专题：对数函数知识点总结及类型题归纳

专题：对数函数知识点总结

1.对数函数的定义：

一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为

思考：函数log a y x =与函数x

y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？

___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。

一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)

如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线

y=x 对称

函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称

专题应用练习

一、求下列函数的定义域

（1）0.2log (4);y x =-； （2）log a y =(0,1).a a >≠；

（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =

(5) y=lg

1

1

-x (6) y=x 3log 1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ 2.y=

)8lg(2x - 的定义域是_______________

3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________

4.函数的定义域是

5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 .

6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________

7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。

8.求下列函数的定义域、值域：

（1）2log (3)y x =+； （2）2

2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．

9.函数f （x ）=x

1

ln （432322+--++-x x x x ）定义域

10.设f(x)=lg

x x -+22,则f )2

()2(x

f x +的定义域为 11.函数f(x)=)

1(log 1

|2|2---x x 的定义域为

12.函数f(x)=

2

29)2(1x x x g --的定义域为 ；

13.函数f （x ）=

x

1

ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14

2

2

2

log

log log y x =的定义域是

1. 设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),

(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围；

(2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(22

1+-=ax x x f

（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围 （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围 （3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.

16.若函数()

2x

y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为

17.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.

18若函数y=lg(4-a ·2x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为

19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x ?的值域是 20求函数1log )(log 2

122

1+-=x x y (14)x ≤≤的值域。

21已知函数f(x)=log 21

1-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.

解：f(x)有意义时，有????

?

????>->->-+,

③0,②0

1,①011

x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).

（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4

)

1(2

+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜

2

1-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()212

22+≤++-p p p , ∴log 2??

????

++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()212

2-<++-p p p ∴log 2??

????++---4)1()21(2

2p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知： 当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)).

二、利用对数函数的性质，比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：

（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7； （4）2log 3，4log 5，

32

1.0.9

1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小关系是____________

2.已知a 2>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p= log b a

b

的大小关系是____________ 3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系

4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b

b b

b

a

1log ,log ,1的大小关系是

5.已知log 2

1b ＜log 2

1a ＜log 2

1c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.

6.设32log ,log log a b c π===

7.()()()2

21,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。

8.

()2

21,1log log d d x d a x b x >>==已知试比较，的大小。

9.设0 0，且a ≠1，试比较| loga （1-x ） |与| loga （1+x ） |的大小。 10.已知函数()lg f x x =，则14f ??

???，13f ??

???

，(2)f 的大小关系是______ 三、解指、对数方程：

（1）35

3

27x += （2）2212x =（3）55log (3)log (21)x x =+（4）lg(1)x =-

1.已知3a =5b =A,且b

a

11+=2，则A 的值是 2.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么12

x -

等于

3.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么x 2

1-等于 4..若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 5.若()

x f x =10，那么()3f 等于

6. 已知5

()lg f x x =，则(2)f =

7. 已知22log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且，求8

log y

x

的值． 四、解不等式：

1.55log (3)log (21)x x <+

2.lg(1)1x -<

3.设,a b 满足01a b <<<，给出下列四个不等式：

①a b a a <，②a b b b <，③a a a b <，④b b

b a <，其中正确．．的不等式有 4.已知：(1)()log a f x x =在[3,)+∞上恒有|()|1f x >，求实数a 的取值范围。

5.已知函数2()3,()(1)f x x g x a x =+=-，当22x -≤≤时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

6.求m 的取值范围，使关于x 的方程2

1

(lg )2lg ()04

x m x m -+-=有两个大于1的根． （2008·全国）若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则

7.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b

b b b a 1

log ,log ,1的大小关系是

8.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围 9.已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围. 10.若函数22log ()y x ax a =---

在区间(,1-∞上是增函数，a 的取值范围 11.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是

12.若函数f(x)=21

2log ,0,log (),0x x x x >??

?-f(-a),则实数a 的取值范围是

13.．设函数1211()lg 1x x f x x x -?-<=??，，

，

， ≥若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）

14.设a >0且 a ≠1，若函数f (x )＝)

32(lg 2+-x x a 有最大值，试解不等式)75(log 2+-x x a >0

五、定点问题

1.若函数y=log a (x+b) (a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则

2.若函数y=log a (x+b) (a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则

3.函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 .

六、求对数的底数范围问题

1.（1）若4

log 15

a

<(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围

2. （2）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围

3..若2

log 13

a

<(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围________ 4.函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为 . 5.若函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是 6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x ≥2上单调减，求实数a 的范围

7..已知y=a log (2-x

a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.

8.已知函数y=log 2

a (x 2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a 的取值范围.

9.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.

10.若函数log (1)a y x =-在[0,1)上是增函数，a 的取值范围是 11.使12

1

log >a

成立的a 的取值范围是 12.若定义在(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是

七、最值问题

1.函数y ＝log a x 在[2, 10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a ＝ .

