数学方法论期末考核
《数学方法论》期末考核作业
题目：构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。
对几种数学方法的简单探究
在数学的学习和研究中，我们往往有一些特殊的、通用的研究手段和解题方法，我们称之为数学思想方法。数学思想方法是一种重要的数学观念，是解题思维的导航器。我参加工作已经两年半了，在日常教学中，也经常会给学生渗透数学这门学科独特的思想方法。接下来，就最常用的几种数学思想方法进行简单探究。
一、数形结合思想
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合思想就是充分利用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。
数形结合在解决中学数学问题中占有极其重要的地位，在历年的高考中也十分注重对数形结合思想的考查。
数形结合主要体现在两个方面：
一是以形助数，即借助形的直观性来阐明数之间的联系。常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何。
二是以数助形，即借助数的精确性来阐明形的某些属性。常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化需要转化的意识，因此，数形结合的思想往往偏重于由“数”到“形”的转化。
例题1. 解不等式｜x-1｜+｜x-3｜≧3.
解：这是一个含绝对值的不等式，求解的时候需要去掉绝对值符号，但是，去掉绝对值符号时往往需要复杂的讨论，略显繁琐。我们可以将本题理解为“求数轴上到1和3两点距离之和大于或等于3的点的集合”。这样，就可以将不等式用数轴形象直观的表示出来，便于理解和计算。易得此不等式的解集为)∞+ ??? ?????∞，，2721-
例2：已知1≤x - y ≤2且2≤x + y ≤4,求 4x - 2y 的范围。
解此题可直接利用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。 在平面坐标系中作出直线 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,则 1≤x - y ≤2和2≤x + y ≤4表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图9
所示，令4x - 2y = m ,则y = 2x - 2m
，显然 m 为直线系4x - 2y = m 在y
轴上截距2倍的相反数,易看出,直线4 x - 2 y = m 过阴影最左边的点 A （21,23)
时, m 取最小值 5 ；过阴影最右边的点 C(3 ,1) 时, m 取最大值10。即 4 x - 2 y 的范围是[5，10]。
图9
该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
二、化归与转化思想
数学中的转化比比皆是，如未知向量已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向量平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未
知数向已知数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处体现，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.
例3 解分式方程：x x 332=-．
解: 方程两边同乘以)3(-x x ，得)3(32-=x x
解这个方程，得9=x ．
检验：将9=x 代入原方程，得左边==
31右边 所以，9=x 是原方程的根．
说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况.
例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.
已知：在ABC ?中，AC AB =,D 是BC 上任一点，AC DE ⊥交AC 于E ，AB DF ⊥交AB 于F ，AC BG ⊥交AC 于G .求证：BG DF DE =+.
分析：由题意如图24-所示，问题可转化为
ACD ABD ABC S S S ???+=，变得非常简单.
证明：连结AD ，则ACD ABD ABC S S S ???+=
即 DE AC DF AB BG AC ?+?=?212121 ∵AC AB =
∴ BG DF DE =+.
说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从已知条件出发，使未知条件与已知条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.
三、分类讨论思想 D B C
A
F
G E
图4-2
在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在若干个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般划为特殊的解决问题的方法，像这样的“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法。
分类讨论是一个难点，主要考察学生的逻辑思维能力，其体现在许多知识点里，如：求解函数，求解数列，解不等式，解方程，排列组合等。
例5 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。
例6、（2009年贵阳）已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为_____________.
