Equation of motion in a scalar model of gravity
a r X i v :g r -q c /9910083v 1 25 O c t 1999
Equation of motion in a scalar model of
gravity
?
Shmuel Kaniel and ?Yakov Itin Institute of Mathematics
Hebrew University of Jerusalem Givat Ram,Jerusalem 91904,Israel
February 7,2008
Abstract
A scalar model of gravity is considered.We propose Lorentz invariant ?eld equation f =kηab f ,a f ,b .The aim of this model is to get,approximately,Newton’s law of gravity.It is shown that f =?1r )is the unique spherical symmetric static solution of the ?eld equation.f is taken to be the ?eld of a particle at the origin,having the mass m .The ?eld of a particle moving with a constant velocity is taken to be the appropriate Lorentz transformation of f .The ?eld F of N particles moving on trajectories
˙ψ
j (t ).When this ?eld is inserted to the ?eld equation the outcome is singular at (
?email kaniel@math.huji.ac.il
?
email itin@math.huji.ac.il
the?eld.Newton and Maxwell equations are linear.Therefore,there is no way to formulate, only by the?eld equations,the“force”that a particle exerts on other particles.Thus additional laws were included:Newton’s law of gravitation,Coulomb and Lorentz laws in electrodynamics.
On the other hand,Einstein?eld equation for gravitation is non linear.This allows,in theory,to derive equations of motion from the?eld equations.Einstein succeeded to carry out this program.The original version of general relativity(GR)employed an additional postulate:The Geodesic Postulate.Thus,he obtained a covariant generalization of the classical equation of motion.The Geodesic Postulate is an intrinsic postulate involving only the geometry of M.By comparison,Newton,Coulomb and Lorentz laws are extraneous laws of force.
Later,Einstein-Infeld-Ho?man[1]and Fock[2]derived,directly,the equations of motion from the?eld equations.The derivation is rather formal(i.e.the?rst terms of a series). Moreover,it is not known how the motion of the particles can be embedded in a?eld satisfying Einstein?eld equations.Recently Damour[3]computed the equations of motion to great accuracy.Still,the derivation is formal.
In this paper we study a Lorentz-invariant scalar model of gravity.This is a non-linear (quadratic)Lorentz-invariant generalization of the Newtonian scalar theory of gravity.We derive by this model the equations of particle motion and Newton’s law of force from the ?eld equation.
Recently,Watt and Misner[16]considered a scalar model of gravity(It is interesting to note that the metric that they obtained is,also,the metric obtained by Kaniel and Itin[8] i.e.Yilmaz-Rosen metric.)The motive of[16]was to facilitate numerical computations of gravitational waves.We hope that the model established in this paper will be of case also for analytical reasoning.It may serve as guideline for studying the equations of motion,where the?eld equation is a di?eomorphic covariant system.We propose to apply the method exhibited in this paper to general quasi-linear?eld equations.The computations above lead to a novel algorithm for the derivation of equations of motion from it.
1Compute a static,spherically symmetric solution of the?eld equation.It will be singular at the origin.This will be taken to be the?eld generated by a single particle.
2Move the solution on a trajectory
ψ(t).
3Take the?eld generated by n particles to be the superposition of the?elds generated by the single particles.
4Compute the leading part of the equation.Hopefully,only terms that involves¨
2Non-interacting particles
