高中数学立体几何证明
题汇总
公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
N
M
P C
B
A
立体几何常考证明题
1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点
(1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若BD=23,AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE;
(2)平面CDE ⊥平面ABC 。
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。
4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC .
5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.
求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1
AC ⊥面11AB D . 6、正方体''''ABCD A B C D -中,求证:(1)
''AC B D DB ⊥平面;(2)''BD ACB ⊥平面.
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ;
(2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD .
8、四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点,且2
2EF AC =, 90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD
9、如图P 是ABC ?所在平面外一点,,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N 是AB
上的点,3AN NB = (1)求证:MN AB ⊥;(2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的长。
别是
10、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 分
AB 、AD 、11C D 的中点.求证:平面1D EF ∥平面BDG .
A
E D
C
B
D
C B
A A
H G
F
E D C
B A E
D
B
C
S
D
C
B A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
A
A B
B C 1
D 1
D G
E F
11、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点. (1)求证:1//A C 平面BDE ; (2)求证:平面1A AC ⊥平面BDE .
12、已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,
4PA AD ==,E 为BC 的中点.
(1)求证:DE ⊥平面PAE ;(2)求直线DP 与平面PAE 所成的角.
13、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 的中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD PB ⊥;
(3)求二面角A BC P --的大小.
14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC
交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD .
15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD ,
作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 16、证明:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D
17、如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC ⊥平面
BSC .
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用: ① 用来验证直线在平面内; ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) 符号语言:P l P l α βαβ∈?=∈且 ! 作用:① 用来证明两个平面是相交关系; ② 用来证明多点共线,多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号语言:,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 符号语言:A a A a a αα??∈?有且只有一个平面,使, 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 符号语言:a b P a b ααα?=???有且只有一个平面,使, ) 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 符号语言://a b a b ααα???有且只有一个平面,使, 公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。
符号语言://////a b a c c b ???? 图形语言: 作用:用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。(1) 符号语言://////a b a c c b ???? 图形语言: 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。(2) 符号语言: ////a b a a b ααα???????? 图形语言: 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。(3) 符号语言:////a b a a b βαβα??????=? 图形语言: 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(4) 符号语言://(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言: ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。(5) 符号语言:,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言:
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的,在必修2中,先从对空间几何体的整体认识入手,主通过直观感知、操作确认,获得空间几何体的性质,此后,在空间几何体的点、直线和平面的学习中,充分利用对模型的观察,发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质,从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中,首先引入空间向量,在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础,在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识,要求发展学生的空间想像能力,几何直观能力,而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中,以长方体为模型,通过说理(归纳出判定定理,不证明)或简单推理进行论证(归纳并论证明性质定理), 在“空间向量与立体几何”的学习中,又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合,完善了空间几何推理论证的理论基础,并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中,把空间想像能力,逻辑推理能力,适当分开,有所侧重地、分阶段地进行培养,这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力,同时降低学习立体几何的门槛,同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点: 空间几何体的结构特征:柱、锥、台、球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:几何体的三视图和直观图的画法; 空间几何体的表面积与体积:了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式; 空间点、直线、平面的位置关系:空间直线、平面的位置关系; 直线、平面平行的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳; 直线、平面垂直的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳. 2.难点: 空间几何体结构特征的概括:柱、锥、台球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:识别三视图所表示的几何体; 空间点、直线、平面的位置关系:三种语言的转化; 直线、平面平行的判定及其性质:性质定理的证明; 直线、平面垂直的判定及其性质:性质定理的证明.
