海南省海口市高考调研测试
数学(理科)试题(二)
注意事项:
1.本次考试的试卷分为试题卷和答题卷,本卷为试题卷,请将答案和解答写在答题卷指定的位置,在试题卷和其它位置解答无效.
2.本试卷满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:
样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差 锥体体积公式
s =
13
V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh =
24πS R =,34π3
V R =
其中S 为底面面积,h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷 选择题
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后,请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在本卷上作答无效)
1.设全集U R =,集合{}{}
2
2,0,1(2),x M y R y x N x R y g x x =∈=>=∈=-则
()U M N e为
A .(1,2)
B .(1,)+∞
C .[2,)+∞
D .(],0(1,)-∞+∞
2.复数212m z -=
+i
i
(m R ∈,i 是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
3.已知向量(1,3)=a ,(2,)m =-b ,若a 与2+a b 垂直,则m 的值为
A .1
B .1-
C .2
1
-
D .
2
1 4.已知α,β,γ是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确命题是 A .若αβ⊥,l β⊥,则α//l B .若l 上有两个点到α的距离相等,则α//l C .若l α⊥,l ∥β,则βα⊥ D .若αβ⊥,αγ⊥,则βγ⊥
5.已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈,01
cos 3
x =(0[0,π]x ∈).那么下面命题中真命题的序号是
①()f x 的最大值为0()f x ② ()f x 的最小值为0()f x
第8题图
第6题图
第12题图
③()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数 A .①③ B .①④ C .②③ D .②④
6.函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-内可导,其图象如图所示,记
()y f x =的导函数为'()y f x =,则不等式'()0f x ≤的解集为
A .31[,][1,2)22-
B .148[1,][,]233-
C .1[,1][2,3)3-
D .3148
(,1][,][,3)2233
--
7.若方程x
x 2
)1ln(=
+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上,则k 的值为 A .1- B .1 C .1-或2 D . 1-或1
8.阅读右侧的算法框图,输出结果S 的值为 A .1 B
C.
1
2
D
9.把24粒种子分别种在8个坑内,每坑3粒,每粒
种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑里的种子都没发芽,则这个坑需要补种,假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用ξ表示补种费用,则ξ的数学期望为
A .10元
B .20元
C .40元
D .80元 10.若1sin(
)34π
α-=
,则cos(2)3π
α+=
A .78-
B .1
4-
C .14
D .78
11.已知函数2()54f x x x =-+,且x ,y 满足约束条件()()0;
1 4.f x f y x -≥??
≤≤?
则2z x y =+的最大值为
A . 6
B .152
C .12
D . 17
2
12.如图,在直角梯形ABCD 中,AD AB ⊥,AB ∥DC ,
1AD DC ==,2AB =,动点P 在以点C 为圆心,且与直
线BD 相切的圆上或圆内移动,设AP AD AB λμ=+
(λ,R μ∈),则λμ+取值范围是
A .[1,2]
B .[2,4]
C .[2,)+∞
D .(],1-∞
第13题图
第16题图
第Ⅱ卷 非选择题
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置)
13.一空间几何体的三视图如下图所示, 该几何体的
体积为123
π+
,则正视图中x 的值为___________.
14.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ,且两曲
线的一个交点为P ,若5PF =,则双曲线的方程为
15.在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 为ABC ?的面积,若向量
222(2,)a b c =+-p ,(1,2)S =q 满足p ∥q ,则角C = .
16.如下图,夹在两斜线之间的数的和为 (用组合数符号表示,参考公式
11m m m
n n n C C C -++=)
.
三.解答题:(本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷...中指定的位置) 17.(本小题满分12分)
在数列{}n a ,{}n b 中已知12(0)n n a a k k +=+≠,10n n n b a a +=-≠ (Ⅰ)求证:数列{}n b 是等比数列;
(Ⅱ)若11k a ==,求数列{}n a ,{}n b 的通项公式.
0.38 0.34 0.18 0.06 0.04
D
18.(本小题满分12分)
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[)14,13,第二组[)15,14……第五组[]18,17,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)求这组数据的众数和中位数(精确到0.1);
( II )根据有关规定,成绩小于16秒为达标.
(ⅰ)用样本估计总体,某班有学生45人,设
ξ为达标人数,求ξ的数学期望与方差. (ⅱ)如果男女生使用相同的达标标准,则男女
生达标情况如下表
根据上表数据,能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”?若有,你能否提出一个更好的解决方法来?
附:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,2PA AB ==,
E F 、分别为CD PB 、的中点,AE
(Ⅰ)求证:平面AEF ⊥平面PAB .
(Ⅱ)求平面PAB 与平面PCD
20.(本小题满分12分)
如图,已知1F ,2F 分别是椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点,且椭圆C
第20题图
的离心率1
2
e =
,1F 也是抛物线1C :24y x =-的焦点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点2F 的直线l 交椭圆C 于D ,E 两点,且222DF F E =
,点E 关于x 轴的对称点为G ,求直线GD 的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++,t R ∈.
(Ⅰ)若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值. (ⅰ)求t 的取值范围;
(ⅱ)若,,a b c 成等差数列,求t 的值.
(Ⅱ)当0t =时,对任意的[]1,x m ∈,不等式()f x x ≤恒成立.求正整数m 的最大值.
四.选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做
题计入总分,满分10分. 请将答题的过程写在答题卷...中指定..的位置) 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,已知PA 与圆O 相切于点A ,半径OB OP ⊥,AB 交PO 于点C , (Ⅰ)求证:PA PC =; (Ⅱ)若圆O 的半径为3,5OP =,求BC 的长度.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
如图,已知点A ,(0,1)B ,圆C 是以AB 为直径的圆,直线l :cos ,
1sin .
x t y t ??=??
=-+?(t 为参数).
(Ⅰ)写出圆C 的普通方程并选取适当的参数改写为参数方程;
第23
题图
(Ⅱ)过原点O 作直线l 的垂线,垂足为H ,若动
点M 满足23OM OH =
,当?变化时,求点
M 轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设()ln(|1||2|3)f x x m x =-+--(m R ∈). (Ⅰ)当1m =时,求函数()f x 的定义域; (Ⅱ)若当7
14
x ≤≤
时,()0f x ≥恒成立,求实数m 的取值范围.
海口市高考调研测试(二) 数学(理科)试题参考答案
18. 解:(Ⅰ)这组数据的众数为15.5,中位数为15.6……………………3分
(Ⅱ)(ⅰ)成绩在[)13,16的频率:0.04+0.18+0.38=0.6
若用样本估计总体,则总体达标的概率为0.6.从而ξ~B (45,0.6)
450.627E ξ∴=?=(人),D ξ=10.8-------------7分
2
2
50(241268)32183020K ??-?=???≈8.333
由于2
K >6.625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”
故可以根据男女生性别划分达标的标准-----------------------12分
19.证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD 是菱形,
∴2AD CD AB ===.
在ADE ?中,AE =1DE =, ∴222AD DE AE =+.
∴90AED ∠=?,即AE CD ⊥.
又AB CD //, ∴AE AB ⊥.…………………2分 ∵PA ⊥平面ABCD ,AE ?平面ABCD ,
∴PA ⊥AE .又∵PA AB A = ,
∴AE ⊥平面PAB ,………………………………………4分 又∵AE ?平面AEF ,
平面AEF ⊥平面PAB . ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知AE ⊥平面PAB ,而AE ?平面PAE , ∴平面PAE ⊥平面PAB ………………………6分 ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA CD ⊥. 由(Ⅰ)知AE CD ⊥,又PA AE A = ∴CD ⊥平面PAE ,又CD ?平面PCD ,
∴平面PCD ⊥平面PAE .…………………………8分 ∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面.
所以,APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角.……9分 在Rt PAE ?中,222347PE AE PA =+=+=
,即PE =10分 又2PA =,
∴cos APE ∠=
=
. 所以,平面PAB 与平面PCD
12分 理(Ⅱ)解法二:以A 为原点,AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向,建立空间直角
坐标系A xyz -,如图所示.因为2PA AB ==
,AE =
(0,0,0)A 、(0,0,2)P
、E
、(1C ,…………6分
则2)PE =- ,(1,0,0)CE =-
,AE = .………7分 由(Ⅰ)知AE ⊥平面PAB ,
故平面PAB 的一个法向量为1(0,1,0)n =
.……………………8分
设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =
,
则2200
n PE n CE ?=??=??
,即200z x -=-=??,令2y =,
则2n =
. …………………10分
∴121212cos ,n n n n n n ==
=
所以,平面PAB 与平面PCD
20.解:(Ⅰ)因为抛物线1C 的焦点是1(1,0)F -,
则112
c c a =??