We start with the linear d’Alembertian?eld equation.This equation is a Lorentz-invariant extension of Laplace equation pertaining to the Newtonian gravity.
The Newtonian theory of gravity is formulated as a?eld theory via the scalar potential f, which is subject to Laplace equation
△f=0.(2.1) The unique spherical symmetric and asymptotically zero solution of this equation is
m
f=
(r0)2,m and
r=
,(2.4)
R
where
r?v α r?v α v,(r0)>=v2 α v2βt v,(r0)>= r? 1?αv2 In order to describe by(2.9)a constant velocity motion we have to take β=1?αv2.(2.10) The functionsα,βare still arbitrary.However the?eld equation(2.3has to be satis?ed. Calculate the derivatives vβ, R x=v, R3 mβ v, R3 mβ v,R t, R5 3 As for the spatial part of the d’Alembertian f x=?m R x, R3 m R x, R5 ?m R x, R x,R y,R z, Hence the Laplacian takes the form △f =3 m R 3 3?2αv 2+α2v 4 =3 m R 3 (α2v 2?2α)v 2 = m √ v 2 1? 11?v 2 (2.23) The result is rather obvious.Indeed,beginning with the static 1-particle solution (2.2)of the wave equation (2.3)and making a Lorentz transformation of coordinates (with opposite velocity)we obtain a solution which describes the inertial motion of the particle.Consider now the function f = m R =( r 0)?α˙ ψ,(r 0)>?β ψ= ψ|2: β= 11?|˙ |˙ ψ|2 (2.26) If ˙ vt then (2.5)coincides with (2.5).Calculate the d’Alembertian of the function f . ψ,¨ψ<˙ r ? ψ<˙r ?ψ<¨r ?ψ,¨ ψ ?β˙R tt =?4α′′ <˙ψ>2<˙ r ? ψ|2<˙r ? ψ,˙¨ψ,(r 0)> ?2α′ <˙ψ><¨r ? ψ,¨ψ ?2β′ |¨ψ ?2β′ <˙ψ> ψ,¨ ψ ?2β ′ <˙ψ>˙ ψ. (2.28) Thus f t=?m R t, R3 ?2α′ <˙ψ><˙R><˙r?ψ,ψ,(r0)> ?α <˙ψ,(r0)> ?2β′ <˙ψ> R t=?β˙R tt=?β¨ R3 β<˙ ψand its derivatives and can be neglected.Thus the second derivative to the same accuracy is f tt=mβ ψ,ψ, R5 <˙R> Substitute ψ(2.33) to get f tt=mβ ψ,ψ,˙ R5 <˙R>2 =mβ ψ, R5 3<˙R>2?R2|˙ R x=ψ, R3 m R x, R5 △f=3m R x,R y,R z,R3 R2x+R2y+R2z (2.38) Since R x,R y,R z,ψ,R>2+α2|˙ψ,R>2(2.40) and R2x+R2y+R2z=3?2α|˙ψ|4(2.41) Thus the Laplacian is △f=mψ|2?2α) 3<˙ψ|2R2 (2.42) And,for the d’Alembertian f=mβ ψ, R5 (β2+2α?α2|˙ψ,ψ|2 (2.43) Using the expressions for the functionsα,βwe obtain f=mβ ψ, ψ=0. The reasoning above can be extended to arbitrary number of singularities.Indeed,the equation(2.3)is linear so it has a solution f= n i=1(i)m R=(r)?(i)α(i)˙ψ,(r)>?(i)β(i) ψ|2,(i)α=1ψ|2 1?11?|(i)˙ R3 i <¨R i>.(2.48) Also here,for the?eld equation is f=0f is a solution provides that¨ 3Non-linear equations In order to describe the interaction between singularities we need to balance the value (2.48). Let us consider a new non-linear ?eld equation f =kηab f ,a f ,b (3.1) where k is a dimensionless constant.It is easy to see that this equation is unique Lorentz-invariant equation which is linear in the second derivatives and quadratic in the ?rst deriva-tives. The ?rst step is to ?nd a static spherical-symmetric solution of (3.1).Write f =f (s )with s =x 2+y 2+z 2).So △f =2f ′+4f ′′s (3.2) and ηab f ,a f ,b =?4(f ′)2s. (3.3) Thus the equation takes the form 2f ′′s +3f ′=2k (f ′)2s (3.4) Inserting f ′=Z we obtain 2Z ′s +3Z ?2kZ 2s =0 (3.5) Take the new variable Z =s ?3/2Y (3.6) to obtain Y ′=ks ?3/2Y 2. (3.7) Thus Y = √C √ s (C √ k ln 1?k m r .The solution (3.9)is singular at the point r =0.The singularity can also be located in an arbitrary point r 0.The next steep is to consider a moving singularity.We seek for a solution of the form f =?1 R (3.10) for a moving singularity: r?ψ<˙r?ψ,(3.11) whereαandβare functions of|˙ R t=?β˙R tt=?β¨ R3 R = mβR,˙ 1?k m R5·3β<ψ>2+R2<ψ>?βR2|˙ 1?k m R6· <ψ>2 R )2 .(3.14) As for the spatial derivatives we have e1?α˙ψ,R xx=0(3.15) f x=?m R, 1?k m R5· R ?m R x,1?k m R6· R )2 .