立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有:_________,_________,_________三种。 2.(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1:如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理:垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二.知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线l与平面 互相垂直,记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线,而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m,l⊥n,m∩n=B,m?α,n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释:定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条直线” 不同(线线垂直线面垂直) 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面,那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
必修二立体几何常考证明题 一.证明线线平行,线面平行,面面平行 1.利用三角形中位线 2. 利用平行四边形 考点1:线面平行的判定(利用三角形中位线) 例1:如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面 BDE 。 考点2:线面平行的判定(利用平行四边形) 例2:已知正方体111 1 ABCD A BC D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ; 练习: 1、如图,在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中,⊥PA 面ABCD ,E 、F 为别为PD 、 AB 的中点,求证:直线AE ∥平面PFC A E D 1 C B 1 D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
2正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为8,侧棱长为6,D 为AC 中点。 (1)求证:直线AB 1∥平面C 1DB ; 3、 如图,已知ABCD PA 矩形 所在平面,N M 、分别为PC AB 、的中点; (Ⅰ)求证:PAD MN 平面//; 4、如图,在三棱锥D-ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB ⊥平面BCD ,AB=BC=a ,E 为 BC 的中点,F 在棱AC 上,且AF=3FC . (1)求三棱锥D-ABC 的表面积;(2)求证AC ⊥平面DEF ; (3)若M 为BD 的中点,问AC 上是否存在一点N ,使MN ∥平面DEF ?若存在,说明点N 的位置;若不存在,试说明理由. A 1 C 1 C B A B 1
考点3:面面平行的判定 例7:如图,在正方体111 1 ABCD A BC D 中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1 1 C D 的中点. 求证:平面1D EF ∥平面BDG . 5、棱长为a 的正方体AC 1中,设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点. (1)求证:E 、F 、B 、D 四点共面; (2)求证:面AMN ∥面EFBD .
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲:立体几何 1、(2010一试7)正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等,P 是1CC 的中点,二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =,则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==,所以cos m n m n α?=? ,即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二:如图,PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中,OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、(2011一试6)在四面体ABCD 中,已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ,设CD 与平面ABD 所成角为θ,可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ. 在△DMN 中,332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM .学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN , 故2=MN .四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD .故球O 的半径3=R . 3、(2012一试5)设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球.若正三棱锥P ABC -的
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是必考查的问题,其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离,求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”,即在添置必要的辅助线或辅助面后,通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量,最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现,这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力,也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有:(1)探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么?(2)探索结论,即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法:(1)先观察,尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索,常从条件出发,再根据所学知识,探索出要求的结论是什么,另外还有探索结论是否存在,常假设结论存在,再寻找与条件相容还是矛盾。 (一)平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化:
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线
与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1
A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
重点高中立体几何证明平行的专题
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2
3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明 【例1】如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1 +3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC 。 (Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证: (Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA E F B A C D P (第1
4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥平面EFG 。 分析:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE 【例7】如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点. 求证:AB 1//面BDC 1; 分析:连B 1C 交BC 1于点E ,易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,' h 为斜高,l 为母线) ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343 R π ; S 球面=24R π
立体证明题(2) 1.如图,直二面角D﹣AB﹣E中,四边形ABCD是正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥ 平面ACE. (1)求证:AE⊥平面BCE; (2)求二面角B﹣AC﹣E的余弦值. 2.等腰△ABC中,AC=BC=,AB=2,E、F分别为AC、BC的中点,将△EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥P﹣ABFE,且AP=BP=. (1)求证:平面EFP⊥平面ABFE; (2)求二面角B﹣AP﹣E的大小.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且 PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面PAD; (Ⅱ)求证:EF⊥平面PDC. 4.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°. (1)求证:AB⊥CD; (2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值. 5.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD 是平行四边形,∠ADC=120°,AB=2AD. (1)求证:平面PAD⊥平面PBD; (2)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
6.如图,在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=CB=CC 1=2,E 是AB 中点. (Ⅰ)求证:AB 1⊥平面A 1CE ; (Ⅱ)求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值. 7.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,∠DAB 为直角,AB ∥CD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点. (Ⅰ)证明:AB ⊥平面BEF ; (Ⅱ)若PA= ,求二面角E ﹣BD ﹣C . 8.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB=AD=2,四边形ABCD 满足AB ⊥AD ,BC ∥AD 且BC=4,点M 为PC 中点. (1)求证:DM ⊥平面PBC ; (2)若点E 为BC 边上的动点,且λ=EC BE ,是否存在实数λ,使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 (一)立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有: ①利用定义采用反证法; ②平行判定定理; ③利用面面平行,证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴A O=O C.连结O Q,则O Q在平面BDQ内, 且O Q是△APC的中位线, ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ,如图, 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点, ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. (2)连结A 1C 1交MN 于P 点,交EF 于点Q ,连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点, ∴MN ∥EF ,EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD , ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ,PA 、MN ?面AMN , ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图(1),在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//BC ,CD ⊥P 1D ,且P 1D=8,BC=4,DC=4 6, A 是P 1D 的中点,沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置(如图(2)),使二面角P —CD —B 成45°,设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PE C ; 证明:如图,设PC 中点为G ,连结FG ,
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质,推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ,且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90 ° (2)直线与平面所成的角:0°≤θ≤90° (3)二面角:二面角的平面角θ,0°<θ≤180° 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC,CC 1 ,C 1 D 1 ,AA 1 的中点。 求证:(1)EG∥平面BB 1D 1 D; (2)平面BDF∥平面B 1D 1 H.