简解：分类讨论：当4为直角边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。
当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为根号7
数学思想方法很多，本文中提到的数形结合思想、划归与转化思想、分类讨论思想是中学阶段最常见的、最基础的几种思想方法，这些思想方法渗透到了各个知识点和题型中。对于教师来说，要主动地通过概念以及例题来引导学生体会这些数学思想方法，并辅助以适当的练习，最终形成自己的数学思维。
数学方法论
1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。 2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称 3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。 4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律 5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题 6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾 7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法 8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式 数学问题在数学发展以及数学教育的意义 （一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。” 由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。 数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
初中数学教师学科专业素养“三级标准”试题
初中数学教师学科专业素养“三级标准”试题 一、选择题 1、强调学生用数学的眼光看问题，意思是说（d ） a. 去课外学习 b. 到车间、农村去学数学c．深刻地理解数学d．用数学知识去观察周围的实际情景 2、数学方法的产生是（ a ） a．伴随数学问题的解决而产生的b.一些人头脑里想出来的c.外国科学家研究出来的 d.做数学题中发现的 3、有学者认为，体验学习是一种以（a ）为中心的、从体验和反思中获得进步的学习方式。 a. 学习者 b.培训者 c.培训容 d.培训手段 4、下面的教学方式适合学生交流思想和感受的是（ b ）。 a.自主探究 b.对话教学 c.体验教学 d.接受学习 5、在对课程目标的认识中，正确的是（d ） a.知识与技能是有效教学成功与否的关键 b.情感态度价值观是有效教学成功与否的关键 c.能力是有效教学成功与否的关键 d.过程是有效教学成功与否的关键 6、教学中教师“包办代替”，会（ a ） a.剥夺了学生能力发展的权利 b.启发学生的思维 c.调动学生学习的积极性 d.有利于学生很好的掌握知识 二、填空题 1、1935年爱因斯坦在纽约州立大学的一次毕业典礼上，指出旧学校给学生太多的“好 2、在1983年问世的《数学方法论选讲》中，徐利治教授对“数学方法论”又给出了如下的定义：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中 值观转变为坚定的信念，进而在行动中体现出来。 问题，以增进教学主体间的理解，提升师生教学生活质量的过程。
进了学生的学习，相对有效地达到了预期教学效果的教学. 6、忽视知识生成发展过程，就是在课堂教学中，教师常常把较少的时间用于新知识 新知识的记忆、应用）。 三、简答题 1、请画出初中数学知识导航图。 2、1901年，英国工程师皇家理科学院教授j．培利主“关心一般民众的数学教育”，取消欧几里得《几何原本》的统治地位，提倡“实验几何”，重视实际测量、近似计算、运用坐标纸画图、尽早接触微积分。他归纳学习数学的“理由”有七条，请回答这七条理由。 3、简述研究数学方法论的意义和目的。 4、教学中可以在哪些过程实施体验教学？ 5、怎样确定体验教学目标？ 6、对话教学的表现形式有哪些？ 7、简述在教学设计中，教材的有效分析。8、简述在教学设计中，学情的有效分析。 9、简述在教学设计中，教学方法的解析。 四、论述题 1、结合自己的体会，谈东西方数学教育的平衡。 2、结合自己的实际，谈数学方法论的文化教育功能。 3、结合自身的实际，谈体验学习能速成吗？ 4、结合教学实际说明体验教学的必要性。 5、结合实际教学说明知识在对话中生成。 6、结合自身的实际，谈在教学程序设计中容成分的有效分析。 7、结合自身的实际，谈在教学程序设计中教学环节的解析。8、结合自身的实际，谈知识的形成和发展过程会带给学生什么？ 9、结合自身的实际，谈教学中的“包办代替”现象的具体体现及导致的后果。 参考答案 三、简答题 1、 2、（1）培养高尚的情操，唤起求知的喜悦。（2）以数学为工具学习物理学。 （3）为了考试合格。（4）给人们以运用自如的智力工具。 （5）认识独立思考的重要性，从权威的束缚下解放自己。（6）使应用科学家认识到数学原理是科学的基础。 （7）提供有魅力的逻辑力量，防止单纯从抽象的立场研究问题。
《数学方法论与解题研究》期末试题
For personal use only in study and research; not for commercial use 《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分） 1，数学研究主要的就是发现问题和问题。 2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。 3，化归是实现化归的关键。 4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。 5，爱因斯坦于1905年提出了。 6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。 7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。 9，解题“三步曲”是指观察、和转化。 10．应该反映原型，但又不等于原型。 二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×） 1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。 3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。 4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。 5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。