(3.17) Thus △f=3m R,R,R, 1?k m R3· R + km2R,R,R, (1?k m R x to get △f=3mψ,ψ|2<˙R>2 R ?mψ|2+α2| ˙ 1?k m R6·R2?2α<˙R>2+α2|˙ψ, (1?k m Thus the second order l.h.s.of the equation is f= mβR,˙R,¨ψ|2 R + m2β2k R,˙ (1?k m R5·R2?2α<˙R>2+α2|˙ψ, 1?k m R3· 3?2α|˙ψ|4 R ? km2ψ,ψ|2<˙R>2 R )2 =mβR,¨ 1?k m R5 (β2+2α?α2|˙R, ˙ψ|2) R + m2kψ|2)<ψ>2 R )2 (3.20) Using the relationβ2=α2|˙ R3·<ψ> R ?m2k(1?k m R6·<ψ>2 R )2? m2R,R,R, (1?k m R6·<ψ>2 R )2? m2ψ,ψ|2<˙R>2 R )2 =?m2 (1?k m R6 (β2+2α?α2|˙R, ˙ (1?k m R4 1 R )2 (3.23) Thus the?eld equation(3.1)results in mβR,¨ 1?k m ψ=0.So the one point singularity moves with constant velocity. Consider now a system of n singular points.In this case the ansatz is f=?1 (i)R (3.25) where (i)r?(i)ψ<(i)˙r?(i)ψ.(3.26) The linear part of the equation is f= n i=1 (i)m(i)βR,(i)¨ 1?k(i)m(i)R4 1 (i)R )2 (3.27) Calculate the nonlinear part f t=? n i=1 <(i)R>(i)R·(i)mψ,(i)1?k(i)m(i)R3 .(3.28) Thus (f t)2= n i,j=1(i)m(i)β1?k(i)m(j)R3(j)R<(i)˙R><(j)˙R>.(3.29) As for the spatial derivatives f x=? n i=1<(i)R>(i)R·(i)m (i)R3 (i)R · (j)m 1?k(j)m R x,(i)R x,(j) R y,(i)R y,(j)R z,(i)R z,(j) R x=ψ<(i)˙e1>(3.32) and writing <(i)R>= <(i)R><(j)R> = (j)α (i)α (i)α(j)α<(i) ˙R><(i)˙e1><(j)˙R><(j)˙e1> .(3.34) Thus the brackets in (3.31)are =<(i )R >?(j ) α <(j )˙R ><(j )˙ R > ? (i )α < (i )˙R ><(i )˙R > +(i )α(j ) α <(i )˙R ><(i )˙ψ><(j )˙R > . (3.35) Thus,the r.h.s.of the ?eld equation is kηab f ,a f ,b =? n i,j =1(i )m 1?k (i )m (j )R 3 (j )R <(i ) R >+ < (i ) ˙ R >< (i ) ˙ R > (i )β(j ) β+(i ) α+ (j ) α? (i ) α(j )α< (i ) ˙ ψ> Extracting in this expression the nonlinear part we obtain kηab f ,a f ,b =?k i (i )m 2k (1?k (i )m (i )R 3 (i )R · (j )m 1?k (j )m R,(j ) ψ,(j )ψ,(i ) ψ,(j )˙ (i )R 3 · <(i )ψ> (i )R =?k i =j (i )m 1?k (i )m (j )R 3 (j )R <(i ) R >+<(i )˙R ><(i )˙ R > (i )β(j ) β+(i )α+(j )α?(i )α(j )α<(i )˙ ψ> (3.36) For the approximation of slow motions it is n i =1 (i ) m R,(i )¨1?k (i )m (i )R 3 (i )R · (j )m 1?k (j )m R,(j ) R →0and (i ) (p )R 3 <(p ) ψ> (p )R (3.39) The singular term in the r.h.s.of (3.37)is ? k (p ) m 1?k (p )m (j )R 3 (j )R <(p ) R >(3.40) The terms (3.39)and (3.40)are O (R ?2near the singularity.When these are inserted to the r.h.s and l.h.s.of (3.37),respectively,the remainder will be O (R ?1only if: <(p ) ψ>=?k j =p (j )m 1?k (j )m R,(j ) ψ=?k j =p (j )m 1?k (j )m R (3.42) For the limiting values in (3.38) (p )¨ R jp 1?k (j )m ψ=?k j =p (j )m R 3jp (3.44) For a system of two singularity points (1)¨ R 21 ψ= j =p (j )m R 3jp .(3.46) is obtained. 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[18]Y.Foures-Bruhat:“Theoreme d’existence pour certains systems d’equations aux derivees partielles non lineaires”,Acta.Math88,(1952),141-225 第一章 1、计算流体动力学的基本任务是什么？ 答：计算流体动力学，简称CFD，是通过计算机数值计算和图像显示，对包含流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析。CFD可以看作是在流动基本方程（质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程）控制下对流动的数值模拟。通过这种模拟我们可以得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量（如速度、压力、温度、浓度）的分布，以及这些物理量随时间的变化，确定漩涡分布的特性、空化特性及脱流区等。 2、什么叫控制方程？常用的控制方程有哪几个？各用在什么场合？ 答：（1）流体流动要受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括：质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。如果流动包含了不同组分的混合成相互作用系统，还要遵守组分守恒定律，而控制方程是这些守恒组分守恒定律，而控制方程是这些守恒定律的数学描述。 （2）①质量守恒方程：任何流动问题都必须满足；②动量守恒方程：任何流动系统都必须满足；③能量守恒方程：包含有热交换的流动系统必须满足。 3、试写出变径圆管内液体流动的控制方程及其边界条件（假定没有热交换），并写出用CFD来分析时的求解过程。注意说明控制方程如何使用。 第二章 1、什么叫离散化？意义是什么？ 2、常用的离散化方法有哪些？各有何特点？ 3、简述有限体积法的基本思想，说明其使用的网格有何特点？ 4、简述瞬态问题与稳态问题之控制方程的区别，说明在时间域上离散控制方程的基本思想及方法？ 5、分析比较中心差分格式、一阶迎风格式、混合格式、指数格式、二阶迎风格式、QUICK格式各自的特点及使用场合？ 第四章 1、湍流流动的特征是什么？ 