流过多少汗,流下多少泪,只为高考这一天;付出多少时间,付出多少努力,只为高考这一刻;高考这条路就算布满荆棘也要披荆而过,请相信天道酬勤,请相信付出一定会有回报,对自己充满信心,加油,祝高考成功顺利。百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|3410A x x x =-+≤,{
|B x y ==,则A B =( )
A .3(,1]4
B .3,14??????
C .13,34
??????
D .13
[,)34
2.已知实数m 、n 满足()(42)35m ni i i +-=+(i 为虚数单位),则在复平面内,复数
z m ni =+对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O 被3sin
6
y x π
=的图象分割为两个对称的鱼形图案,
其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A .
1
36
B .
18
1 C .
112
D .
19
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11927a a =+,则25S =( ) A .
145
2
B .145
C .
175
2
D .175
5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )
A .丙被录用了
B .乙被录用了
C .甲被录用了
D .无法确定谁被录用了
6.运行如图所示的程序框图,若输入的i a (1,2,i =…,10)分别为1.5、2.6、3.7、4.8、
7.2、
8.6、
9.1、5.3、6.9、7.0,则输出的值为( )
A .
49
B .
25
C .
12
D .
59
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体的体积为( )
A .
16
(1)3
π+ B .8(1)3
π+
C .
4
(23)3
π+ D .
4
(2)3
π+ 8.已知抛物线C :2
2(0)y px p =>的焦点F 到其准线l 的距离为2,过焦点且倾斜角为60?的直线与抛物线交于M ,N 两点,若'MM l ⊥,'NN l ⊥,垂足分别为'M ,'N ,则
''M N F ?的面积为( )
A
B
C
D
9.已知7cos(
)3sin()2
6π
παα+=+
,则tan()12
π
α+=( ) A
.4- B
.4
C
.4-
D
.4
10.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3
π
,向量122e e +与122e e λ+的夹角为23π,则λ=( )
A .2
3
-
B .3-
C .3-或2
3
- D .1-或3-
11.如图,在长方体1111ABCD A B C D -
中,AB =
11BB BC ==,点P 是长方体外的
一点,过点P 作直线l ,记直线l 与直线1AC ,BC 的夹角分别为1θ,2θ,若
1sin(50)θ-?2cos(140)θ=?-,则满足条件的直线l ( )
A .有1条
B .有2条
C .有3条
D .有4条
12.已知当(1,)x ∈+∞时,关于x 的方程ln (1)1x x k x
k
+-=-有唯一实数解,则距离k 最近
的整数为( ) A .2
B .3
C .4
D .5
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.2
10
(2018)()x y x y +-展开式中56
x y 的系数为 .
14.
函数2
()cos sin()2f x x x x π=-+在0,2π??
????
上的单调递增区间为 .
15.已知实数x ,y 满足20,
4,1,
x y x y y -≥??
+≤??≥?
则2y x +的取值范围为 .
16.已知双曲线C :22
221(0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点1F 且与双曲
线C 的一条渐进线垂直的直线l 与C 的两条渐进线分别交于M ,N 两点,若
11||2||NF MF =,则双曲线C 的渐进线方程为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且203
S
BA AC ?+
=,其中S 是ABC ?的面积,4
C π
=
.
(1)求cos B 的值;
(2)若24S =,求a 的值.
18.如图所示,在已知三棱柱ABF DCE -中,90ADE ∠=?,60ABC ∠=?,
2AB AD AF ==,平面ABCD ⊥平面ADEF ,点M 在线段BE 上,点G 是线段AD 的
中点.
(1)试确定点M 的位置,使得//AF 平面GMC ; (2)求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值.
19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.
(1)试估计该产品收益率的中位数;
(2)若该产品的售价x (元)与销量y (万份)之间有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据:
根据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为10.0y bx =-,求b 的值;
(3)若从表中五组销量数据中随机抽取两组,记其中销量超过6万份的组数为X ,求X 的分布列及期望.
20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若14m S -=-,0m S =,214m S +=(2m ≥,且*m N ∈)
. (1)求数列{}n a 的通项;
(2)求数列{}
3(6)2n n m a -+?的前n 项和.
21.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
,且过点,A ,B 是椭
圆C 上异于长轴端点的两点. (1)求椭圆C 的方程;
(2)已知直线l :8x =,
且1A A l ⊥,垂足为1A ,1BB l ⊥,垂足为1B ,若(3,0)D ,且11A B D
?的面积是ABD ?面积的5倍,求ABD ?面积的最大值. 22.已知函数()(2)x
f x x e =-. (1)求函数()f x 的单调递增区间;
(2)若2
()()2x g x f x e ax =+-,()h x x =,且对于任意的1x ,2(0,)x ∈+∞,都有
[][]1122()()()()0g x h x g x h x -->成立,求实数a 的取值范围.
百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学答案
一、选择题
1-5:BABDC 6-10:CABBB 11、12:DB
二、填空题
13.210 14.0,
3π?????? 15.14,55??
????
16.y x = 三、解答题
17.解:∵203S BA AC ?+
=,得1
3cos 2sin 2
bc A bc A =?,得sin 3cos A A =, 即222sin 9cos 9(1sin )A A A ==-,所以2
9sin 10
A =,
又3
(0,4A π∈),∴sin 0A >
,故sin A =
cos A =,
故
cos cos()cos cos sin sin 102102525
B A
C A C A C =-+=-+=-
+==.