三，选择题（15分，每题3分） 1，求高次方程的近似解法较早出现在（） A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》 2已知f(x+1)=x2,f(x)=( ) A x+1 B x2-2x+1 C x2-x C x2+2x+1 3非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理 C 综合法 C 否定肯定式 4“万物皆数”的说法出自( ) A 欧拉 B 高斯 C 王阳明 D 毕达哥拉斯 5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( ) A 观念性 B 意识性 C 综合性 D 观念意识性 四.名词解释(10分,每题5分) 1.归纳法 2.公理化方法的含义 五.解题研究:(30分, 每题15分) ^ 值,并证明其结果. 1,研究cos 2n
数学方法论
chap1 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现，发明与创新等法则的一门学问。 chap2 1.数学问题的来源 （1）外部世界的需求 哥尼斯堡七桥问题 四色问题 （2）数学内部产生的问题 几何三大难题 高次代数方程可解性问题 哥德巴赫猜想
第五公设问题 2.波利亚的数学解题表， 怎样解题表： 理解题目，拟定方案，执行方案，检验回顾。 3.解题模式 双轨迹模式 笛卡儿模式，将所有的问题都转化为代数解方程递归模式 叠加模式
chap3合情推理 1.类比推理是根据两个对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其它属性也相同或相似的推理，它是由特殊到特殊的思维过程 举一例 作用: （1）数与式的类比 （2）类比在求解问题中也有着广泛的应用 （3）类比可用于猜测进行检验 2.归纳法 归纳是指通过对特殊的观察和综合去发现一般规律。它是由特殊到一般的推理形式 归纳法的类型及特点 完全归纳法，是研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。 特点：1.对科学作用不大 2.有助于问题的证明或解答 不完全归纳法，是通过对某类事物中部分对象的研究，概括关于该类事物的一般结论。 作用，1有助于数学发现 2归纳推理具有或然性
3.数学归纳法 数学归纳法不属于合情推理，为演绎推理。 合情推理:前提是真，结论不一定为真 数学归纳法，前提是真，结论一定为真 常见的形式 第一数学归纳法 第二数学归纳法 反向归纳法 二重归纳法 4.数学合情推理在数学教育中的意义 （即归纳，类比，观察，实验） chap4 数学中的典型方法，包括数学公理化方法，数学模型方法，数学结构方法，数学构造方法 1.所谓公理化方法就是尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公里，公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法 公理化方法的现实原型，欧几里得的《几何原本》 数学公理化方法的特点与基本问题 特点:公理系统是一个有序的整体 公理系统是纯粹的演绎系统 公理系统是形式化的 $希尔伯特公理体系（数学公理化方法的产生与发展）
11级数学方法论B答案
数学方法论 课程考 试查 试题册B 答案 试题使用对象 ： 数学与统计学院 2011 级 数学与应用数学 专业(本科) 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。 2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。 一、 填空题（本题共30 分，共10小题，每题各3 分） 1．在化归过程中应遵循的原则是 。简单化原则、熟悉化原则、和 谐化原则 2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时， 的一种思想方法。 由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 3． 即所谓“由因导果”的方法。 完全归纳法又分为 和类分法两种类型。穷举归纳法 4．《几何原本》所开创的 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。．公理化 5．类比法是指 的一种推理方法。由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 6．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者 ，并且进一步修正或否定此猜想。．寻找反例说明此猜想为假 7．化归方法包含的三个要素是： 。化归对象、化归目标、化归途径 8．已知n m ,是互不相等的实数，且使等式022 =+-m m ， 022 =+-n n 成立，则n m 1 1+= 。1/2 9．已知在ABC ?中，满足 ++B A 22s i n s i n B A A C C B C s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n 2 ++= 则ABC ?为 三角形。等边 10．设 05422 2 =++-+y x y x （x ，y 为实数），则x y 的值为 。2
数学方法论