答：Reynolds数值大于临界值，流动呈现无序的混乱状态。这时，即使边界条件保持不变，流动也是不稳定的，速度等流动特性都随机变化。 2、三维湍流数值模拟的方法分类？ 答：直接数值模拟方法、非直接数值模拟方法。 3、标准k—ε模型方程的解法及适用性？ 4、Realizable K—ε模型的适用模型？ 答：Realizable K—ε模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包含有射流、混合流的自由流动、管道内流动、边界层流动、以及带有分离的流动等。 5、LES方法的基本思想如何？它与DNS方法有怎样的联系和区别？它的控制方程组与时均化方法的控制方程有什么异同？ 答：（1）LES方法的主要思想是：用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。 （2）LES和DNS是湍流数值模拟常用的方法，DNS是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行计算，最大好处是无需对湍流流动作任何简化或近似，理论上可以得到相对精确的计算结果，是直接数值模拟方法，而LES是非直接数值模拟方法，同时，DNS对内存空间及计算速度的要求高于LES。 （3）LES方法的控制方程组不考虑脉动对湍流运用的影响，将湍流运动看作是时间上的平均流动而DNS考察脉动的影响，把湍流运动看作是时间平均流动和 【个人陈述】 什么是个人陈述? 个人陈述( ，简称)是申请英国大学时，由申请人写的一篇关于自我介绍的漫谈体文章，是申请英国大学本科课程和硕士课程必要且极其重要的申请材料之一，主要用于描述申请者的个人背景、申请目的、研究方向等信息，是申请材料中较重要却也比较难把握的。 （）介绍英国大学录取学生和发放奖学金，都是通过全面、综合考察申请人的条件来决定的。一篇成功的个人陈述不但应该语言流畅、逻辑严谨、层次分明，更要充分显示申请人的才华，并抓住审阅人的注意力。 个人陈述应当包含以下内容： 、为什么要申请这个课程? 、对申请学校和专业是否了解? 、是否有独特的人生经历? 、为什么对这个专业有兴趣? 、有哪些社会实践? 、最终的事业目标是什么? 、是否具备杰出的品格，比如诚实、可靠、善良、刻苦等等，能否提供 、真凭实据来加以证明? 、是否具备值得一提的很好的、特别的工作习惯和态度，以及禀性上的优势？ 、具备什么样的特殊才能，如分析能力、领导才能和交流才能?为什么比别的申请者更具有在事业上成功的把握? 个人陈述的写作原则是什么? 、一定不要表现得自命不凡 、尽量不要以“”开头展开句子描述 、尽量用有趣的词组做开头和结尾 、尽量不要引用报纸杂志书籍上的名言警句 、一定不要撒谎，要真实、诚恳。 、不要尝试在个人陈述里面故作滑稽开玩笑 、不要谈与申请者的申请无关的兴趣爱好 、不要用生僻词汇 、不要重复那些在大学申请表格上就有的内容 、不要提及任何政治立场 这些原则可以让申请者知道该把焦点放在哪些事情上，使申请者在看过大量范文之后不至于迷失了自己。当然，如果申请者本人机智幽默、语言诙谐的话，也不反对申请者在个人陈述里巧妙地表现自己的这个风格。 个人陈述的结构： 一般来说，从开头的导论开始就需要申请者花一半的长度来讲述申请者对专业的认知以及申请者为什么要申请这个专业，后一半谈谈申请者自己以及申请者的特殊技能。 还有，另外一种办法就是分门别类，每一个类别写一段，比如： 第段：专业认识，以及其中吸引申请者的部分，谈谈为什么。 第段：在与这个专业相关的领域上都做了什么。(在申请者的学校申请表格当中还没有提到的) 第段：在校时期的工作经历。 第段：业余爱好以及个人能力。 第段：期望上贵校的决心及全文总结。 这仅仅是一个参考，怎么写作还是要取决于申请者自己。 最后一种办法就是，找一个申请者喜欢的个人陈述模板，然后直接用它的结构去写申请者的个人陈述，不过要非常当心，千万不要复制模板里的语言表述方式。 写个人陈述时的注意事项： 、个人陈述不宜过长 、避免目的不明确、结构不合理 、必须申请人原创。 【简历】 什么是简历？ 第三章，湍流模型 第一节， 前言 湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类： 第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。即： 2 1 21 x u u u t ??=-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有： ij i j j i t j i k x u x u u u δρμρ32 -??? ? ????+ ??=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。 第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。 第三类是大涡模拟。前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。 实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。 FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。 湍流模型种类示意图 第二节，平均量输运方程 包含更多 物理机理 每次迭代 计算量增加 提的模型选 RANS-based models 雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。对于速度，有： i i i u u u '+= 3－3 其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3） 类似地，对于压力等其它标量，我们也有： φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。 把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均（去掉平均速度i u 上的横线），我们可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式： 0)(=?? +??i i u x t ρρ 3－5 () j i j l l ij i j j i j i i u u x x u x u x u x x p Dt Du -?? +???????????? ????-??+????+??-=ρδμρ32 3－6 上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes （RANS ）方程。他们和瞬时Navier-Stokes 方程有相同的形式，只是速度或其它求解变量变成了时间平均量。额外多出来的项j i u u ''-ρ是雷诺应力，表示湍流的影响。如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。 如果密度是变化的流动过程如燃烧问题，我们可以用法夫雷（Favre ）平均。这样才可以求解有密度变化的流动问题。法夫雷平均就是出了压力和密度本身以外，所有变量都用密度加权平均。变量的密度加权平均定义为： ρρ/~ Φ=Φ 3－7 符号～表示密度加权平均；对应于密度加权平均值的脉动值用Φ''表示，即有： Φ''+Φ=Φ~ 。很显然，这种脉动值的简单平均值不为零，但它的密度加权平均值等于零，即： 0≠Φ''， 0=Φ''ρ Boussinesq 近似与雷诺应力输运模型 为了封闭方程，必须对额外项雷诺应力j i u u -ρ进行模拟。一个通常的方法是应用Boussinesq 假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即： ij i i t i j j i t j i x u k x u x u u u δμρμρ)(32 ??+-??? ? ????+??=''- 3－8 Boussinesq 假设被用于Spalart-Allmaras 单方程模型和ε-k 双方程模型。