2.求函数2

114

4

log log 5

[2,4]y x x x =-+∈的最小值 ,最大值 .。

3.设a ＞1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为2

1，则a=

4.函数f （x ）=a x +log a （x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a ，则a=

5.已知20≤≤x ,则函数4234-?-=x x y 的最大值是 ，最小值是 .

6.已知2()1log ,(14)f x x x =+≤≤，求函数22

()()()g x f x f x =+的最大值与最小值 7.已知x 满足20.50.52(log )7log 30x x ++≤ ，求函数22()(log )(log )24

x x

f x =的最值。 8.

12

20,0,21,log (841).

x y x y u xy y ≥≥+==++设且求函数的值域

9.函数f (x )＝a x ＋log a (x +1)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a ，则a ＝

10.求函数)3

1

3(log )31(log 22

1+--=x

x

y 的最小值

11.函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．

八、单调性

1.讨论函数lg(1)lg(1)y x x =++-的奇偶性与单调性

2.函数2lg(2)y x x =-的定义域是 ,值域是 ，单调增区间是

3.函数2()ln(43)f x x x =-+的递减区间是 ．

4.函数y=log 1/3(x 2-3x)的增区间是________

5.证明函数)1(log )(22+=x x f 在),0(+∞上是增函数

6.函数)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？

7.求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明

.8.求y=3.0log (2

x -2x)的单调递减区间

9..求函数y=2log (2

x -4x)的单调递增区间

10.函数y=log 2

1(x 2-3x+2)的递增区间是

11.函数2lg(2)y x x =-的值域是 ，单调增区间是 ．

12.若函数22log ()y x ax a =--在区间(,1-∞上是减函数，求实数a 的取值范围 1.证明函数y=2

1log (2

x +1)在（0，+∞）上是减函数；

2.已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.，求实数a 的取值范围.

3.已知函数()lg(42)x

f x k =-?，（其中k 实数）

（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若)(x f 在(],2-∞上有意义，试求实数k 的取值范围 小结：复合函数的单调性

)(),(x g x f 的单调相同，))((x g f y =为增函数，否则为减函数

九、奇偶性

1.函数())

ln

f x x =的奇偶性是 。

2.若函数()f x 是奇函数，且0x >时，()()lg 1f x x =+，则当0x <时，()f x =

3.偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，()()0.5

11,log ,lg 0.54a f b f c f ??

=-== ???

，则,,a b c 之间的大小关系 4.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)3

1(=f ，则不等式0)(log 8

1>x f 的解集为

5.已知函数1()lg

,1x f x x -=+若1

(),2

f a =则()f a -= .

6.已知奇函数 满足

，当

时，函数

，则

=____．

7.

()lg((2)()f x x f x =+已知判断f(x)奇偶性判断的单调性

8.知函数f(x)=log a b

x b x -+ (a ＞0,且a ≠1，b ＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨论f(x ）

单调性

9.a,b ∈R ，且a ≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x

ax 211lg ++是奇函数

1）求b 取值范围2）讨论函数f(x)单调性.

10.设a,b ∈R ，且a ≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x

ax 211lg ++是奇函数.

（1） 求b 的取值范围； （2）讨论函数f(x)的单调性.

11.已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且，设()()()h x f x g x =-. （1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合.

十、对称问题与解析式

1.已知函数()f x 的定义域是()0,+∞，且对任意的12,0x x >满足()()1122x f f x f x x ??

=-

???

，当1x >时有()0f x <，请你写出一个满足上述条件的函数()f x = 。

2.已知函数()f x 满足()()2

2

2

3log 0,16a x f x a a x -=>≠-

（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性；（4）解不等式()()log 2a f x x ≥ 3.已知定义域为(,0)(0,)-∞?+∞的函数()y f x =满足条件：对于定义域内任意12,x x 都有

1212()()()

f x x f x f x =+ .(1)求证：1

()()f f x x

=-，且()f x 是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.

5.已知函数f(x)=log a (x+1)(a ＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象.

（1）写出函数g(x)的解析式； （2）当x ∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m 成立，求m 的取值范围.

解 （1）设P （x ，y ）为g(x)图象上任意一点， 则Q （-x ，-y ）是点P 关于原点的对称点，

∵Q （-x ，-y ）在f(x)的图象上， ∴-y=log a （-x+1），即y=g(x)=-log a (1-x). （2）f(x)+g(x)≥m,即log a x

x -+11≥m.

设F （x ）=log a x

x -+11,x ∈［0，1）， 由题意知，只要F （x ）min ≥m 即可.

∵F （x ）在［0，1）上是增函数， ∴F （x ）min =F （0）=0.故m ≤0即为所求

1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,

由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以2

2

8118log log x x x x =

点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=

2

log log 81

8x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知

k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.

（2）解 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=3

1

log 2x 2,x 2=x 31,

代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).

6.已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log 2的图象交于C 、D 两点.