数学方法论 1研究数学方法论的意义和目的 什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为对象的一门学问。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自已的方法论。 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。 数这是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起业还具有较高的抽象性特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学业教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。 由于数学领域的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法，所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然
辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辨证法。 我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。 从近代数发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾转绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还产生着不同程度的影响。 各个数学流派对数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点。因此，对于今日的数学工作者来说，无论为了掌握、运用或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映观点（即辩证法的反映观点）去考察问题和分析问题。 2宏观方法论与微观的方法论 数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉
方法论试题库(章节)
方法论试题库（章节） 第一章绪论 名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。 简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究 2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究 答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等 3。试举四种数学中的一般科学认识方法 答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等 4。试举四种数学中的特有的科学认识方法 答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等 论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。 答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。 2。数学方法论的数学功能。 一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用 3。论述数学思想方法形成和发展的规律：一。从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。 第二章化归 填空：1。化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。 名词解释：1。数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。 简答：1。化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。 2。化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。 3。请举出至少三个多维化归方法的例子。 答：变换法，反证法，MM方法
数学史和数学方法论
第一部分数学史 第一章数学的起源和远古数学文献 1.计数意识的起源。 数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。 2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。 著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。 埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的 发展是极为不利的。 埃及几何的突出成就：埃及几 何的突出成就是金字塔数学。古埃 及人留下来的数学文献极少，但现 存的活文献——金字塔，却给现代 人留下了许多数学之谜。多少年 来，许多学者对埃及金字塔都进行 了实地考察，对于建于公元前3000 年至公元前2000年的古建筑提出 了不少难解之谜，尤其围绕着最大 的金字塔——胡夫金字塔（建于约 前26世纪）提出了下面这些不可 思议的问题：（1）塔底每边长 232m，误差小于20cm，塔高 146.5m，东南西北角误差仅为 1.27cm，直角误差仅为12”，方位 误差在2’~5’之间，这样的精确 度就是现代建筑也望尘莫及。（2） 用来砌塔的石块达230万块之多， 重量从2.5吨到50吨不等，石块间 的接缝之小连铅笔刀也难以插入。 （3）塔高的10亿倍恰巧等于地球 到太阳的距离，而塔底与塔高的2 倍之比近似等于3.1416，这是公元 3世纪时人们才得到的圆周率的最 高精度。（4）穿过塔的子午线恰 好把地球上的陆地与海洋分为两 半，而塔的重心正好落在引力中心 线上。它充分体现了古埃及人精确 的几何测量技术和高超的建筑技 术。 3.巴比伦数制和解二次方程 的方法。普林顿322号泥板书的数 学意义。 巴比伦数制：巴比伦人采用 60进位制记数法，采用了位置值 制，其记数法主要用加法原则并辅 之以乘法原则，高位数写在低位数 之左。但是由于巴比伦的位值制没 有零的记号，所以巴比伦的位值制 记数法并不完善，它所表示的数需 根据上、下文才能确定。巴比伦人 经常使用分数，且其分母总是常数 60，巴比伦人把分数当作“整体” 看待而并不看做一的几分之几。