复变函数与积分变换(14-15-1.A2)参考答案 (1)
2014---2015学年第1学期:
复变函数与积分变换（30学时，A 卷）参考答案及评分标准
一．填空题
1、3; 2;
2、e -; i π-2;
3、0;
4、0;
5、πi ;
6、12<+i z ;
7、 -+-
!
6!4!214
2z z ; 8、3; 9、t cos ; 10、1. 二．解：令,θi e z = 则,θθd ie dz i =,iz
dz
d =
θ 且根据Euler 公式, 有 ()()
,2
1
21cos 1--+=+=
z z e e i i θθθ ()()
,2
1
212cos 2222--+=+=z z e e i i θθθ
则有
(
)
(
)
??
=--?+-+=-112220
256cos 452cos 12z iz dz
z
z z z d π
θθθ ()
?=+-+=12242
5216z dz z z z z i
().61
?
==z dz z f i 4分
上述积分中被积函数()z f 有三个有限奇点 .2,2
1
,0 而在积分曲线1=z 围成区域内只有二个奇点,2
1
,
0 分别是二级和一级极点. 6分 根据留数定理, 有
()[]()????
????????
+=?
21,Re 0,Re 2)(z f s z f s i dz z f C
π. 8分
根据留数计算规则, 分别有
??
?
??????
??
-=???
???
→)(21lim 21),(Re 2
1z f z z f s z
()221
lim 2
42
1-+=→
z z z z ()2
12
4221=
-+=z z z z
12
17
-
=; 11分
[][]
)(lim
0),(Re 2
0z f z dz
d z f s z →=
2521lim 240+-+=→z z z dz d z (
)(
)
()
()
2
2
4230
2
525412524lim
+--+-+-=→z z
z z z z z z
(
)()()()
2
2
4
2
32525412524=+--+-+-=
z z z z z z z z
.4
5
=
14分 所以有 ()[](),6
1
21,Re 0,Re -=??
???
?+z f s z f s
.3
)(i dz z f C
π
-
=?
则积分
πθθ
θ
π
2cos 452cos 1220
=-?
d 15分
三．解： (1) 解：根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式, 有
8
22
2
2
2][ωπ--=e e F t
. 2分
又2
2cos 22t
i t i e e t -+=, 根据Fourier 变换位移性质, 有
[][]()
2
22
2222221]2[cos t t i t t i t e e F e e F e
t F ----?+?=?
[]
[]
)(2
1
2
22
22
2+=--=-+=
ωωωωt
t e F e F
())(4
28
28
)2(2
2
+-
--
+=
ωωπe
e . 6分
根据能量谱密度的定义()()2
ωωF S =得到函数2
22cos )(t
e t t
f -?=的能量谱密度
())2(8
4
)2(4
4
)2(2
2
2
+-
-
--
++=
ωωωπ
ωe
e e
e
S . 8分
（2）解：根据能量谱密度()ωS 和相关函数()τR 之间有关系式, 有
()()[]
ωτS F R 1-=
????????+???
? ??????????+????????=--+-----414)2(14)2(122248ωωωπ
πe F e e F e F 2分
根据Fourier 变换的位移性质, 有
,41
24
)
2(1
2
2
???????
?=???????
?-----ω
τωe F e e F i .41
24)
2(1
2
2
???
?
???
?=???????
?-----ω
τωe F e e F i 4分 则有
()()
???
?
????+???????
?+=
----414
1
222
2
48
ω
ωτ
τ
ππ
τe F e e F e
e
R i i 注意到 τττ2cos 222=+-i i e e , 则
()()???
?
???
?+=
---4
1
12
2cos 4
ω
τπ
τe F e R . 6分 根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式 []β
ωββ
π
422
-
-=
e e
F t , 有
2
2
14
1τωπ--
-=???
????
?e e F . 所以有
()()2
1
2cos 4
ττπ
τ--+=
e
e R . 8分
四．解：根据Laplace 变换积分性质, 有
[]
t e L s
dt t e L t t
t 2sin 1
]2sin [0
--=
?. 2分 由4
2
]2[sin 2
+=
s t L , 根据Laplace 变换的位移性质, 有 ()
4
12
]2sin [2
++=
-s t e L t ,
即
4
22
]2sin [2
++=-s s t e L t
. 4分 所以有 ()
5
22
]2sin [2
++=
?
-s s s dt t e L t
t . 6分 五．解：(1) 根据Euler 公式和Fourier 变换的定义, 有
[]?+∞
∞
-?-=dx xe x F x i ω2sin 2sin
?∞+∞-?--???
? ?
?-=dx e i e e x
i x
i x i ω222 ()()????
??-=
??+∞∞-?+-+∞∞-?--dx e dx e i x i x i 2221ωω. 4分 根据基本公式可以得到
[]()()[]222221
2sin +--=
ωπδωπδi
x F ()()[]22--+=ωδωδπi . 8分
(2) 对方程两边关于函数自变量x 作Fourier 变换. 记()()[]x y F Y =ω. 根据Fourier 变换的微分和积分性质, 有
()()[]02sin 322=++
x F i Y Y i ω
ωωω. 2分 利用(1)的结论, 有
()()
()()[]221
232
+---=
ωδωδωπω
ωY . 4分 根据Fourier 逆变换的定义和-δ函数的筛选性质, 有
()()[]ωY F x y 1-=
()()[]?+∞∞--+--=
ωωωωδωδωd e x
i 122432
()()??????-+---=
??∞+∞-∞+∞-ωωωωδωωωωδωωd e d e x
i x i 12124322
?
??? ?
?-?--?=-==22
2
2
1
143ωωωωωωωωx
i x
i e e
()
x i x
i e e 2221-+=
x 2cos =. 8分
六．解：根据Laplace 变换的位移性质, 有
()[]()()()
??????++++=--1212122
211s s L s F L
()()
??
????++=--11122
21
2s s L e
t
. 2分 令()()
()
1
11
2
2
++=
s
s s G ，则()s G 有两个一级极点i i ,-和一个二级极点-.
1
4分 根据求Laplace 逆变换的留数公式, 有
()[]()[]()[]()[]
1,Re ,Re ,Re 1-++-=-s G e s i s G e s i s G e s s G L st st st . 6分
根据留数计算规则, 有
()[]()()
[
]s G e i s i s G e s st i
s st +=--→lim ,Re
()()
i s s e st
i
s -+=-→2
1lim
()()
i
s st
i s s e -=-+=
2
1
()
2
12i i e it --=
-
.4it e --=
9分
()[]()()
[
]s G e i s i s G e s st i
s st -=→lim ,Re
()()
i s s e st
i
s ++=→2
1lim
()()
i
s st
i s s e =++=
2
1
()
2
12i i e it +=
.4it e -=
12分
()[]
()()[]
s G e s ds d s G e s st s st 2
11lim
1,Re +=--→
1
lim
21+=-→s e ds d st
s
()
()2
2
21
121lim +-+=-→s se s te st
st s
()()
1
2
2
2121-=+-+=
s st
st
s se s te
().
2
1t e t -+=
15分
代入上式，并利用Euler 公式, 有
()[]()4
2
11
it
it t e e e t s G L
---+-
+=
()2
cos 1t
e t t -+=
-. 所以有
()[]().
cos 1231t t e t e t s F L ---?-+=
17分