Boussinesq 近似 的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少，例如在Spalart-Allmaras 单方程模型中，只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在ε-k 双方程模型中，只需多求解湍动能k 和耗散率ε两个方程，湍流粘性系数用湍动能k 和耗散率ε的函数。Boussinesq 假设的缺点是认为湍流粘性系数t μ是各向同性标量，对一些复杂流动该条件并不是严格成立，所以具有其应用限制性。 英国留学如何申请 去英国留学已然是现今许多学生的选择。英国优越教育专家表示，主要是因为英国大学的教育品质高、学校的国际声誉突出、学术的研究水平高、学位等级证书也受国际承认，其课程也比较短致使学费也相对少些，这些因素可以说都是中国学生把英国作为首选留学国家的原因。 英国留学既然这么受到这么多学生的关注，对于很多首次接触到英国留学申请的同学对整个申请的流程又不是十分了解。英国本地高端品牌机构优越教育借此机会将一些心得与大家分享，介绍留学英国申请整个过程所要经历的各阶段以及需要注意的一些问题，那么下面就来了解一下： 1. 递交学校申请阶段： 每年的9月份就进入了次年9月开学的高峰期，当然如果大家想尽早递交学校申请，就要提前准备CV、PS、在读证明及至少大学6个学期的成绩单及推荐信，当然如果大家有其他重要的荣誉证明或奖励或工作实习证明，都可以提交。 除此之外，有个别学校或个别专业会对IELTS及护照有要求，所以请大家在选择学校及专业时，一定要注意了，如果对IELTS或护照有要求，那就请大家尽早准备雅思的考试及办理护照。 去英国留学已然是现今许多学生的选择。作为英国留学高端品牌优的越教育专家表示，对于很多首次接触到英国留学申请的同学对整个申请的流程又不是十分了解。英国本地高端品牌机构优越教育借此机会将一些心得与大家分享，介绍留学英国申请整个过程所要经历的各阶段以及需要注意的一些问题，那么下面就来了解一下： 1. 递交学校申请阶段： 每年的9月份就进入了次年9月开学的高峰期，当然如果大家想尽早递交学校申请，就要提前准备CV、PS、在读证明及至少大学6个学期的成绩单及推荐信，当然如果大家有其他重要的荣誉证明或奖励或工作实习证明，都可以提交。 壁面对湍流有明显影响。在很靠近壁面的地方，粘性阻尼减少了切向速度脉动，壁面也阻止了法向的速度脉动。离开壁面稍微远点的地方，由于平均速度梯度的增加，湍动能产生迅速变大，因而湍流增强。因此近壁的处理明显影响数值模拟的结果，因为壁面是涡量和湍流的主要来源。 实验研究表明，近壁区域可以分为三层，最近壁面的地方被称为粘性底层，流动是层流状态，分子粘性对于动量、热量和质量输运起到决定作用。外区域成为完全湍流层，湍流起决定作用。在完全湍流与层流底层之间底区域为混合区域（Blending region），该区域内分子粘性与湍流都起着相当的作用。近壁区域划分见图4－1。 图4－1，边界层结构 第一节，壁面函数与近壁模型 近壁处理方法有两类：第一类是不求解层流底层和混合区，采用半经验公式（壁面函数）来求解层流底层与完全湍流之间的区域。采用壁面函数的方法可以避免改进模型就可以直接模拟壁面存在对湍流的影响。第二类是改进湍流模型，粘性影响的近壁区域，包括层流底层都可以求解。 对于多数高雷诺数流动问题，采用壁面函数的方法可以节约计算资源。这是因为在近壁区域，求解的变量变化梯度较大，改进模型的方法计算量比较大。由于可以减少计算量并具有一定的精度，壁面函数得到了比较多的应用。对于许多的工程实际流动问题，采用壁面函数处理近壁区域是很好的选择。 如果我们研究的问题是低雷诺数的流动问题，那么采用壁面函数方法处理近壁区域就不合适了，而且壁面函数处理的前提假设条件也不满足。这就需要一个合适的模型，可以一直求解到壁面。FLUENT提供了壁面函数和近壁模型两种方法，以便供用户根据自己的计算问题选择。 4.1.1壁面函数 FLUENT 提供的壁面函数包括:1，标准壁面函数；2，非平衡壁面函数两类。标准壁面函数是采用Launder and Spalding [L93]的近壁处理方法。该方法在很多工程实际流动中有较好的模拟效果。 4.1.1.1 标准壁面函数 根据平均速度壁面法则，有： **1 ln()U Ey k = 4－1 其中，1/41/2 * /p p w U C k U μτρ ≡ ，1/41/2 * p p C k y y μρμ≡，并且 k ＝0.42，是V on Karman 常数；E ＝9.81，是实验常数；p U 是P 点的流体平均速度；p k 是P 点的湍动能；p y 是P 点到壁面的距离；μ是流体的动力粘性系数。 通常，在*30~60y >区域，平均速度满足对数率分布。在FLUENT 程序中，这一条件改变为*11.225y >。 当网格出来*11.225y <的区域时候，FLUENT 中采用层流应力应变关系，即：**U y =。这里需要指出的是FLUENT 中采用针对平均速度和温度的壁面法则中，采用了*y ，而不是y +（/u y τρμ≡）。对于平衡湍流边界层流动问题，这两个量几乎相等。 根据雷诺相似，我们可以根据平均速度的对数分布，同样给出平均温度的类似分布。FLUENT 提供的平均温度壁面法则有两种：1，导热占据主要地位的热导子层的线性率分布；2，湍流影响超过导热影响的湍流区域的对数分布。 温度边界层中的热导子层厚度与动量边界层中的层流底层厚度通常都不相同，并且随流体介质种类变化而变化。例如，高普朗特数流体（油）的热导子层厚度比其粘性底层厚度小很多；对于低普朗特数的流体（液态金属）相反，热导子层厚度比粘性底层厚度大很多。 1/41/2 * ()w p p P T T c C k T q μρ-≡ '' 4－2 ＝()1/41/2 *2*1/41/222 1Pr Pr 21Pr ln()1Pr Pr Pr 2p p t p t p t c C k y U q Ey P k C k U U q μμρρ?+?''? ????++???? ??????+-??''?? ** **()()T T y y y y <> 4－3 无量纲参数 2 02 00Re L V L V L V μρμρ= = ) (/)(00003 000020T T C L V L V T T C V Ec w p w p - =-= ρρ 热传递中流体压缩性的影响，也就是推进功与对流热之比。00 0Pr K C p μ= 表示流体的物性的影响，表征温度场和速度场的相似程度。边界层特征厚度dy u u h e e ?- =0 * )1(ρρδ 边界层的存在而使自由流流线向外推移的距离。 θ δ* =H 能够反映速度剖面的形状，H 值越小， 剖面越饱满。动量积分方程：不可压流二维 f e w e e C u dx du u H dt d ==++2)2(ρτθθ /2 普朗特方程的导出，相似解的概念，布拉休斯解的主要结论 ?????????????+??+??-=??+??+????+??+??-=??+??+??=??+ ??)(1)(1022222222y v x v y p y v v x v u t v y u x u x p y u v x u u t u y v x u νρνρ 将方程无量纲化： ./,/,/,/*2***L tU t u p p U u u L x x ====ρ ν/Re UL =，Re /1*≈δ ,/,/,,**L L y U u v L y u v δδ=?==?= 分析：当Re 趋于很大时，**y p ??是大量，则**y p ??＝0，根据量纲分析，去掉小量化为有量纲形式则可得到普朗特边界层方程： ???? ?? ??? =????+??-=??+??+??=??+??01022y p y u x p y u v x u u t u y v x u υρ 相似解的概念：对不同x 截面上的速度剖面u(x,y)都可以通过调整速度u 和坐标y 的尺度因子,使他们重合在一起。外部势流速度Ue(x)作为u 的尺度因子，g(x)作为坐标y 的尺度因子。则无量纲坐标)(x g y ，无量纲速度)(x u u e ，则 对所有不同的x 截面其速度剖面的形状将会相 同。即= )(])(,[111x u x g y x u e ) (] ) (,[222x u x g y x u e 布拉修斯解（零攻角沿平板流动的解）的主要结论： x x Re 721.1* =δx x Re 664.0=θ 591.2/*==θδH 壁面切应力为： x y w U y u Re 1332.0)(2 0∞ ==??