由 此可见，巴比伦记数并不属于严格 的位值制记数法。 解二次方程的方法：巴比伦数 他 们用特殊的方法能够解出一些一 次、二次甚至三次、四次方程。例 如：问题——求一个数，使它与其 倒数之和等于给定的数。用现代记 号表示即相当于： 。 这实际上是相当于解x2－bx ＋1＝0这样的一元二次方程。对于 这个二次方程，巴比伦人给出的答 案是： 普林顿322号泥板书的数学 意义：关于巴比伦数学，很令人感 兴趣的是“普林顿322号”泥板书 即1923年由收藏家普林顿收藏、 现存于哥伦比亚大学珍本图书馆 的第322号收藏品。该品有4列数 字，共15行，其数字皆为楔形文 字，跟普通的账单一样。认真研究 就会发现：两列中的对应数字（除 4个例外）构成一边长为整数的直 角三角形的斜边和一个直角边。现 在人们把（3，4，5）这样一组能 作为直角三角形的边的正整数称 为毕氏三数。从中可以看到巴比伦 的数学成果是十分丰富的。 第二章希腊数学的兴起和 发展 1.泰勒斯发现的数学定理和初 创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉 图学派的主要数学成就。 泰勒斯（约公元前624~前547 年）是希腊数学史上第一个著名数 学家，在历史上享有“希腊科学之 父”美称，被誉为“希腊七贤之一”， 比我国孔子还早100年。他创立了 爱奥尼亚学派。他发现的数学定 理：（1 分；（2）等腰三角形的两底角相 等；（3）两直线相交时，对顶角 相等；（4）若已知三角形的一边 和两邻角，则此三角形完全确定； （5）半圆周角是直角。他初创的 证明：他关于“等腰三角形底角相 等”的证明是这样进行的：如图所 示，α=β，γ=δ（同一弓形的角）， α—γ=β—δ（等量减等量差相 等），则∠OAB=∠OBA。尽管当 时人们对于角的概念还不完善，但 这一证明并不失为早起数学证明 的典范。世界演绎几何正是从这里 开始的。 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯 学派亦称“南意大利学派”，是一个 集政治、学术、宗教三位于一体的 组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所 创立。产生于公元前6世纪末，公 元前5世纪被迫解散，其成员大多 是数学家、天文学家、音乐家。它 是西方美学史上最早探讨美的本 质的学派。毕达哥拉斯学派以“万 物皆数”， 事物的性质是由某种数量关系 决定的，万物按照一定的数量比 例而构成和谐的秩序；据说毕达 哥拉斯学派最早发现了所谓“黄 金分割”规律，而获得关于比例 的形式美的规律。毕达哥拉斯学 派的美学观点是客观唯心主义 的，对柏拉图、新柏拉图主义及 文艺复兴时期的 名的“勾股定理”，据说，毕达哥 拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了 一百头牛，也正是由于勾股定理 的发现，导致无理数的发现，由 此产生了第一次数学危机。 柏拉图学派的主要数学成就。 柏拉图学派的代表人物是 柏拉图（约前427年－前347年）， 他年轻时曾跟随希腊哲学家苏 格拉底学习哲学，受到逻辑思想 影响，尔后成为雅典举世瞩目的 大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯 学派吸收了许多数学观点，并运 用到自己的学说中，古希腊伟大 的哲学家，也是全部西方哲学乃至 整个西方文化最伟大的哲学家和 思想家之一，他和老师苏格拉底， 学生亚里士多德并称为古希腊三 大哲学家。他认为“数学是一切知 识中的最高形式”。公元前387年， 他在雅典城郊创办学园，世人称之 为柏拉图学园。该学园活动时间长 达900年，一直到公元529年学园 被封闭为止。柏拉图在数学的理想 思维上有重要贡献，他认为数学真 理只有通过概念思维才能被发现。 他坚持准确定义、清楚假设和逻辑 证明，并首先提出了系统的演绎推 理法则。柏拉图学派还发现了圆锥 曲线。 2.芝诺悖论，毕达哥拉斯—— 柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德 的数学哲学。 芝诺悖论是古希腊数学家 芝诺提系 不可分性的哲学悖论。这些悖论 《物 理学》一书中而为后人所知。芝 诺提出这些悖论是为了支持他 老师巴门尼德关于“存在”不动、 是一的学说。这些悖论中最著名 的两个是：“阿基里斯跑不过乌 龟”和“飞矢不动”。这些方法现 解释，但还是无法用微积分解 决，因为微积分原理存在的前提 是存在广延（如，有广延的线段 经过无限分割，还是由有广延的 线段组成，而不是由无广延的点 组成。），而芝诺悖论中既承认广 延，又强调无广延的点。这些悖 论之所以难以解决，是因为它集 中强调后来笛卡尔和伽桑迪为 代表的的机械论的分歧点。这些 1/0=无 穷。
数学方法论模拟试卷
第1页，共6页 第2页，共6页 任课教师签名： 命题教师签名： 系主任签名： 主管院长签名： A. 函数的本质是变量间的对应 B. 解析表达式就是函数 C. 函数是两个非空数集间的映射 D. 函数y=2与y=2x 0是同一函数 9．数学中存在的有[ ] A. 黄金椭圆 B. 欧拉三角形 C. 黄金四边形 D. 黄金曲线 10．整数分为奇数、偶数，还可分为质数、合数、0和1。这是[ ] A. 一次划分 B. 复分 C. 二分法 D. 连续划分 11．正方形概念与菱形概念是[ ] A. 交叉关系 B. 从属关系 C. 矛盾关系 D. 对立关系 12．与圆命名有关的名人有[ ] A.拿破仑 B. 赵爽 C. 柯西 D. 牛顿 13．欧拉圆又称为 [ ] A. 九点圆 B.庞加莱圆 C. 黎曼圆 D.都不是 14．属于“因果归纳法”的有( )。 A ． 求同法 B ．数学归纳法 C ． 枚举归纳法 D ．联想法 15．截立方体得到的多边形有( )种。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 16．与耐普尔共享发明对数的数学家有( ) A ．笛卡尔 B ．泰勒 C ．别尔基 D ．开普勒 17．“数学来源于逻辑”的观点来自于[ ] A. 罗素 B. 布劳威尔 C. 希尔伯特 D. 布尔巴基 18． “或”是[ ] 逻辑联结词 A. 合取式的 B. 析取式的 C. 等价式的 D. 都不是 19．联结判断与判断的是[ ] A. 判断 B. 推理 C. 证明 D. 都不是 20．与集中思维一致的是 [ ] A. 求异思维 B. 辐合思维 C. 发散思维 D. 幅射思维