（1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

7.设函数 且

．

① 求

的解析式，定义域；② 讨论

的单调性，并求

的值域．

十一、对数函数图象

1．函数3log (2)y x =+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。 2. 函数3log (2)3y x =-+的图象是由函数3log y x =的图象 得到。 3. 函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象 当0,0b c >>时向 __ 单位得到; 当0,0b c <>时向 __ 单位得到; 当0,0b c ><时向 __ 单位得到; 当0,0b c <<时向 __ 单位得到。

尝试总结：平移变换()()y f x y f x a b =→=++的法则___________________________ ____________________________________________________________________

1.将函数y=2x 的图象向左平移1个单位得到C 1，将C 1向上平移1 个单位得到C 2，而C 3与C 2关于直线y=x 对称，则C 3对应的函数解析式是

2.函数的图像与对数函数3log y x =的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间： (1)3log ||y x =； (2)3|log |y x =； (3) 3log ()y x =-；(4) 3log y x =-

1.已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根求函数f (x )＝|12|log 22--x x 的单调区间

2.如图，曲线是对数函数

的图象，已知 的取值

，

则相应于曲线

的

值依次为( )．

3.方程log (1)x a x a a =>的解的个数为

4.已知关于．．x ．的方程．．．

02lg 2lg 2

=-++a x a x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 5.方程22log ||x x =-的实根个数是 个.则x 1＋x 2＝ 6.已知f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，比较f (x )与g(x )的大小 7.设a >0且a ≠1,求证：方程x

x

a a

-+-x =2a 的根不在区间[-1,1]内

8.若 ，且

，则

满足的关系式是 （ ）

9.若

是偶函数，则

的图象是 ( )．

（A ）关于 轴对称（B ）关于

轴对称（C ）关于原点对称 （D ）关于直线

对称

10方程

实数解所在的区间是 ( )．（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

11.已知x 、y 为实数，满足（log 4y ）2=12

log x ，试求

x

y

的最大值及相应的x 、y 的值．

十二、附加内容（补充）

本节主要介绍以下几个问题 一、反函数的定义 二、反函数的求法

三、反函数存在的条件 ??

?

??

=互换，加注定义域与定义域）求原函数值域（反函数

中解出从y x x

x f y )(??

?

在反函数

在定义域内单调一定存一一对应等价条件：y x

,

四、反函数的性质

222log log x

y x x y y x y y x

===→→→→→用表示、互换

(),0,x R y ∈∈+∞

()

,0,y R x ∈∈+∞

y=a x 及y=log a x 互为反函数 ,反函数的定义

一般的,如果y 是x 的一个函数(y=f(x)),另一方面,x 也是y 的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一

般仍用x 表示自变量,y 表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f -1(x),y=f -1

(x)与y=f(x)互为反函数

y=a x 与y=log a x 互为反函数

注意：f -1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数

求函数y=3x+6的反函数

解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2

Y=a x 与y=log a x ({x|x>0})互为反函数(由y=a x 中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域 二,反函数的求法步骤 1、从y=f(x)中解出x;

2、求出原函数的值域即为反函数的定义域； 3，x 、y 互换并加注定义域即为所求

反函数存在的条件

y 是x 的函数，要求每个x 对应惟一一个y;

x 是y 的函数，要求每个y 对应惟一一个x;

所以：反函数存在

的等价条件是该函数的x 与y 一一对应

y=a x 在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y 一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数

思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x ）

??

??

?

?

?

===--的单调性，反函数与之具有相同原函数在定义域内单调

对称关于直线原函数与反函数的图象与值域对调原函数与反函数定义域x y x x f f y y f f )]([,)]([11

反函数的简单性质

1、原函数与反函数的定义域与值域对调

2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x （由于x 与y 一一对应）

3、原函数与反函数的图象关于直线y=x 对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性

1.求出函数y=log 2x

x -+11 (-1

解：2y

=x

x -+11,x=1212+-y

y (y ∈R) 反函数为：y=1212+-x x (X ∈R ) 2.求函数y=1+ 252-x (x ≤-5)的反函数(答：f -1(x)=

2622+-x x (x ≥1) 3..若函数f(x)= 的反函数为 求常数a,b,c 的值(答：a=5,b=2,c=1)

4.已知y=x2-2ax+3在[)+∞,1上存在反函数 ⑴求实数a 的范围;⑵求a 取得最值时相应的反函数解:⑴a ≤1

⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 故反函数为f -1(x)=1+2-x （x ≥2）

5.已知函数y=-x 的反函数是f -1(x) 求f -1

(-1)

6.若函数f(x)的图象过点（1，2），则f -1

(x)的图象一定经过点_________

7.若点(1,2)既在函数y=

x

a

+b,又在其反函数的图象上，求实数a,b 的值 8.已知()log (1)(01)x a f x a a a =->≠，且，（1）求其定义域；（2）解方程1(2)()f x f x -=

c bx a x ++125)(1

-

+-=-x x x f 2

1-+y