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函数连续性的几个问题

作者：曹媛

作者单位：天津海运职业学院,天津市,300457

刊名：

天津职业院校联合学报

英文刊名：JOURNAL OF TIANJIN VOCATIONAL INSTITUTES

年，卷(期)：2010，12(2)

被引用次数：0次

参考文献(3条)

1.华东师范大学数学系教学分析 2001

2.莫里斯·克莱因古今数学思想 1982

3.金友良关于一元函数连续性的几个问题 2007(6)

相似文献(10条)

1.学位论文吴新林模糊测度空间上集值函数的收敛性和连续性2005

本论文主要研究了单调测度空间上闭集值可测函数(也称为随机集)的收敛性和连续性.具体工作如下：

(1)利用非可加集函数的几种连续性分别证明了单调测度空间上关于闭集值可测函数的四种类型的Lebesgue定理.

(2)分别证明了单调测度空间上关于闭集值可测函数的标准形式和伪形式的Riesz定理.

(3)在有限模糊测度空间上，讨论了闭集值函数在Hausdorff度量意义下的连续性和集值函数序列的各种收敛性。利用模糊测度的零可加性、正则性，证明了模糊测度空间上关于闭集值可测函数的Lusin定理，建立了集值函数的可测性和连续性之间的联系.以上的这些结果是实值可测函数在模糊测度空间上的相关结果的进一步推广.

2.期刊论文罗韵蓉浅谈函数的连续性与间断点的教学体会-科学咨询2009,""(4)

函数在一点处的连续定义函数连续性的讨论函数的间断点及分类与判定.

3.期刊论文程玲.游文丽.田茹.范永亮单水平连续性抽样方案CSP-V的流向图方法-数理统计与管理2003,22(3)

本文利用转移概率流图和转移概率母函数的方法推导并得到了连续性抽样方案CSP-V的平均检出质量(AOQ)、平均检查比离(AFI)、和操作特性函数(OC)等三个基本特性函数.

4.学位论文杨二光半层空间的函数刻画与广义连续性2005

在过去数年间，人们对函数的单调插入问题进行了广泛的讨论。该问题的解决给出了对诸如可数仿紧空间，层空间等的函数刻画。受这些结论的启发，本文给出了对半层空间的几个函数刻画。另外，广义连续性也是一个广受关注的问题。本文定义了几种新的广义连续映射，并讨论了他们和连续映射及已有的某些广义连续映射之间的关系。在这篇论文中我们主要讨论了半层空间的刻画和连续映射的分解。全文由四个部分组成。第一章介绍了问题的提出和相关的背景材料。第二章介绍了半连续函数的某些性质并利用它们给出了对半层空间的函数刻画。其中主要结论为：X为半层空间当且仅当存在保序映射φ：LSC(X)→USC(X)使得对任意h∈LSC(X)，有0≤φ(h)≤h，且当h(x)＞0时，0＜φ(h)(x)＜h(x)。第三章通过引入弱半连续映射及弱准连续映射的概念来推广弱α连续性，讨论了弱半连续映射及弱准连续映射的一些性质，并讨论了它们与已有的某些广义连续映射之间的关系。主要结论为

：映射f：(X,T)→(Y,U)为弱半连续(弱准连续)的当且仅当f为弱拟连续(几乎弱连续)的。第四章通过对A连续映射的分解给出了对连续映射的几个分解定理。其中主要结论为：对映射f：(X，T)→(Y，U)，下列论断等价：(a)f连续，(b)f既α连续又A连续，(c)f既α连续又LC连续，(d)f既α连续又c连续。

5.期刊论文程崑电大《高等数学》课程中函数连续性导学的几个要点-新疆广播电视大学学报(综合版) 2001,""(4)

在远程开放条件下,电大的教学是以学生自主学习和教师适时辅导来实现的.而学员在对<高等数学>课的自主学习中普遍感到较难达到目标要求,其中有学员的基础因素,学法不当的因素、以及思维习惯、思维方式等多方面的因素.本文试图以函数的连续性为例说明学习和辅导中的一些要点,同时提出一些可供参考的方法.

