数二考研线代公式
第一章
1.1 行列式展开式
1.1.1 定义
1.1.2 按行按列展开
1.1.3 上下三角行列式
1.1.4 副对角线
1.1.5 拉普拉斯展开式
设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵
1.1.6 特征值形式 [a b b b b b b a =1.2 公式
第二章
2.1 矩阵运算
2.1.1
矩阵乘法运算
2.1.1.1.
2.1.1.2.
2.1.1.
3.
2.1.1.4. []βαT n n b b a a A A r n =????
??????=?=
1
11)(阶矩阵 其中T
α为矩阵中的第一列，β为第一列的倍数
2.1.2
矩阵逆的运算
2.1.2.1. 二阶矩阵逆的运算公式
2.1.2.2.
2.1.3 矩阵转置的运算
T T A A)(λλ=
2.1.4 矩阵伴随的运算
2.1.5 矩阵的秩
2.1.6 分块矩阵运算
2.1.6.1. 矩阵分块乘法
2.1.7 矩阵乘法转化为方程组
r(B)}
min{r(A),<=r(C)，C 则0,B 0,A 即，B 、A ，C =AB 若因为线性无关线性无关
≠≠
2.1.9 矩阵的高次幂
2.2 幂零矩阵的性质
性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0。
性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0k k Z trA +?∈
=
性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=
性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵
性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形
性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'-∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=
2.3 方阵可逆等价条件
第三章
3.1 线性表出与线性相关
221122112212s
212]=+,,()r
(A b )
n n n m m mn n m n n n x x x x a x a x a x b x r A αβαααβαααααααβα?????+=????+++=?????
??=?可由向量组线性表出)=r(,)}
212s ,=b),n
n αβββ
αα=???
?,向量可由向量组AX
有唯一解不能由向量组) 121111112112121221 21222212112111212111212222211]=,,n n n n m n n i i m m mn n m m m mn n m n n mn x x x x a x b a x a x a x b x x x x x a x a x a x b a x a x a x b x x x αβββαα??++=+++=?????????+??????+++=+++=????? ? 2 +A =()r(A B) r(A B) in n x B r A α=??=? 可由向量组线性表出非齐次线性方程组AX 有解线性表出非齐次线性方程组 2 s 12s 2s 12s ,=0,0 αααααααα??≠线性相关线性无关 3.1.2 3.1.3 =0n a x ???++=???? 3.1.4 3.1.5 3.1.5.1. 推论 3.1.6 3.1.7 3.1.7.1. 推论 s r(αββ，3.1.8 3.2 秩 第四章 线性方程组 4.1 AX=O 4.1.1.1. 推论 4.1.1.2. 4.2 AX=b 4.3 通解结构及解的性质 1. 2. 3. 4. 5.1 特征值 特征向量 5.1.1 5.1.2 5.2 特征多项式 特征方程 5.3 特征值的解法： 5.4 性质 5.4.4 )1(0)(r n i n A i ≤≤≠?=λ 5.5 相似 可对角化 B 能与对角阵相似，则称 5.5.2 相似对角化的充要条件 5.5.3 相似对角化的充分条件 n A n λ???? 为的个特征值 5.5.4 相似对角化的本质 5.5.6 判别法 5.5.7 21 ) APP B η-=Λ =5.6 相似性质 5.6.3 A ,B B C A C ? 1112112112112A P ()B C P BP P P APP PP APP -----??=?=?B r ?<≠C C (A)r ??=证：若可逆，可逆1B P -?证：一个矩阵左右乘可逆阵秩不变 A 5.6.5B λ?<≠(A)(B)r(f B f f ??（(A)ii ii B a b tr ?=?∑∑T B A ? ,B A ，B 可逆5.6.10 5.6.11 B ,A = 5.6.12 B 皆可对角化 5.7 =为实数000λλλ?=? 实对称阵不同特征值的特征向量正交 ，即性质：αβαλ0),(,A 1T =?≠=A n n A λλ?=???? ??Λ ? ??? ??? A ? ? ? 5.8 5.8.1 性质 5.8.1.1. 5.8.1.2. 5.8.1.3. 5.8.1.4. 5.8.1.5. 5.8.1. 6. 12n ,)ααα两两正交且规范化（单位向量）为标准正交向量组 5.9 反对称阵 第六章 6.1 定义：二次型 二次型的矩阵 二次型的秩 6.2 标准型 规范型 6.3 二次型化标准型 6.3.1 配方法（基本不考） 1=z P 0n l -≠???? 平方项，标准型有无数个 6.3.2 正交变换法 n 1 n 1n (A 0r r ( Ax A λξλλ=-=??? ???? 施密特正交化规范化化Q=()注意：必 X QY =? 6.4 正惯性指数 负惯性指数 6.5 合同 ,B 并称由为合同变换的矩阵 6.6 正定的充要条件 6.6.1 n ?元二次型正定A 的正惯性指数为 n 6.6.2 n ?元二次型正定A 与E 合同，即存在可逆矩阵C ，C T AC=E 6.6.3 n A n λ?元二次型正定的所有特征值（i=1,2,）均为正数 6.6.4 n A ?的各阶顺序主子元二式次型正定均大于零 6.6.4.1. 顺序主子式大于零： 6.7 正定的必要条件