=ρμτ 壁面摩擦系数为：x w f u C Re 1664.022 ==∞ρτ 平均为：l l f Df dx C l C Re 1328.110? == 湍流的基本概念及主要特征，湍流脉动与分子随机运动之间的差别湍流是随机的，非定常的，三维的有旋流动，随机背后还存在拟序结构。特征：随机脉动耗散性，有涡性（大涡套小涡）。 湍流脉动：不断成长、分裂和消失的湍流微团；漩涡的裂变造成能量的传递；漩涡运动与边界条件有密切关系，漩涡的最小尺度必大于分子的自由程。分子随机运动：是稳定的个体；碰撞时发生能量交换；平均自由程λ与平均速度 和边界条件无关。层流稳定性的基本思想：在临界雷诺数以下时，流动本身使得流体质点在外力的作用下具有一定的稳定性，能抵抗微弱的扰动并使之消失，因而能保持层流；当雷诺数超过临界值后，流动无法保持稳定，只要存在微弱的扰动便会迅速发展，并逐渐过渡到湍流。平板边界层稳定性研究得到的主要结果：1.雷诺数达到临界雷诺数时流动开始不稳定，成为不稳定点，而转捩点则对应与更高的雷诺数。2.导致不稳定扰动最小波长 δ δλ65.17min ≈=*，可见不稳定波是一种 波长很长的扰动波，约为边界层厚度的6倍。3. 不稳定扰动波传播速度远小于边界层外部势流速度，其最大的扰动波传播速度 4.0/=∞U c r 。当雷诺数相当大时，中性稳定线的上下两股趋于水平轴。判别转捩的试验方法： 升华法（主要依据：湍流的剪切应力大小）热膜法（主要依据：层流和湍流边界层内 气流脉动和换热能力的差别）液晶法（主要依 据：湍流传热和层流传热能力之间的差异）湍流的两种统计理论：1. 湍流平均量的半经验分 析（做法：主要研究各个参数的平均量以及它们之间的相互关系，如平均速度，压力，附面层厚度等。2. 湍流相关函数的统计理论分析（做法；将流体视为连续介质，将各物理量如：流速，压力，温度等脉动值视为连续的随机函数， 并通过各脉动值的相关函数和谱函数来描述湍流结构。）耗散涡、含能涡的尺度耗散涡为小尺 度涡，它的尺度受粘性限制，但必大于分子自由行程。控制小尺度运动的参数包括单位质量的能量消耗量ε和运动粘性系数ν。因此，由 量纲分析，小涡各项尺度为：长度尺度 4/13)(ενη=时间尺度2/1)(εντ=速度尺度4/1)(νε=v 耗散雷诺数 1Re →=νη v d 可知：小尺度涡体的湍流 脉动是粘性主宰的耗散流动，因此这一尺度的 涡叫耗散涡。含能涡为大尺度涡，在各向同性湍流中，可以认为大尺度涡体由它所包含的湍动总能量k ，以及向小尺度传递的能量ε决定。 长度尺度ε2/3k l =时间尺度εk t =速度尺度k u =积分尺度雷诺数1Re →>>=ν ul d 可知在含能尺度范围 内，惯性主宰湍流运动，因此含能尺度范围又 称惯性区。均匀湍流：统计上任何湍流的性质与空间位置无关，或者说，任何湍动量的平均 值及它们的空间导数，在坐标做任何位移下不 变。特征：不论哪个区域，湍流的随机特性是相同的，理论上说，这种湍流在无界的流场中 才可能存在。各向同性湍流：任何统计平均量与方向无关，或者说，任何湍动量在各个方向 都一样，不存在任何特殊地位的方向。任何统计平均湍动量与参考坐标轴的位移、旋转和反 射无关。特征：各向同性湍流，必然是均匀湍 流，因为湍流的任何不均匀性都会带来特殊的方向性。在实际中，只存在局部各向同性湍流 和近似各向同性湍流。各向同性下，雷诺应力 由9个量减为3个量。 了解时均动能方程、湍动能方程中各项的物理意义和特点，及能量平衡时均动能方程： 流体微团内平均动能变化率；外力的作功；平均压 力梯度所作的功； 雷诺应力所作功的扩散；雷诺应力所作的变形功；时均流粘性应力所作功 的扩散；时均流动粘性的耗散，即粘性应力的 变形功。 湍动能方程： 英国留学奖学金最高的大学 奖学金是很多留学生都想拥有的，但是奖学金的名额是有限的，申请条件也是很严格的。英国大学对于奖学金的设置还是很慷慨的，今天就让索学网留学专家给大家解密英国留学奖学金最高的十所大学。 英国留学奖学金最高的十所大学： 1、伯明翰大学(Birmingham university ) 伯明翰大学是英国老牌名校之一，全球百强大学，英国名校联盟“罗素大学集团”和国际大学组织“Universitas 21”的创始成员，英国著名的6所“红砖大学”之一。留学专家说伯明翰大学以其优秀的教学质量与科研水平而在国际上享有较高声誉。英国首相内维尔·张伯伦和中国著名地质学家李四光等都是伯明翰大学的杰出校友。 2、中央兰开夏大学(university of central Lancashire) 中央兰开夏大学是一所英国百年学府，是英国第四大国立大学，曾被泰晤士报评为英国最现代化的大学，2013年获得泰晤士报高等教育奖和英国大学年度最佳科技创新奖。中央兰开夏大学的国际商务交流、传媒、时尚和法律等王牌专业在英国及欧洲享有一定声誉。 3、伯明翰城市大学(Birmingham city university) 伯明翰城市大学是英国最大的现代化，综合性高等学府之一，学校重视学生的社会实践能力，所开设课程具被极强的实践性和创新性，多项专业获得世界级领先水平，诸多专业被英国高等教育质量评估委员会(QAA) 评为优秀。留学老师说在2004年英国卫报大学综合排名中排名第39位。 4、波尔顿大学(university of Bolton) 波尔顿大学地处英格兰北部，近邻曼彻斯特和圣海伦斯。学院下属三个学院：艺术、科学和教育学院，波尔顿商学院，以及波尔顿技术学院。开设课程范围广泛，涉及艺术、教育、商业、科技等领域，其中以商业和计算机网络较为突出。 5、卡迪夫大学(Cardiff university) 卡迪夫大学是一所位于英国威尔士首府卡迪夫的顶尖大学。作为享誉全球的英国老牌名校，卡迪夫大学囊括了威尔士地区49%的科研经费，并拥有两位诺贝尔奖得主。留学老师说在最新的英国政府科研学术排名中，卡迪夫大学综合科研实力位列英国大学的前十名，其商学院更是欧洲最大的商学院之一。 壁面函数法的应用问题【转载】 转载声明：来自互联网，原地址已经不详，向原著者表示感谢 壁面函数法在湍流计算中经常使用，许多书和文章也写到了壁面函数法，但如何实现壁面 函数法？详细过程没有交待，需要编程者自己体会! 陶文铨老师的《数值传热学>>只介绍到Y+>11.6左右时如何计算，对于Y+<11.6时如何计 算只提到“在粘性支层中与壁面平行的速度与离开壁面的距离成线性关系”。另外。对于 采用了贴体坐标转换的壁面函数法处理起来更复杂，故请教! 壁面函数只在等雷诺应力层适用，即y+>11时，所以在划分网格时应当让第一个内节点满 足y+>11关系。 如果想计算粘性底层，可以采用两层模型，或低雷诺两方程模型！ 程序中直接用层流计算即可，但由于在此区域湍流模型有问题，所以网格太密不见得结果好。还是尽量取在旺盛湍流区。 要准确求解壁面处的流动，需要很细的网格，用壁面函数就是为了避开这一点 采用的近似处理。壁面函数在很多书和PAPER里都提到过，但不同模型和不同的人相差 很远，而且没有完整的步骤。 我在编程中用到高雷诺数两方程模型，碰到了壁面函数的问题： 1)由初始的速度U，按对数律计算U+； 2)由U+计算出Y+； 3)判断Y+>11.5，第一内点P位于旺盛湍流区，符合对数律，求P点U，K，E以及壁面W 点的U，K，E 4)若Y+<11.5，第一内点P位于粘性支层，按U+=Y+计算。 以上谈到的是规则域的壁面函数法处理，对于贴体坐标转换的壁面函数法处理起来更复杂，因为与壁面平行的速度才满足对数律。 最简单的办法是用对第一个节点的K,E直接赋值。 5)由U+，Y+计算ut(摩擦速度) 6)K=ut*ut/sqrt(0.09) 7)E=ut**3/y/0.42 Y+<11.5时是应该层流处理，一般来说，层流底层Y+<5同对数领域Y+>30时数学模型同实验吻合较好，但是过渡区5 去英国留学要注意什么 去英国留学要注意什么，什么时候去英国留学最佳，这个暑假和南京金阳光一起来了解一些英国留学的注意事项吧，作为热门的留学国家，英国制定了针对留学生的较为完善的打工政策。金融危机以来，英国移民局不断收紧移民留学政策，在留学生打工政策方面也作了一些调整。新政策规定，今年3月31日起，本科以下学生每周打工时间由20小时缩减到10个小时。 