6.期刊论文张国华从破坏函数连续性的角度来探讨函数的间断点-企业技术开发（下半月）2009,28(5)

函数的间断点是高等数学中的一个难点,特别是其类型的判别更始难点中的难点.文章另劈溪径从"破坏"函数连续性的角度来探讨函数的间断点,不但使函数的间断性变的更容易理解而且对于间断点的类型的判别更为简单.

7.期刊论文金友良.JIN You-liang关于一元函数连续性的几个问题-成都大学学报（教育科学版）2007,21(6)

阐述一元函数在某点连续的论证、函数的间断点、复合函数的连续性、初等函数的连续性及最值点问题,更加深刻地理解一元函数连续性这一重要概念.

8.学位论文李觉友Clifford分析中两类边值问题和四元数空间中Pompeiu算子的Holder连续性2006

本文用复方法研究Clifford分析中两类边值问题和四元数空间中Pompeiu算子T的性质.在第一章，研究Clifford分析中一类广义正则函数的

Plemelj公式和一个非线性边值问题，运用积分方程方法和Schauder不动点原理证明该问题解的存在性，并得到解的积分表示式，从而推广了文[19]的结果.在第二章中，研究Clifford分析中K-正则函数的表示定理，Cauchy型积分，Plemelj公式和一类Riemann边值问题，得到其边值问题的可解性和解的积分表示式.本章主要是受文[31]，[33]工作的启发而来的，这是把复平而上K-正则函数(也称多解析函数或n解析函数)理论推广到Clifford分析中的高阶情形来研究而作的初步尝试，并得到类似于单复变理论中K-正则函数的一些简洁结果，达到更进一步推广文[24]，[31]中的某些结果.在第三章，研究四元数分析中非齐次Dirac方程分布解Tf的一些性质，证明在Lp,v(Q)函数空间中Pompeiu算子T在有界域和无界域情形下均H(o)1der连续，并得到它在无穷远附近与|z|-2-α是同阶无穷小量，这对在四元数分析中研究椭圆型方程组及其边值问题起了促进作用.

9.期刊论文高玉彪.GAO Yu-biao一维空间函数连续性定义剖析-榆林高等专科学校学报2002,12(4)

对一维空间函数连续性的两种定义进行对比和分析讨论,得出一维空间函数连续性的ε-σ语言表述性定义更具概括性.它使函数定义域内孤立点变为连续点,左右连续变为连续,把连续进行了理论化的抽象拓广.