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点. (1)证明:PA∥平面EDB; (2)证明:BC⊥DE.
1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1+3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC 。 (Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证: (Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA (第1题图)
2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥平面EFG 。 分析:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE 【例7】如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点. 求证:AB 1//面BDC 1; 分析:连B 1C 交BC 1于点E ,易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
空间几何证明 1、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中, E 是1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面 BDE 。 2、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 3、已知正方体1111ABCD A BC D -, O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1AC ⊥面11AB D . A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 4、正方体''''ABCD A B C D -中, 求证:(1)''AC B D DB ⊥平面; (2)''BD ACB ⊥平面. 5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD . 6、如图P 是ABC ?所在平面外一点,,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N 是AB 上的点, 3AN NB = (1)求证:MN AB ⊥; (2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的长。 A 1
7、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中, E 、 F 、 G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证:平面1D EF ∥平面BDG . 8、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点. (1)求证:1//AC 平面 BDE ; (2)求证:平面1A AC ⊥平面BDE . 9、已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E 为BC 的中点. (1)求证:DE ⊥平面PAE ; (2)求直线DP 与平面PAE 所成的角.
高中数学立体几何大题 及答案解析 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-
高中数学《立体几何》大题及答案解析(理) 1.(2009全国卷Ⅰ)如图,四棱锥S ABCD -中,底面 ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =, 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60。 (I )证明:M 是侧棱SC 的中点; ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.(2009全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB⊥AC,D、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE⊥平面BCC 1(Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.(2009浙江卷)如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC , 22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证 明://PQ 平面ACD ;(II )求AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 4.(2009北京卷)如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面;(Ⅱ) 当 2PD AB =且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB 所 成的角的大小. 5.(2009江西卷)如图,在四棱锥P ABCD -中,底 面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==, A B A 1 B 1 D E O A P B M
2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . (1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3)求点O 到平面ABM 的距离. 6.(2009四川卷)如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形, ,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面; (II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面 (III )求二面角F BD A --的大小。 7.(2009湖北卷文)如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD,SD =AD =a,点E 是SD 上的点,且DE =λa(0<λ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0、1),都有AC ⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ,求λ的值。 8.(2009湖南卷)如图3,在正三棱柱111ABC A B C -中,AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点,点E 在AC 上,且DE ⊥1A E.(Ⅰ)证明:平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;(Ⅱ)求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。
立体几何 1.(2014?山东)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD⊥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD, PC的中点. (⊥)求证:AP⊥平面BEF; (⊥)求证:BE⊥平面PAC. 2.(2014?四川)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 (⊥)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; (⊥)设D、E分别是线段BC、CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE⊥平面A1MC?请证明你的结论. 3.(2014?江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线PA⊥平面DEF; (2)平面BDE⊥平面ABC. 4.(2014?黄山一模)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E、F分别是AB、PD的中点. (1)求证:AF⊥平面PCE; (2)求证:平面PCE⊥平面PCD; (3)求四面体PEFC的体积.
5.(2014?南海区模拟)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB⊥CD,AB⊥AD,⊥PAB和⊥PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点. (⊥)求证:PO⊥平面ABCD; (⊥)求证:OE⊥平面PDC; (⊥)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值. 6.(2013?天津)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. (⊥)证明:EF⊥平面A1CD; (⊥)证明:平面A1CD⊥平面A1ABB1; (⊥)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 7.(2013?浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=, ⊥ABC=120°,G为线段PC上的点. (⊥)证明:BD⊥平面PAC; (⊥)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值; (⊥)若G满足PC⊥面BGD,求的值.