Fourier 级数：Ft ° 亠〔a* cosb n si n n t

2 心

★ 5.机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势

第二章单自由度刚体系统动力学

1.驱动力&工作阻力的分类

机械特性的概念

三相异步电动机的机械特性分析；

输出力矩与角速度之间的关系：M = a c 2。

★ 2 ?等效力学模型

原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力所作的功相等。通常取做定轴转动或直线平动的构件为等效构件。、固

（受迫振动）、

m 八F k k T V k COS 二k m

F e 八F k

k M

V k COS k

V

★ 4 .运动方程的求解方法 1）等效力矩是等效构件转角的函数时运动方程的求解，即

4 W 「二,,M e :

2）等效转动惯量是常数，等效力矩是等效构件角速度函数时运动方程的求解

J e = con st , M e = M e ■

分离变量法

3）等效力矩是等效构件转角&角速度的函数时运动方程的求解，即

4）等效力矩是等效构件转角、角速度和时间的函数时运动方程的求解，即

M e 二 M e , ,t ：

-

J e

m j

j4 I

-

m j

与传动速比有关，与机构的运动速度无关。 运动方程用动能定理确定。

1 2 LE 二W

J e2 '2 2 e2 2

— gje1 ‘12

二,2 M ed ：

灵=P ― Je

dF 2^ 忑=

Me

等效构件运动方程的基本形式

如p22例题1、p23例题2及课后思考题 3. 等效转动惯量&等效转动惯量导数的计算 1) 假设等效构件做匀速转动，即令

■ =1^ =0 ;

2)

3)

对机构进行运动分析，求出各构件对应的角速度和角加速度以及各构件质心的速度和 加速度——出相应的传动速比及其导数；

利用公式计算等效转动惯量&等效转动惯量导数：

-

J e

=》m

j

壬

dJ e d 7

n

=2X j m

dv sj da j '

m ? v ? ---

+ J. co -------------- 『V s j 的J

j j d 申丿

数值积分方法（梯形法）

，即

欧拉法、龙格库塔法

訐j ，'

J j

J j

3

_ ￡0

四阶龙格库塔法——?丿

dt

5.飞轮转动惯量的计算

通常用具有较大转动惯量的飞轮以减小机械运转时的周期性速度波动; 为什么飞轮具有储能作用？（飞轮调节作用的原理分析）

第三章两自由度刚体系统动力学

1.自由度、广义坐标、虚位移的定义

2.虚位移原理

在理想约束条件下，质点系平衡的充分必要条件是所有主动力在虚位移上所作的元功之和

「W F?Fk 5 =0

k

3.广义力的计算★

1) 利用公式直接计算：Q

saa. f

F k 城

k :qi

2) 利用求虚功的方法计算：

令-q =0，其他（n- 1）个广义虚位移均等于零，则系统中所有主动力在相应虚位移上所作的虚功之和：W F^Q i q i

对两自由度系统，W^Q! q^ Q2q2或P ? Q2q2

如p41例题1

3）利用虚功率的方法计算

4.拉格朗日方程

5.用拉格朗日方程建立运动微分方程的步骤

1）选取广义坐标，判断系统的自由度数；

cE

----- ---------------------

勺旳dt

机械运转不均匀数: max min =2max * min

由达朗贝尔原理----- ' F k -mm 、讥=0

q i

2）计算系统的动能E

3)计算广义力Q i

；

得到运动微分方程组。

二自由度刚体系统动力学方程的建立

★

以平面运动的机构为典型构件进行分析。 1) a.位移分析

标用广义坐标q i 、q 2表示。 b.速度分析

X sj

X sj

q q 2

C.求出系统的动能

* Q i

W 2

%2

3)根据拉格朗日方程写出系统的运动微分方程

圧

￡E

d

圧 ￡E

d

9

街1

dt 工q 1丿

饥街2

dt 疋q 2丿

写出拉格朗日方程:

先求出 4)

cE cE d cE

将最后求的 ，,

创 阳

d^cq i 」

,Q i 代入拉格朗日方程中，进行简化计算,

最终

6. 确定系统的动能

通过几何位置关系的分析，将各个构件的角位移

:

j 以及各构件上相关的点

k 的坐

将：：j 、X k 、y k 分别对时间求导数，可得到各个构件的角速度 X k 、

j 及有关点

k 的速度

投影

X k 、乂

4各构件质心的速度。

2) a.