10.学位论文车翔玖NURBS曲面造型中的几何连续性问题2003

,该文主要结果共分三部分.第一部分研究了任意给定次数的具有一般双向(两个)节点向量(诸内节点重数任意给定,且非均匀分布)的张量积B样条曲面的几何连续(G<'1>,G<'2>连续)条件.我们得到了两邻接B样条曲面间G<'1>,G<'2>连续的充要条件,给出了两类G<'1>连续的充分条件和一类G<'2>连续的充分条件.特别是给出了隐藏在G<'1>,G<'2>连续充分条件之中的G<'1>,G<'2>连续一致光滑条件,这是与Bézier曲面几何连续性之本质区别.另一方面,我们证明了两邻接B样条曲面的G<'1>,G<'2>连续拼接函数都是分段多项式函数.基于分段光滑矢量函数可约的概念,我们给出了两邻接B样条曲面的G<'1>连续拼接函数之光滑性和次数的相关定理.同时,我们得到了N面角点处B样条曲面间G<'1>连续的一类充分条件及其成立的相容条件.第二部分研究了任意给定次数的具有一般双向(两个)节点向量(诸内节点重数任意给定,且非均匀分布)的NURBS曲面的几何连续(G<'1>连续)条件.利用NURBS曲面的齐次坐标形式,我们给出了两张NURBS曲面间G<'1>连续的充要条件及两类实用的充分条件,并着重给出了隐藏在充分条件之中的G<'1>连续一致光滑条件.另一方面,我们证明了两邻接NURBS曲面的G<'1>连续拼接函数是分段多项式函数,并得到了N面角点处NUBRS曲面间G<'1>连续的一类充分条件及其成立的相容条件.第三部分研究了由NURBS曲面的G<'1>连续一致光滑条件而引发的关于NURBS曲线曲面参数连续阶的约束提升问题.该文所给出的NURBS(B样条)曲面的G<'1>连续一致光滑条件,其实质是通过对控制顶点及权因子增加一定约束条件,而提升两曲面间的公共边界线的参数连续阶(提升一阶).特别是,我们给出了整体提升NURBS曲线(在每个内节点处)参数连续阶(提升一阶)的约束条件,并确定了整体提升NURBS曲线的参数连续阶(提升一阶)的自由度.另一方面,我们对NURBS曲面的参数连续阶的约束提升问题也进行了研究.得到了在节点向量和次数保持不变的前提下,提升NURBS曲面沿一等参数线处的参数连续阶(提升一阶)的约束条件,并依此确定了整体提升NURBS曲面(沿每一等参数线处)的参数连续阶(提升一阶)的自由度.这一部分结果在NURBS曲线曲面造型、光滑拼接、曲面光顺中有重要应用价值,丰富人们对NURBS曲线曲面参数连续性的认识.

本文链接：https://www.sodocs.net/doc/612360608.html,/Periodical_tjcrgdxxlhxb201002022.aspx

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函数-在一点的连续概念

第2章连续函数 §2.1 连续函数的概念【导语】连续是客观世界中最常见的现象，如岁月的流逝、植物的生长、物体的运动等都是连续的．函数的连续性反映了函数在一点的值与这点附近的函数值之间的关系，是函数在一点的性质．如何刻画函数的连续性，连续函数具有什么性质，这就是第2章要解决的问题．本讲主要介绍函数在一点连续的定义。【正文】一、函数在一点连续的概念定义1 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，如果0 0lim ()()x x f x f x →=成立，那么就称函数()f x 在0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点．一般地，0x x x ?=-称为自变量的改变量，0000()()()()()f x f x f x f x x f x ?=-=+?-称为函数()f x 在0x 处的改变量．函数()f x 在0x 连续指的是：当0x ?→时，有0()0f x ?→，即00 lim ()0x f x ?→?=．也就是说，函数()f x 在0x 连续指的是：对任意的正数ε，都存在正数δ，使得当x δ?<时，就有0()f x ε?<成立．从定义可以看出，连续性是函数的一种点性质．函数()f x 在0x 处是否连续与它在其他点是否连续没有关系．例如对于函数 ,, (),,x x f x x x ∈?=? -?? Q Q 因为0 lim ()0x f x →=，且(0)0f =，所以()f x 在0x =处连续．由于在00x ≠时极限0 lim ()x x f x →不存在，所以()f x 也 x 0 x 0y=x y x O

只有0x =这一个连续点．从运算的角度看，连续性保证了函数求值运算与极限运算满足交换律，即 0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==．例1 若函数21 ,1,()1,1x x f x x a x ?-≠-? =+??=-? 在1x =-处连续，求a 的值．解因为()f x 在1x =-处连续，所以 1 lim ()(1)x f x f →-=-．又因为 2111 1lim ()lim lim(1)21x x x x f x x x →-→-→--==-=-+，(1)f a -=，所以 2a =-．例2 利用定义证明：若函数()f x 在0x 处连续，则函数()f x 在0x 处连续．证对任意的正数ε，因为函数()f x 在0x 处连续，所以存在正数δ，当0||x x δ-<时，有 0()()f x f x ε-<。又因为00()()()()f x f x f x f x --≤，所以当0||x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<。所以函数()f x 在0x 处连续． Remark:1,, ()1,.x f x x ∈?=?-?? Q Q 例3 利用定义证明函数()e x f x =在任意点0x 处连续．证对任意实数0x 和x ，000e e e (e 1)x x x x x --=-．对任意正数ε，不妨设0e x ε<．要使 0e e x x ε-<，即要使 00e (e 1)x x x ε--<，即 0001e e 1e x x x x εε----<<+，