数学方法论必做作业
数学方法论第二章作业 ：学号： 设x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，且x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0,求证：n是4的倍数。 证明： ∵x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0 ① 由于x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，根据正负抵消规律，n必为偶数。 设n=2k,k∈N+，方程①可变形为： ∵x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1= （1+1+…+1）（k个）+（-1-1-…-1）（k个）=0 ② ∴（x1x2）（x2x3）……（x n-1x n）（x n x1）=1k（-1)k =(x1x2……x n)2=1 从而k必为偶数，设k=2m,m∈N+，易得n=4m，m属于N+得证n是4的倍数。 数学方法论第五章作业 ：学号： 5.何谓计算证明法，有哪些具体的计算证明方法，它们又各是如何进行应用的，并应注意什么问题？
答：把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法,该方法一般思路单纯(即使算式紧杂但难度降低),较易著手,且能对免添加过多的辅助线。 1、代数法 代数法一一用代数知识来研究或证明几何问题的方法,该方法常用于涉及度关系的几何问题,主要用代数上的恒等变形方程知识。 教材上对于该方法的两个例题中,例5.1较简单。 2、三角法 三角法一用三角加识来研究或证明几何或代数间题的方法,该方法主要用三角函数、三角换元法、三角恒等变换,解三角方程、证明三角不等式等方面的知识。 3、坐标法 坐标法一一通过建立坐标系,用解析几何的知识证明几何问题的方法。 此法使用时注意选取坐标轴和原点尽量为已知元素(减少辅助线),尽量减少参数(可取单位1),以便点坐标或曲线方程表达简单、运算方便。 4、复数法 复数法一一用复数知识解答其他数学问题的方法。 5、向量法 向量法一一将几何问题转化为向量计算问题的方法,该方法对于几何中的平行、垂直、线共点、点共线等问题往往更有效。
数学方法论习题及答案
综合作业 本卷共分为2大题40小题，总分100 分。本卷得分:100 1[论述题,2.5分]什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。 终止|结果|有限性 2[论述题,2.5分]变量数学产生的意义是什么？ 工具|发展|辩证法 3[论述题,2.5分]《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？ 明显的|定理|逻辑 4[论述题,2.5分]简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。 思想方法|数学知识|目的 5[论述题,2.5分]常量数学应用的局限性是什么？ 问题|运动|数量 6[论述题,2.5分]什么是类比猜想？并举一个例子说明。
属性|判断|对应 7[论述题,2.5分]简述计算机在数学方面的三种新用途。 应用|数学化|发展 8[论述题,2.5分]数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。 掌握|形成|结合 9[论述题,2.5分]简述化归方法的和谐化原则 统一|结构特征|总体思路 10[论述题,2.5分]简述化归方法在数学教学中的应用 新知识|指导解题|知识结构 11[论述题,2.5分]什么是归纳猜想？并举一个例子说明。 归纳|推测性|猜想 12[论述题,2.5分]简述特殊化方法在数学教学中的应用。 特殊值|特殊化|特例检验 13[论述题,2.5分]为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ 逻辑规则|应用问题|演绎体系 14[论述题,2.5分]简述培养数学猜想能力的途径。
新知识|数学规律|解题思路 15[论述题,2.5分]我国数学教育存在哪些问题？ 重结果|重模仿|负担过重 16[论述题,2.5分]简述概括与抽象的关系。 不同|密切|联系 17[论述题,2.5分]简述数学抽象的特征。 无物质性|层次性|直觉 18[论述题,2.5分]在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？ 教学目标|过程|工作 19[论述题,2.5分]简述代数解题方法的基本思想。 代数式|方程|未知数 20[论述题,2.5分]为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？ 数学模型|应用|方程 21[填空题,2.5分]分类必须遵循的原则是（），无遗漏，标准同一。
《数学方法论》数学中使用的一般科学方法
第一章数学中使用的一般科学方法（共10学时） [教学目的和要求] 要求学生通过本章的学习，掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。 [教学内容] 第一节观察与实验（2学时） 1．观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法 2．观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 第二节比较与分类（2学时） 1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法 2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 第三节归纳与类比（4学时） 1. 归纳与类比是提出数学猜想的主要方法 2. 归纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用 习题课（2学时） 通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 [教学重点] 观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 [教学难点] 根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。 [教学建议] 本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 ［教学过程］ 在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。 综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。而包括20世纪最伟大的数学家冯··诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。”（引自《数学家谈数学本质》） 菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学