(2)24S =,所以sin 48bc A =
,得bc =①,
由(1
)得cos 5B =
,所以sin 5
B =, 在AB
C ?中,由正弦定理,得
sin sin b c
B C =
2
=
联立①②,解得8b =
,c =222
2cos 72a b c bc A =+-=
,所以a =.
18.解:(1)取FE 的中点P ,连接CP 交BE 于点M ,M 点即为所求的点. 连接PG ,∵G 是AD 的中点,P 是FE 的中点,∴//PG AF , 又PG ?平面MGC ,AF ?平面MGC ,所以直线//AF 平面MGC , ∵//PE AD ,//AD BC ,∴//PE BC ,∴2BM BC
ME PE
==, 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点. (2)不妨设2AD =,由(1)知PG AD ⊥, 又平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF
平面ABCD AD =,
PG ?平面ADEF ,∴PG ⊥平面ABCD .
故PG GD ⊥,PG GC ⊥,以G 为坐标原点,GC ,GD ,GP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系G xyz -,
∵60ABC ∠=?,2AB AD AF ==, ∴ADC ?
为正三角形,GC =
∴(0,0,0)G
,C ,(0,1,0)D ,(0,1,1)E , ∴(0,1,1)GE =,(3,0,0)GC =,
设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =,则由10n GE ?=,10n GC ?=
可得0,
0,
y z +=??=令
1y =,则1(0,1,1)n =-,
∵(CD =BA =,且(0,1,0)A -
,故2,0)B -
,故(2,0)BG =, 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14
sin 7||||
n BG n BG θ?=
=?.
19.解:(1)依题意,设中位数为x ,0.3 2.5(0.2)0.5x +?-=,解得0.28x =.
(2)25303845521903855x ++++=
==,7.57.1 6.0 5.6 4.831
6.255
y ++++===,
∴10.0 6.2
0.138
b -=
=. (3)X 的可能取值为0,1,2,故(0)P X =0223253
10C C C ==,11232
56(1)10
C C P X C ===,
20232
51
(2)10
C C P X C ===, 故X 的分布列为
故6()10105
E X =
+=. 20.解:(1)由已知得14m m m a S S -=-=,且12214m m m m a a S S ++++=-=, 设数列{}n a 的公差为d ,则由2314m a d +=,∴2d =, 由0m S =,得1(1)
202
m m ma -+
?=,即11a m =-,∴1(1)214m a a m m =+-?=-=,
∴5m =,故26n a n =-.
(2)32
(6)252n n n m a n --+?=?;下面先求{}
22n n -?的前n 项和n T ,
10321222(1)22n n n T n n ---=?+?++-?+?…①; 012121222(1)22n n n T n n --=?+?++-?+?…②;
两式相减得
102
1
222
2
n n n T n ----=+++-?…11112(12)1222122
n n n n n n -----=-?=--?-,
∴1
1
(1)2
2
n n T n -=-?+(*n N ∈)
. 故{}
3(6)2n n m a -+?的前n 项和为1
55(1)2
2
n n --?+. 21.解:(1)依题意222221,
2123
1,,c a a b a b c ?=??
?+=???=+??
解得4,2,a b c =??=??=?
故椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=. (2)设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1
|3|||2
ABD A B S r y y ?=
-?-,
11111
5||2
A B D A B S y y ?=??-,
由于115A B D ABD S S ??=且11||||A B A B y y y y -=-, 得55|3|r =?-,4r =(舍去)或2r =, 即直线AB 经过点(2,0)F ,
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 的直线方程为:2x my =+,
由22
2,3448,x my x y =+??+=?即22
(34)12360m y my ++-=, 1221234m y y m -+=
+,12
236
34
y y m -=+,
121||2ABD
S y y ?=-=
=
=,
令1t =,所以2
1212
1313ABD t S t t t
?=
=++, 因为1
1
333()t t t t
+=+,所以13t t +
在)+∞上单调递增,所以在[1,)t ∈+∞上单调递增, 所以1
34t t
+≥,所以3ABD S ?≤
(当且仅当1t ==,即0m =时“=”成立),
故ABD S ?的最大值为3.
22.解:(1)依题意,'()(2)(1)x
x
x
f x e x e x e =+-=-,
令'()0f x >,解得1x >,故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞. (2)当11()()0g x h x ->,对任意的2(0,)x ∈+∞,都有22()()0g x h x ->; 当11()()0g x h x -<时,对任意的2(0,)x ∈+∞,都有22()()0g x h x -<;
故()()0g x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立,或()()0g x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立, 而()()(1)x
g x h x x e ax -=--,设函数()1x
p x e ax =--,(0,)x ∈+∞.
则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立,或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立,'()x
p x e a =-, ①当1a ≤时,∵(0,)x ∈+∞,∴1x
e >,∴'()0p x >恒成立,
∴()p x 在(0,)x ∈+∞上单调递增,(0)0p =, 故()0p x >在(0,)+∞上恒成立,符合题意.
②当1a >时,令'()0p x =,得ln x a =,令'()0p x <,得0ln x a <<, 故()p x 在(0,ln )a 上单调递减,所以(ln )(0)0p a p <=, 而2
()1a
p a e a =--,设函数2
()1a
a e a ?=--,(1,)a ∈+∞,
则'()2a
a e a ?=-,令()2a
H a e a =-,则'()2a
H a e =->((1,)a ∈+∞)恒成立,
∴'()a ?在(1,)+∞上单调递增,∴'()'(1)20a e ??>=->恒成立, ∴()a ?在(1,)+∞上单调递增,∴()a ?(1)20e ?>=->恒成立, 即()0p a >,而(ln )0p a <,不合题意. 综上,故实数a 的取值范围为(,1]-∞.