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

极限的概念_函数的连续性详解

第二章.极限概念函数的连续性对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法）设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：a i,a2，a3,?…，或者简单地记成｛a n｝。观察这个数列取值变化，有的数列变化具有下面的变化规律：对于数列a i，a2,a3,.…，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量a n a （显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N，使得在这个a N元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a n a的值小于，换一句话来说，对于任意的，总是存在一个N，当n>N时，总是有a n a成立这时我们就把a称为数列a1, a2,a3，...的极限。并且称数列 lim a n a a i，a2，a3,.…收敛于极限a。我们使用记号n 来表示该数列极限。否则我们就说数列｛a n｝是发散的。

这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个： 1。数值是任意的。就是说只要存在一个的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的，在实际问题中，由于我们的目的是希望知道变量a n a是否越来越小，一般只要取大于0,并且足够小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少我们对的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以找到由决定的N的值，使得a n a小于，或者是找到反例。从而实现对所有可能的们进行判断?不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。 2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量 n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数的表达式称为通项a n的通项公式。不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式?）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。答疑解难。 1 .数列的极限的定义当中，与N的取值是一一对应的吗？［答］:不是。初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由推出N的表达式，但这并不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个的意思，实际上是给出了一个区间，同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是相当重要的柯西收敛原理：

函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性

浅谈函数的一致连续性的性质

浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界; Discusses the properties of the uniform continuity function Name：zhang ya nan Number：0707216 College：College of Mathematics and Computer Science Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given. Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

函数连续性

第四章函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数．从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性．一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ，则称f 在点0x 连续．例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述，即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。二、典型例题例 1 ．求下列极限解：由可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。例 3 ．讨论函数例 4 ．已知函数， ∴ f(x)在 x=1 处连续。解析： ∴ a=1, b=0 。例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使存在，只需 ∴ 2k=1 ，故时，存在。例7．求函数在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。三、训练题： 2．的值是 3. 已知，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。，求 a 的值。 5．已知参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设，问常数k 为何值时，有存在？解析：∵ 4．已知解析：由 1．已知

极限的概念函数的连续性

第二章.极限概念函数的连续性如果说对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。对于极限的观念，最为关键的问题是，极限的模糊形象是谁都有的，但是如何定量地加以描述，从而是可以应用来作为一般的判别标准的呢？这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。数列的极限。数数是人类最原始的数学活动，应该说，对于数数我们没有更多的数学方面的分析可言的了，或者说至少从数学的角度而言，数数是一个足够清楚而明确的行为。因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数数开始。最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。对于这样的变化方式，我们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是说去探讨事物变化发展中表现出来的连续性，究竟是一个什么样的过程。另一种研究方式是并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地定义一种明确的可以定量处理的连续性，使得我们对于一般事物变化发展的描述都具有这种连续性的特点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续性的观念的合理性，一直到实验表明再也不能使用这个人为前提为止。确实，我们应该学会承认，当我们对客观事物进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说假设的，问题的关键，不是在于我们是不是应该首先证明了这些前提的正确性，才能再来进行随后的工作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验的证明才能决定。现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续性的严格表述。而这个概念是可以从我们进行最为简单的数数开始的。设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。显然，可以想象，随着我们的数数，这个数列的取值，就会发生某种变化，（当然，对于总是取同一个数值的数列，我们没有什么兴趣。）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程：对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的数值小于ε，换一句话来说，就是，对于任意的ε，总是存在一个N ，使得当n>N 时，总是有 ε<-a a n 成立，这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示这点。否则我们就说数列{}a n 是发散的。这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个： 1。数值ε是任意的。实际上也就是说，只要存在一个ε的数值不满足定义的条件，就

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。