d.求等效转动惯量 确定广义力Q 、Q Ju 、 1 2

1 才1q

i

2J

-2 22q 2

J 12、 J

22 0，求系统在虚位移

q 1下所有主动力所做的虚功总和

b.令 q 1

求系统在虚位移

q 2下所有主动力所做的虚功总和

b.静变形法：S

_g

4）求解运动微分方程

根据给定的初始条件，用四阶龙格 -库塔法的递推公式，求出各构件的相应位置及

角速度。

如p51例题3 7.二自由度机械手动力学的求解（类似双摆）

第四章单自由度系统振动

1. 单自由度无阻尼自由振动

1）动力学模型

mx kx = 0 ——x= Asin n t

o

n

2 二

固有频率的计算方法★ a.系数法：

m

eq x ■ k eq x

2,

/

■ X

X 。

X 0

严n 丿

们 X

C

,二

arctg 』

X o

其中，

A 二

J 11q 1

J 12q i

J 12q 2

J 22 q 2

11

12

■2

q 1

-J 11

qq

22

12

22

2 ￡q 1

! .t 2

q 2 二 Q 1

qq

22

2为2

.2

q i

二 Q 2

-U

2) 振动特性分析

振动频率：

f n

c.能量法：dt T U =°或「「几

如p70例题2、p71例题3、p74例题5

4）等效质量和等效刚度

a.分布质量简化为一个等效质量

b.等效刚度

2.单自由度有阻尼自由振动

1）动力学模型

mx ex kx = 0

2 k e

??■ 2 令n,

2 x 2： x n x = 0

m m

t 2-ft ■ — nt

x=e C1e C2e

★弱阻尼状态：x二Ae^ sin ，其中」d二：一〉

强阻尼状态：非周期性蠕动；

临界阻尼状态：逐渐回到平衡位置的非周期振动；

2）振动特性

a

阻尼比：二——

/ r u n

fo ? I j

u i+送

Jj

2e丿7 j3丿

n

m eq 八5 i 二

d. Rayleigh 法：m e q = m m s* T max U max

串联（“共力”）:

k eq k1 k2

11

k3

并联（“共位移”）：

振幅比： 二△二

e

：Td

____ > : = In = T d

频率比：■二—

已知振幅比求阻尼系数：

=:T d —T d —* d ——c = 2 mk

3. ★单自由度系统的强迫振动

1）简谐强迫振动

mx ex kx = P 0 sin t

■?通解：自由振动+稳态振动，即x= Ae^sin?d t + ?）+Bsin （国t 十屮）

2）位移干扰引起的强迫振动

mx ex k^ kx s cx s

— 复数法求解：令

x s = a €啪，x = B

3）周期激振力引起的强迫振动

a. 非简谐周期激振力引起

b. 非简谐周期性支承运动引起

IHT

m

AQt-x.)

n

+ Z (a j cosjcot 十 b j sin j? t )

n

x s 二 ' a j cos j t b j sin j t

j￡

4）任意激振力引起的强迫振动 ★

Duhamel 积分法 -------- ?任意激振力的响应:

如p94例题9、P95例题10 5）强迫振动理论的应用

——动的隔离

按振源的不同，分为两类

第五章两自由度系统的振动

1. 两自由度系统的自由振动 ★

1）动力学模型

^1^+(^+ k 2 )人—k 2x 2 = 0

k m 2x^ k 2x^ k 2x 2 = 0

*矩阵形式：

M y

K

d

2）固有频率及主振型的求解

>x

若忽略阻尼，

x

sin d t- d

t

0 P sin “ t - d

谐波分析法:

a.主动隔振：设备本身是振源;

*隔振系数:

P 。

b.被动隔振：支承的垂直振动

x s = U e 唧为振源;—

K|

x1 = A sin（⑷n t + ? ）

a.假设解为简谐振动：丿

、X2 = A2sin@ n t + ? ）

b.得到系统的特征矩阵方程：〔K丨-「2 M I

〔A J 0

c.非零解的充要条件是行列式等于零：det〔K I -：〔M丨- 0

—2

d.解方程得固有频率：2 = b ' b - 4ac

2a

A C）

A22

）

e.将固有频率带入特征矩阵方程得主振型：-12-，- 2牛

A。）A（2）3）系统的动力响应

「幷=A bin佃n1t +驾

）+ A）sin（a n2t +?2）

*=B IA Sin他M + ④i ）+ ^A^kin? 池+ 冬）

2.两自由度系统的强迫振动★ 1）动力学模型：主系统+副系统

m1x1k1x1 - k2 x2- 人I 二P0sin t

、m2x2+ k2

（x2 - % ）= 0

其通解由两部分组成：自由振动+稳态振动

収=屮bin（%t +匕）+ A（2）sin細山+ 铁）

自由振动：“…

区=耳人°）sin（灼吐+ ?1）+ P2A^（）sin? 池+ 铁）

& = B1 sin^ t

稳态振动：」—? B1、B2

L X2 = B2 sin ⑷ t

2）振动特性

用共振法测定系统的固有频率，根据测出的振型来判定固有频率的阶次

3.动力减振器原理：用弹性元件（或加阻尼元件）把一个辅助质量联系到振动系统。

行戈—

c （X 2 —久）+ （匕 + k 2 ）x — k 2x 2 =

P0e 也

^m 2x 2 +

c （x 2 — xj- k 2x 1 + k 2x 2 = 0 =B i 貴

=

B

2

特解: X i 若无阻尼, B

i

1 -

2

：. 2 一，一 J 2

无阻尼减振器的实质：使系统的共振频率发生变化，其本身并没有消除共振。 st

第六章多自由度系统的振动 i .多自由度系统运动方程的建立方法 1）拉格朗日法 d

订 汀

:U

—Ir----------------- + -----

I g 11

f

dt /q- 5

旳 二

Q i

用矩阵形式表示的系统运动微分方程 喻&…Cckx —〔kkx — P

2）影响系数法 冈慷影响系数、阻尼影响系数、惯性影响系数、柔度影响系数

L 丄k 】：〔k

丄：4

互为逆矩阵 位移方程: 丫 X ，_ L ：上 p, _ L ：

」［

m ］、x ，_

口7“/

2.多自由度系统的固有频率和主振型的求解

1）固有频率

多自由度无阻尼系统自由振动的一般形式:

假设解为：

x = A e rt

—主振型方程： k ■ n 怙从，o

频率方程：det〔k I -「：m 1 = 0

n阶固有频率：0

―冷」n2……

：：：-'nn

2）主振型

求出固有频率后，将其中一阶固有频率国nr代入主振型方程

---- 第r阶主振型A……An r1

计算主振型时，往往规定其中某一阶振幅A「）= 1，再求其它的。

3）主振型的正交性★

几何意义：系统的主振型互相垂直；

物理意义：从能量观点出发，各阶主振型之间能量不能相互转化，彼此独立;

假设对应于固有频率-■ nr、「ns的两个主振型为：A r「A s二

r = s时

一八

T mFA r-0 即主振型对质量矩阵的正交性

一HA-0 即主振型对刚度矩阵的正交性3.模态分析法★

概念：应用由系统的各阶主振型组成的模态矩阵作为变化矩阵，对原系统运动方程进行坐标变换，使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化（即消除惯性耦合和弹性耦合），得

到一组独立的互相耦合的模态方程。即可以用单自由度系统的求解方法分别求解每一个方程，从而得到多自由度系统的动力响应。

运动方程：

求解步骤：

1）求出系统的各阶固有频率%…国nn以及相应的主振型A（n?

——模态矩阵：R】=

R A°）X A（2”.….'A闵

——正则模态矩阵：I - ' |!-' I

2）用门、「N

h原方程作坐标变换：

x -「—*■ M :d -K kq - g，

3）按单自由度系统的求解方法分别求解每一个方程；

得到一组以模态坐标（正则坐标

:q N表示的系统的动力响应。

4）利用线性变换，得到原系统运动方程的解; 如p122例题2、P129例题3

4.多自由度系统的数值方法

1）Rayleigh法：最低阶固有频率o n1的上限

2）Dunkerly法：最低阶固有频率灼n1的下限

3）矩阵迭代法

假设一个振动的振型，经过逐次迭代，使其收敛到某一阶主振型，从而求出系统的固有频率和主振型第七章弹性体的振动

1. ★杆的纵向自由振动

等截面杆纵向自由振动的运动方程:

1 2u

a2 :t2

边界条件为自由端时,

cu

.尬l

—杆纵向自由振动的频率方程：sin—n0

a

1l

两端为自由端，应力为零

2l

两端固定，位移为零

3

I m

I =0左端位移为零，右端力平衡

4. 1k

左端位移为零，右端力平衡

2.梁的横向自由振动★

1）Euler-Bernoulli 梁：只考虑弯曲引起的变形。

2）等截面梁横向自由振动的运动方程

——?解：：\ -::in : : ■.:.■ .1 ': ,ii..:

3 ）边界条件

a.两端自由：弯矩与剪力为零

，其中a二

b. 两端简支:

位移与弯矩为零

*频率方程：sin '1=0

c. 两端固定：位移与转角为零

■＞频率方程:ml ，『讪二二0

3. 梁的横向受迫振动

用模态分析法求解其在外界激振力下的动力响应。

d 2Y dx 2

dx 2

*频率方程: d 3Y

dx 3

dx 3 x =l

coslLcoshZI = 0

x 「

0，d

2Y

dx 2 x=0

dx 2

X =0

=0,

Y

XT

7dY

0,

dY

dx x =0

dx x -l