去英国留学要注意什么，英国留学和美国留学类似，下面是关于高中生留学前应具备的条件和注意事项： 一、高中留学生应具备何种素质和条件才可以到英国读书 1.去英国留学要注意什么，学生应具备很强的适应能力，走出国门，一定会经历一段“文化冲突期”或者“文化休克期”。特别对于高中生这样的低龄留学生，如调整得不好，学习效果可能尚不及在国内。 2.学生应具备开朗和勇于表现的性格，外国特别是西方国家校园环境都比较开放，鼓励学生敢于表现自己。因此过于孤僻、自我、内向的中国学生可能不适合西方教育。 3.去英国留学要注意什么，家庭经济条件是很好的经济基础。经济条件对于出国留学是个非常重要的因素。即使有奖学金，留学四年仍需一笔很大的花销。有些学生想靠打工维持生活，这是不现实的想法。想要有既轻松不影响学习又酬劳丰厚的工作更是不可能。所以计划出国留学，一定要作好充足的预算。 二、高中留学生家长应注意以下三点注意事项： 注意一：去英国留学要注意什么，既要尊重孩子的留学选择，但又不能完全顺从孩子的想法，更不能自作主张，包办代替。家长应在掌握大量留学信息的基础上，与孩子一起进行平等的沟通交流，了解孩子出国的真正动机，最好是能在出国留学的诸多问题上达成一致。普遍的情况是：一些家长以担心影响孩子学习为由，瞒着孩子来办理留学，如果不能达成双方共识，将会给孩子今后的留学生涯留下隐患。 注意二：去英国留学要注意什么，面对报纸上令人目不暇接的留学广告，家长们应保持清醒的头脑，南京金阳光强调首先应选择经国家教育部资格认定的合法留学机构办理留学，其次是应对各类留学信息作全面、客观的分析，不能以偏概全，道听途说，或使一些好的留学项目失之交臂，或认可了一些不可靠的留学项目，如认为俄语、韩语是小语种没有发展前途，国外的私立大学都没有公立大学好等等。 注意三：去英国留学要注意什么，家长们切不能盲目攀比，以留学的国家是否发达、留学的学校是否有名来达到心理上的平衡。殊不知没有最好的，只有最适合的留学项目，一切都应从家庭的经济情况，孩子的自主能力和学习成绩以及留学目的来作实际考虑。孩子的个人综合能力应是出国留学的最关键因素。一些家长往往以孩子高考分数的高低来作为出国留 Current Practice and Recent Developments in Wall Functions II (Advanced Approaches) Dr Hector Iacovides Department of Mechanical Aerospace and Manufacturing Engineering UMIST CONTENTS 1.Limitations of Conventional Wall Functions. 2.Refinements of the Conventional Wall Function. 3.Advanced wall functions. 3.1The Analytical Wall Function. 3.2The Numerical Wall Function. 4.Concluding Remarks. 1 1.Limitations of Conventional Wall Functions. The conventional wall functions introduced in the earlier lecture rely on the following assumptions: 1.Near-wall velocity obeys the log-law. 2.The total shear stress remain constant over the near-wall control volume. 3.Within the fully turbulent region of the near-wall control volume, the turbulent kinetic energy remains constant. 4.The dissipation rate is inversely proportional the wall distance over the inner region and constant across the viscous sub- layer. 5.In three-dimensional flows the velocity direction remains unchanged between the near-wall node and the wall. To appreciate how limiting these approximations are, it would be instructive to: 2 一个成功的湍流计算离不开好的网格。在许多的湍流中，空间的有效粘性系数不同，是平均动量和其它标量输运的主要决定因素。因此，如果需要有足够的精度，这就需要保证湍流量要比较精确求解。由于湍流与平均流动有较强的相互作用，因此求解湍流问题比求解层流时候更依赖网格。对于近壁网格而言，不同的近壁处理对网格要求也不同。下面对常见的几种近壁处理的网格要求做个说明。采用壁面函数时候的近壁网格：第一网格到壁面距离要在对数区内。对数区的y+ >30～60。FLUENT在y+ <时候采用层流（线性）准则，因此网格不必要太密，因为壁面函数在粘性底层更本不起作用。对数区与完全湍流的交界点随压力梯度和雷诺数变化。如果雷诺数增加，该点远离壁面。但在边界层里，必须有几个网格点。壁面函数处理时网格划分采用双层模型时近壁网格要求当采用双层模型时，网格衡量参数是y+ ，并非y* 。最理想的网格划分是需要第一网格在y+ ＝1位置。如果稍微大点，比如＝4～5，只要位于粘性底层内，都是可以接收的。理想的网格划分需要在粘性影响的区域内（Rey<200 ）至少有十个网格，以便可以计算粘性区域内的平均速度和湍流量。采用双层区模型时网格划分采用Spalart-Allmaras 模型时的近壁网格要求该模型属于低雷诺数模型。这就要求网格能满足求解粘性影响区域内的流动，引入了阻尼函数，用以削弱粘性底层的湍流粘性影响。因此，理想的近壁网格要求和采用双层模型时候的网格要求一致。采用大涡模拟的近壁网格要求对于大涡模拟，壁面条件采用了壁面法则，因此对近壁网格划分没有太多限制。但是，如果要得到比较好的结果，最好网格要细，最近网格距离壁面在 y+＝1的量级上。 for Hexa mesh, ==>Y+是第一层高度一半和 viscous length scale 的比值 for Tetra mesh==>Y+是第一层高度1/3和 viscous length scale 的比值 y+就是Yplus，它跟你在湍流模型里采用的近壁面函数选取有关，若Yplus为个位数，选增强型壁面函数，若在两位数以上，选标准或非平衡的壁面函数。 y+的意思是底层网格必须划分在对数率成立的区域内。 一般应使y+的值为15~300，但是y+是模拟完成后才知道的。 而且同一个模型不同地方不同流速y+不一样，所以不是很精确。如果模拟传热应注意y+对结果的影响。 英国大学留学条件 导读：本文是关于英国大学留学条件，如果觉得很不错，欢迎点评和分享！ 【篇一：英国医科专业申请条件】 英国医科专业的申请条件介绍 每所大学的医学院对自己的定位各不相同，大多数医学院则以培养临床医生为主要目标，实践教学一般占一半以上。因此建议申请者们在准备时，不仅仅关注该校或该学院录取学生的一般标准，还应更深入地了解每门课程的录取标凖，以免错过机会。 1、专业 本科课程包括下列学科的学位课程：护理学、助产学、手足病学、理疗、放射学、执业治疗或与卫生保健相关的其他职业。 学位课程包含理论与实践两个方面，一般学制为三年至四年，牙科和医学学位则要五年的实践。 2、入学 英国并没有像我国及美国那样有全国统一的医学院入学考试(MCAT)，只是高中毕业生们(包括外籍学生)均需通过UCAS(Universitiesand Colleges Admissions Service)向医学院申请入学，院方则根据学生的A-level(相当于我国的普通高中)成绩、推荐信、学业意向及面试表现来确定是否录取。 3、研究生课程 英国的医学、牙科、护理和所有与保健相关的职业都有完善的研究生学位课程供海外学生攻读。 其中护士专业的人才在欧美、澳洲等地奇缺，目前，护士在国外的薪水约为在中国的十几倍，对于想留学后留在国外的学生来说，护理专业无疑是一个很好的选择。 