《数学方法论与解题研究》期末试题
《数学方法论与解题研究》期末试题 一、填空题（20分，每题2分） 1，数学研究主要的就是发现问题和问题。 2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。 3，化归是实现化归的关键。 4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。 5，爱因斯坦于1905年提出了。 6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。 7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。 8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。 9，解题“三步曲”是指观察、和转化。 10．应该反映原型，但又不等于原型。 二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×） 1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。 2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。 3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。 4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。 5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。三，选择题（15分，每题3分） 1，求高次方程的近似解法较早出现在（） A，《数书九章》B，《几何原本》 C，《九章算术》D，《怎样解题》
2已知f(x+1)=x2,f(x)=( ) A x+1 B x2-2x+1 C x2-x C x2+2x+1 3非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理 C 综合法 C 否定肯定式 4“万物皆数”的说法出自( ) A 欧拉 B 高斯 C 王阳明 D 毕达哥拉斯 5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( ) A 观念性 B 意识性 C 综合性 D 观念意识性 四.名词解释(10分,每题5分) 1.归纳法 2.公理化方法的含义 五.解题研究:(30分, 每题15分) ^ 值,并证明其结果. 1,研究cos 2n
数学思想方法论测试题
数学思想方法论测试题 1 【单选题】桂林电子科技大学最早在（）年开始《数学思想方法论》课程?A、1998 ?B、2000 ?C、2005 ?D、2008 我的答案：A 得分：14.3分 2 【单选题】导弹防御系统使用的空间为（） ?A、一维空间 ?B、二维空间 ?C、三维空间 ?D、四维空间 我的答案：C 得分：0.0分 3 【单选题】国际象棋是由（）发明创造的 ?A、阿拉伯人 ?B、印度人 ?C、英国人 ?D、法国人 我的答案：A 得分：0.0分 4 【判断题】现代科学技术发展的两大特点是科学技术的数学化、数学向一切学科渗透
我的答案：√得分：14.3分 5 【判断题】导弹防御系统使用的空间为四维空间√ 我的答案：×得分：0.0分 6 【判断题】导弹防御系统使用的空间为三维空间× 我的答案：√得分：0.0分 7 【判断题】国际象棋是由英国人发明创造的 我的答案：×得分：14.3分 1 【单选题】将数学的发展史分为四个时期，即：数学形成与早期发展时期、常量数学时期、变量数学时期和（） ?A、萌芽时期 ?B、酝酿时期 ?C、近代数学时期 ?D、现代数学时期 我的答案：D 得分：14.3分 2 【单选题】数的记号0，1，2，3，…，9是由（）发明的 ?A、阿拉伯 ?B、中国 ?C、意大利 ?D、印度 我的答案：A 得分：0.0分 3
【单选题】常量（初等）数学时期主要研究的四大数学学科为：（）、代数、几何、三角 ?A、通分 ?B、算数 ?C、因式分解 ?D、约分 我的答案：B 得分：14.3分 4 【判断题】今日发现的古希腊数学著作主要来源于拜占庭的希腊文手抄本 我的答案：√得分：14.3分 5 【判断题】数学形成与早期发展时期的代表性地区和国家和地区有巴比伦和古埃及√ 我的答案：×得分：0.0分 6 【判断题】笛卡尔的《几何学》标志了《解析几何》这门学科的诞生 我的答案：√得分：14.3分 7 【判断题】笛卡尔的《几何学》标志了《微积分》这门学科的诞生 我的答案：×得分：14.3分 1 【单选题】历史上最多产的数学家是（） ?A、柯西 ?B、牛顿 ?C、欧拉 ?D、莱布尼兹
数学方法论
数学方法论 李逸周 《陶哲轩教你学数学》 一、解题策略 首先以下题为例讲解解题策略: Q1.三角形三边长是公差为d的等差数列，面积t，求边长和角度。 1.理解问题 类型：①证明、推算型②求值型 给定信息相近答案 or 修改要求 推导、计算调整逼近 值正确答案原要求 ③是否存在型：举反例 2.理解已知信息 3.理解所求目标 4.选择恰当符号 5.表达画图 6.“修改”问题 7.简化、充分利用所给信息 对于Q1，将在理解问题、已知信息和所求目标的基础上，选择恰当的符号将已知条件和所求目标表达出来，并画图。
