高中奥林匹克数学竞赛 函数与方程

函数与方程

例1：填空

（1） 若二次函数)(x f y =满足()()x f x f -=+33且()0=x f 有实根21,x x ，则

________21=+x x 。

（2） 设函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，若当x ≤1时，12+=x y ，则

当1>x 时，y= 。

（3） 若函数432+-=x x y 与函数22a x y -=的图象有公共点，则a 的取值范围

是 。

（4） 已知函数a ax x y 62--=的图象与x 轴交于A 、B 两点，若线段AB 的长

不超过5，则a 的取值范围是 。

例2：方程()()0522=-+--a x a x 的两根都大于2，求实数a 的取值范围。 例3：已知关于x 的方程022

12=-++k kx kx 两个实根分别在（0，1）与（-1，0）之间，试求实数k 的取值范围。

例4：已知方程()0116322=++--m x m x 的两个实根绝对值之和为2，求实数m

的值。

例5：m 取何值时，关于x 的方程0cos sin 2=++m x x 有实数解？

例6：已知关于x 的方程()()()2lg 2lg 1lg 2+=--+a x x 有两个不相等的实根，求

a 的取值范围，并求出两根。

例7：已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点（-1，10），并且方程02=++c bx ax 的

两实根的平方和等于12，求a 、b 、c 的值。

例8：已知函数a ax x y 322++=的定义域为R ，求关于x 的方程

()0652|2|4=++--a a x 的解的范围。

例9：当0≤m ≤2时，求方程()0122=--+m mx x 的实根的取值范围。

例10：设}0

5202|{},31|{22?????≤+-≤+-=<<=bx x a x x x B x x A ，（a ，b ∈R ），如果B A ?，确定a 、b 的取值范围。

例11：设函数()()()()x x g x x f a a +=-=1log ,1log ，()10≠>a a 且若关于x 的方程

()()x a a k f x x g -=+-12只有一解，求k 的取值范围。

例12：就实数t 的变化，讨论关于x 的方程()10log 1lg lg 10

4log 1x x

t x -=-+的实根的个数。

练习： 1、 若二次方程02322=-+-k kx x 的两根都大于1，求k 的取值范围。

2、若关于x 的方程01222=+++a a x x 有实根，求实数a 的取值范围。

3、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点（-2，5），一元二次方程02=++c bx ax 的

两根之差是3，求抛物线c bx ax y ++=2。

4、若不等式()()02123222>+

+---x a x a a 对于任何实数x 都成立，求a 的取值范围。

5、已知βα,是方程()024122=-+-+m x m x 的两个实根，且βα<<2，求m 的

取值范围。

6、若方程0sin 2cos =-+a x x 有解，求a 的取值范围。

7、解关于x 的方程：()()x a x x 2lg 4lg lg +=-+，并讨论解的个数。

8、已知方程：()()x x x

b a 2122-+-=，()010>≠>b a a 且且有正实根，求b 的取值范围。