4、专科 实习合格者可向GMC申请limited registration(即practice medicine under supervision)作SHO(Senior House Officer，相当于我们的住院医师)，接受Basic Specialist Training，通常为3年，各专业长短不一。 完成规定年限的训练后，可向以RCP(Royal Collegeof Physicians)为代表的各专业皇家学会申请会员考试(即成为某一专科的主治医师)，如MRCP(Member of the Royal College of Physicians)，MRCS(Membership of the Royal College of Surgeons)等等。 通过者可以接受Higher Specialist Training(年限仍然长短不一)作SpR(Specialist Registrar)，pratise medicine without supervision。 再经过这一阶段的训练就可以成为Consultant(相当于主任医师)了，专科训练也就基本告以段落了，剩下的就是CME(Continuing Medical Education)了。 而在整个受训期间，也有人在中途重返医学院攻读 第三章 湍流模型 第一节 前言 湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类： 第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。即： 2 1 21 x u u u t ??=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有： ij i j j i t j i k x u x u u u δρμρ32 -??? ? ????+ ??=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。 第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。 第三类是大涡模拟。前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。 实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。 FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。 湍流模型种类示意图 Direct Numerical Simulation 包含更多 物理机理 每次迭代 计算量增加 提的模型选 RANS-based models 英国的研究生教育分为taught（授课型，包括MSc、MAcc等）和research （研究型，即MPhil）。一般而言，中国留学生申请的都是授课型研究生（我和彭定泉、孙睿都是），学制一年，学费较高，奖学金较少。研究型研究生侧重学术研究，申请时需要提交一份详细的研究计划，学制两年，奖学金较高，通常毕业后直接转为博士研究生。 申请英国学校的最早阶段应该是在本科阶段尽量提升自己：考试成绩要好（GPA绩点高），学生工作要经历，社团活动要参与。但是，申请英国学校时，成绩始终是硬实力，学生工作和社团活动只是软实力。有了硬实力，不需要软实力也能轻松申请名校；硬实力不足了，靠软实力也可能申请名校；完全没有硬实力，软实力帮忙也没用。另外，关于留学中介，我个人觉得作用不大。中介主要作用就是提供学校和专业的排名信息（自己可以在网上查），修改润色PS（自己英语好的话用不上），联系英国学校提交申请材料（自己上英国学校的网站就能完成），帮助准备资料办理签证（资料清单在英国使馆网站上有，非常清楚详细）。中介只能在PS环节包装申请者，不能改变申请者。如果想锻炼一下能力或者省钱，不找中介，自己申请英国学校不是难事。 申请英国学校大概有下面几个流程。 1.参加入门考试。入门考试包括语言考试和专业考试，最好在大四开学（9月） 前完成入门考试并取得较好成绩。英国学校的申请时间最早从9月开始，最晚截止于第二年5月。申请时间越早，名校的招生名额余额越多，要求相对宽松，申请成功率相对较高。语言考试方面，现在英国和美国都互相承认托福成绩和雅思成绩。但是，如果想申请英国顶尖学校的话，最好考雅思。不同学校、不同专业对语言成绩要求不同，具体的语言成绩要求需要在学校网页上查阅。一般而言，托福成绩上了100分（满分120分），除了牛津剑桥，英国的其他大学都能申请。专业考试方面，申请英国学校一般不需要考GRE （美国的研究生入学考试）,GMAT（美国的商科研究生入学考试），LSAT（美国的法学研究生入学考试）。但是，如果参加了这些考试并取得了优异成绩，对申请英国学校的相关专业非常有帮助。 2.准备个人陈述（Personal Statement，简称PS）和推荐信（Reference）。PS 非常重要，是展示自己、包装自己的重要手段。留学中介最大的作用就是帮 第五章离散选择模型 在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。 本章主要介绍以下内容： 1、为什么会有离散选择模型。 2、二元离散选择模型的表示。 3、线性概率模型估计的缺陷。 4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。 第一节模型的基础与对应的现象 一、问题的提出 在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。 1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。由离散数据建立的模型称为离散选择模型。 2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。这种类型的数据成为审查数据。再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置， 就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。 下面是几个离散数据的例子。 例5.1 研究家庭是否购买住房。由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即 我们希望研究买房的可能性，即概率(1) P Y=的大小。 例5.2 分析公司员工的跳槽行为。员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到员工是否跳槽，即 例5.3 对某项建议进行投票。建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可以观察到投票者的行为只有三种，即 研究投票者投什么票的可能性，即(),1,2,3 ==。 P Y j j 从上述被解释变量所取的离散数据看，如果变量只有两个选择，则建立的模型为二元离散选择模型，又称二元型响应模型；如果变量有多于二个的选择，则为多元选择模型。本章主要介绍二元离散选择模型。 离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。70-80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业选点、交通问题、就业问题、购买行为等经济决策领域的研究。模型的估计方法主要发展于20世纪80年代初期。（参见李子奈，高等计量经济学，清华大学出版社，2000年，第155页-第156页） 二、线性概率模型 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。流热仿真课后作业
英国留学申请表
第三章,湍流模型
英国留学如何申请
湍流流动的近壁处理详解
粘性流体力学一些概念
英国留学奖学金最高的大学
壁面函数法的应用问题【转载】
去英国留学要注意什么(同名9194)
壁面函数的研究
近壁面函数的简单理解
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第三章_湍流模型
不要中介,自己申请英国大学流程
第五章离散选择模型