我们会想到利用一下几种方式求解： 正弦定理 余弦定理 三角形面积公式 海伦公式：t 2=s (s ?a )(s ?b )(s ?c) ,(s 为半周长） 经分析可知可以利用海伦公式解答Q1。 二、数论 同余：a ≡b (mod n ) ? n|a ?b (一）位数 1.“有限”类型 Q1证：在任意18个连续三位数中，至少存在一个整数，可以被他的位数和整除。 在解这道题之前有必要储备这样一个知识点：n 是9的倍数是n 的各位数字之和是9的倍数的充要条件。 接着我们来证明上面的这道题。 证明：设三位数abc =100a +10b +c α β γ b -d b +d b
(题目被转化为证明：a+b+c|abc,并且增加条件：这个整数是9的倍数且是18的倍数） ∵9|abc ∴9|a+b+c ∵1≤a+b+c≤27 ∴a+b+c=9,18,27 ∵a+b+c=9或18 ∴a+b+c|18 ∴18|abc ∴a+b+c|abc 得证。 2.“重排”问题 Q2是否存在一个2的幂，其位数重新排列之后成为另一个2的幂（首位不为0）。 分析：要解这道需要有这样一个知识储备：任意整数总是与其位数和模9相等。 我们列出部分2的幂及其位数和、模9的结果进行观察 可猜测并证明2n+6=2n26=2n64与2n模9相同，因此找不到符
数学方法论必做作业
数学方法论第二章作业 姓名：学号： 设x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，且x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0,求证：n是4的倍数。 证明： ∵x1x2+x2x3+……x n-1x n+x n x1=0 ① 由于x1，x2……，x n∈｛＋1，﹣1｝，根据正负抵消规律，n 必为偶数。 设n=2k,k∈N+，方程①可变形为： ∵x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1= （1+1+…+1）（k个）+（-1-1-…-1）（k个）=0 ② ∴（x1x2）（x2x3）……（x n-1x n）（x n x1）=1k（-1)k =(x1x2……x n)2=1 从而k必为偶数，设k=2m,m∈N+，易得n=4m，m属于N+得证n是4的倍数。 数学方法论第五章作业 姓名：学号： 5.何谓计算证明法，有哪些具体的计算证明方法，它们又各是如何进行应用的，并应注意什么问题？
答：把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法,该方法一般思路单纯(即使算式紧杂但难度降低),较易著手,且能对免添加过多的辅助线。 1、代数法 代数法一一用代数知识来研究或证明几何问题的方法,该方法常用于涉及度关系的几何问题,主要用代数上的恒等变形方程知识。 教材上对于该方法的两个例题中,例5.1较简单。 2、三角法 三角法一用三角加识来研究或证明几何或代数间题的方法,该方法主要用三角函数、三角换元法、三角恒等变换,解三角方程、证明三角不等式等方面的知识。 3、坐标法 坐标法一一通过建立坐标系,用解析几何的知识证明几何问题的方法。 此法使用时注意选取坐标轴和原点尽量为已知元素(减少辅助线),尽量减少参数(可取单位1),以便点坐标或曲线方程表达简单、运算方便。 4、复数法 复数法一一用复数知识解答其他数学问题的方法。 5、向量法 向量法一一将几何问题转化为向量计算问题的方法,该方法对于几何中的平行、垂直、线共点、点共线等问题往往更有效。
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（关于“方差”的理解） 摘要：本文主要讲述概率统计中的方差以及其意义和方差在人们生活中的应用，同时还会介绍方差分析法，让大家更详细的了解方差，增加同学们对数学学习的兴趣。 关键词方差协方差方差分析法 1.方差简介 方差的定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X 的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，由方差定义的数学表达式可以看出，方差实际上是随机变量X与它的平均值E(X)离差平方的期望值，它的大小自然可以衡量随机变量的稳定状态，所以方差反映了随机变量的变异特征。对于一个随机变量来讲，方差D(X)是一个稳定常数，不再是随机的了。 由随机变量函数的数学期望计算公式可得: (1)若X为离散型随机变量，且X的概率分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则D(X)= E(X-E(X))2 (2)若X为连续型随机变量,X~ f (x),则D(X)= E(X-E(X))2 方差的性质： (1)如果C是一个常数，则D(X)； (2)如果C是一个常数，则D(X+C)=D(X)； (3)如果a是一个常数，则D(aX+C)=a^2D(X)； (4)设X与Y相互独立，则D(X+-Y)=D(X)+D(Y)； (5)设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；若X 的取值比较分散，则方差D(X)较大。因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。下面是一些概率统计中常见的随机变量的期望和方差随机变量X。【1】 X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p) X服从泊松分布，即X~ π(λ),则E(X)= λ，D(X)= λ X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12 X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2) X 服从正态分布，即X~N(μ，σ^2), 则E(x)=μ，D(X)=σ^2 X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1 2方差的应用 随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的十分重要的指标。例如某地区地震仪上描出的曲线如果起伏很大，这说明该地区地下活动异常，是地震的预兆；某天股市中股票价格出现异常波动，这就预示着社会经济将有重大事件发生；一台仪器在测量某一元件的某