初二奥数题及答案1
F E
A D C
B 初二数学奥数及答案
1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。 (1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；
(2)若AD ＝1，BC ＝3，DC ＝2，试判断△DCF 的形状；
(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .
（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .
①求证：△ABN ≌△ADN ；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离；
（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.
3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．
正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；
（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． 4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）
中，Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC
边与网的底部重合
P
D
C
B
A
O
N
M
图1
图2
时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
6
、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，
且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE
于点F，求∠E的度数。
7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF 的长度，你发现了什么？试说明理由。
1、解：（1）证明：∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ， ∵EF ∥AB ， ∴∠B=∠EFC ， ∴∠B=∠ECF ，∴梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC ，EF=EC ，∴EF=
2
1
CD ， ∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD 是等腰梯形， ∴CF= 2
1
（BC-AD ）=1， ∵DC= 2， ∴由勾股定理得：
DF=1，
∴△DCF 是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+2
2、证明：（1）①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠1=∠2． 又∵AN=AN ， ∴△ABN ≌△ADN ．
②解：作MH ⊥DA 交DA 的延长线于点H ． 由AD ∥BC ，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt △AMH 中，MH=AM ?sin60°=4×sin60°=2
3． ∴点M 到AD 的距离为2 3．
∴AH=2． ∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD 是正方形． ∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA ，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M 恰好与点B 重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA ，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M 恰好与点C 重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD ∥BC ， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4． ∴CM=CN ． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6． 故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．
综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN 是等腰三角形。 3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；
（2）△ABP1≌△ADP ，且△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得． 理由如下：在△ABP1和△ADP 中，
由题意：AB=AD ，AP=AP 1，∠PAD=∠P 1AB ， ∴△ABP1≌△ADP ，
又∵△ABP 1和△ADP 有公共顶点A ，且∠PAP 1=90°，
∴△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得； （3）点P （1，1）关于点A （0，4）左转弯运动到P 1（-3，3）， 点P 1（-3，3）关于点B （-4，4）左转弯运动到点P 2（-5，3）， 点P 2（-5，3）关于点C （-4，0）左转弯运动到点P 3（-1，1）， 点P 3（-1，1）关于点D （0，0）左转弯运动到点P 4（1，1）， 点P 4（1，1）关于点A （0，4）左转弯运动到点P 5（-3，3）， 点P 5与点P 1重合，点P 6与点P 2重合，，点P 2009的坐标为（-3，3） 点P 2010的坐标为（-5，3）．
4、解：（1）如图1，△A 2B 2C 2是△A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形；
（2）当△ABC 以每秒1个单位长的速度向下平移x 秒时（如图2）， 则有：MA=x ，MB=x+4，MQ=20， y=S 梯形QMBC -S △AMQ -S △ABC =
214+20）（x+4）- 21×20x- 2
1×4×4 =2x+40（0≤x ≤16）． 由一次函数的性质可知：
当x=0时，y 取得最小值，且y 最小=40，
当x=16时，y 取得最大值，且y 最大=2×16+40=72； （3）解法一：
当△ABC 继续以每秒1个单位长的速度向右平移时， 此时16≤x ≤32，PB=20-（x-16）=36-x ，PC=PB-4=32-x ， ∴y=S 梯形BAQP -S △CPQ -S △ABC = 21（4+20）（36-x ）-21×20×（32-x ）- 2
1
×4×4 =-2x+104（16≤x ≤32）． 由一次函数的性质可知：
当x=32时，y 取得最小值，且y 最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．
5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF=BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
此时EF=BE-CF，
6、解：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°，
∴∠E=56°．
7、解：OE=OF．
证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．
∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，
∴∠AOF=∠EOB．
在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．