?=??,得2a =,则b ,
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=. (Ⅱ)显然直线l 的斜率不存在时不符合题意,可设直线l :(1)y k x =-,设11(,)D x y ,
22(,)E x y ,由于222DF F E =
,
则 12122(1)12x x y y -=-??-=?,联立2
2(1)
14
3y k x x y
=-???+
=??,222212()104333k k x k x +-+-=, x
则 2122834k x x k +=+,……① 2122412
34k x x k -=+,……②,2132x x =-代入①、②得,
212
8334k x k -=+,……③ 22
1124123234k x x k --=+,……④
由③、④得k = 212
9434k x k +=+7
=,211322
x
x =-=-, (i
)若k =时,1y =
211)
2y =--=,
即1(,2
G -
,7(,4D
,84714
2
GD k +
=
+= 直线GD
的方程是1
)2
y
x =+;
(ii )当k =时,同理可求直线GD 的方程是1
)2
y x =+. 21.解:(Ⅰ)23232()(3123)(63)(393)x x x f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++
(ⅰ)()f x 有三个极值点,3
2
3930x x x t ∴--++=有三个根,,a b c .
32()393g x x x x t =--++令,则2'()3693(1)(3)g x x x x x =--=+-
由2'()3693(1)(3)0g x x x x x =--=+->得1x <-或3x > ()(-,-1)(3,+)(-1,3)g x ∞∞在区间和上递增,在区间上递减.
()g x 有有三零点824.(3)240
t g t ?∴∴-<=-0
…………4分
22.(Ⅰ)证明:连接OA,
∵OA OB
=,
∴OAB OBA
∠=∠.…………………………1分
∵PA与圆O相切于点A,
∴90
OAP
∠=?.
∴90
PAC OAB
∠=?-∠.……………………2分
∵OB OP
⊥,
∴90
BCO OBA
∠=?-∠.……………………3分
∴BCO PAC
∠=∠.……………………4分
又∵BCO PCA
∠=∠,
∴PCA PAC
∠=∠.
∴PA PC
=.………………………………5分
(Ⅱ)解:假设PO与圆O相交于点M,延长PO交圆O于点N.∵PA与圆O相切于点A,PMN是圆O割线,
∴2()()
PA PM PN PO OM PO ON
==-+
.……………6分
∵5
OP=,3
OM ON
==,
∴2(53)(53)16
PA=-+=
.
∴4
PA=.………………………………8分
∴由(Ⅰ)知4
PC PA
==.
A
C P B
O
●
M
N
∴541OC =-=.
在Rt OBC ?中,2229110BC OB OC =+=+=
∴BC =10分 23.解:(Ⅰ)圆圆C
的普通方程为221
(()12
x y +-=,改写为参数方程是
cos ,1sin 2x y θθ?=+???
?=+??
(.θ为参数). (Ⅱ)解法1:直线l 普通方程:sin cos cos 0x y ???--=,
点H 坐标111
(sin 2,cos2)222??--,
因为 23OM OH = ,则点M 的坐标为333
(sin 2,cos2)444
??--,
故当?变化时,点M 轨迹的参数方程为3sin 2,433cos2.44x y ???=????=--??
(?为参数),图形为圆.
(或写成23sin cos ,23cos .2x y ????=????=-??
(?为参数),图形为圆.)
解法2:设(,)M x y ,由于23OM OH = ,则22
(,)33
H x y ,由于直线l 过定点(0,1)P -,
则 0OH PH = ,即 2222()()(1)0333x y y ++=,整理得,2239()416
x y ++=,
故当?变化时,点M 轨迹的参数方程为3cos ,433sin .44x y φφ?=????=-+??
(φ为参数),图形为圆. (注意:当?变化时,得到点M 轨迹的普通方程,再转化为参数φ的方程也是正确的!!) 24.解:(Ⅰ)当1m =时,|1||2|30x x -+-->,等价于
1323x x ≤??
->?或1213x <≤??>?或2
233
x x >??->?,解之为0x <或x ∈?或3x >, 故函数()f x 的定义域是{|0x x <或3}x >.
(Ⅱ)当7
14
x ≤≤
时,()ln[4(2)]f x x m x =-+-,()0f x ≥恒成立等价于 4(2)1x m x -+-≥恒成立,即 52x m x -≥-在7
[1,]4
上恒成立,
令52x t x -=-3
12x =-
-在区间7[1,]4是增函数,所以max 31724
t =--13=, 所以,13m ≥,故实数m 的取值范围[13,)+∞.