吉林省百校联盟高三TOP20九月联考(全国II卷)数学(理)试题

流过多少汗，流下多少泪，只为高考这一天；付出多少时间，付出多少努力，只为高考这一刻；高考这条路就算布满荆棘也要披荆而过，请相信天道酬勤，请相信付出一定会有回报，对自己充满信心，加油，祝高考成功顺利。百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

2|3410A x x x =-+≤,{

|B x y ==,则A B =( )

A ．3(,1]4

B ．3,14??????

C ．13,34

??????

D ．13

[,)34

2.已知实数m 、n 满足()(42)35m ni i i +-=+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数

z m ni =+对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin

6

y x π

=的图象分割为两个对称的鱼形图案，

其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A ．

1

36

B ．

18

1 C ．

112

D ．

19

4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11927a a =+，则25S =（ ） A ．

145

2

B ．145

C ．

175

2

D ．175

5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）

A ．丙被录用了

B ．乙被录用了

C ．甲被录用了

D ．无法确定谁被录用了

6.运行如图所示的程序框图，若输入的i a （1,2,i =…，10）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、

7.2、

8.6、

9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）

A ．

49

B ．

25

C ．

12

D ．

59

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）

A ．

16

(1)3

π+ B ．8(1)3

π+

C ．

4

(23)3

π+ D ．

4

(2)3

π+ 8.已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点F 到其准线l 的距离为2，过焦点且倾斜角为60?的直线与抛物线交于M ，N 两点，若'MM l ⊥，'NN l ⊥，垂足分别为'M ，'N ，则

''M N F ?的面积为（ ）

A

B

C

D

9.已知7cos(

)3sin()2

6π

παα+=+

，则tan()12

π

α+=（ ） A

．4- B

．4

C

．4-

D

．4

10.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3

π

，向量122e e +与122e e λ+的夹角为23π，则λ=（ ）

A ．2

3

-

B ．3-

C ．3-或2

3

- D ．1-或3-

11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -

中，AB =

11BB BC ==，点P 是长方体外的

一点，过点P 作直线l ，记直线l 与直线1AC ，BC 的夹角分别为1θ，2θ，若

1sin(50)θ-?2cos(140)θ=?-，则满足条件的直线l （ ）

A ．有1条

B ．有2条

C ．有3条

D ．有4条

12.已知当(1,)x ∈+∞时，关于x 的方程ln (1)1x x k x

k

+-=-有唯一实数解，则距离k 最近

的整数为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.2

10

(2018)()x y x y +-展开式中56

x y 的系数为 ．

14.

函数2

()cos sin()2f x x x x π=-+在0,2π??

????

上的单调递增区间为 ．

15.已知实数x ，y 满足20,

4,1,

x y x y y -≥??

+≤??≥?

则2y x +的取值范围为 ．

16.已知双曲线C ：22

221(0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且与双曲

线C 的一条渐进线垂直的直线l 与C 的两条渐进线分别交于M ，N 两点，若

11||2||NF MF =，则双曲线C 的渐进线方程为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且203

S

BA AC ?+

=，其中S 是ABC ?的面积，4

C π

=

．

（1）求cos B 的值；

（2）若24S =，求a 的值．

18.如图所示，在已知三棱柱ABF DCE -中，90ADE ∠=?，60ABC ∠=?，

2AB AD AF ==，平面ABCD ⊥平面ADEF ，点M 在线段BE 上，点G 是线段AD 的

中点．

（1）试确定点M 的位置，使得//AF 平面GMC ； （2）求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值．

19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示．

（1）试估计该产品收益率的中位数；

（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据：

根据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为10.0y bx =-，求b 的值；

（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X ，求X 的分布列及期望．

20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（2m ≥，且*m N ∈）

． （1）求数列{}n a 的通项；

（2）求数列{}

3(6)2n n m a -+?的前n 项和．

21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

2

，且过点，A ，B 是椭

圆C 上异于长轴端点的两点． （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知直线l ：8x =，

且1A A l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若(3,0)D ，且11A B D

?的面积是ABD ?面积的5倍，求ABD ?面积的最大值． 22.已知函数()(2)x

f x x e =-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）若2

()()2x g x f x e ax =+-，()h x x =，且对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，都有

[][]1122()()()()0g x h x g x h x -->成立，求实数a 的取值范围．

百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)理科数学答案

一、选择题

1-5:BABDC 6-10:CABBB 11、12：DB

二、填空题

13.210 14.0,

3π?????? 15.14,55??

????

16.y x = 三、解答题

17.解:∵203S BA AC ?+

=，得1

3cos 2sin 2

bc A bc A =?，得sin 3cos A A =， 即222sin 9cos 9(1sin )A A A ==-，所以2

9sin 10

A =，

又3

(0,4A π∈），∴sin 0A >

，故sin A =

cos A =，

故

cos cos()cos cos sin sin 102102525

B A

C A C A C =-+=-+=-

+==．

（2）24S =，所以sin 48bc A =

，得bc =①，

由（1

）得cos 5B =

，所以sin 5

B =， 在AB

C ?中，由正弦定理，得

sin sin b c

B C =

2

=

联立①②，解得8b =

，c =222

2cos 72a b c bc A =+-=

，所以a =．

18.解：（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点． 连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ， 又PG ?平面MGC ，AF ?平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ， ∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BC

ME PE

==， 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点． （2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥， 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF

平面ABCD AD =，

PG ?平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．

故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，

∵60ABC ∠=?，2AB AD AF ==， ∴ADC ?

为正三角形，GC =

∴(0,0,0)G

，C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ， ∴(0,1,1)GE =，(3,0,0)GC =，

设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =，则由10n GE ?=，10n GC ?=

可得0,

0,

y z +=??=令

1y =，则1(0,1,1)n =-，

∵(CD =BA =，且(0,1,0)A -

，故2,0)B -

，故(2,0)BG =， 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14

sin 7||||

n BG n BG θ?=

=?．

19.解：（1）依题意，设中位数为x ，0.3 2.5(0.2)0.5x +?-=，解得0.28x =．

（2）25303845521903855x ++++=

==，7.57.1 6.0 5.6 4.831

6.255

y ++++===，

∴10.0 6.2

0.138

b -=

=． （3）X 的可能取值为0,1,2，故(0)P X =0223253

10C C C ==，11232

56(1)10

C C P X C ===，

20232

51

(2)10

C C P X C ===， 故X 的分布列为

故6()10105

E X =

+=． 20.解：（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=， 设数列{}n a 的公差为d ，则由2314m a d +=，∴2d =， 由0m S =，得1(1)

202

m m ma -+

?=，即11a m =-，∴1(1)214m a a m m =+-?=-=，

∴5m =，故26n a n =-．

（2）32

(6)252n n n m a n --+?=?；下面先求{}

22n n -?的前n 项和n T ，

10321222(1)22n n n T n n ---=?+?++-?+?…①； 012121222(1)22n n n T n n --=?+?++-?+?…②；

两式相减得

102

1

222

2

n n n T n ----=+++-?…11112(12)1222122

n n n n n n -----=-?=--?-，

∴1

1

(1)2

2

n n T n -=-?+（*n N ∈）

． 故{}

3(6)2n n m a -+?的前n 项和为1

55(1)2

2

n n --?+． 21.解：（1）依题意222221,

2123

1,,c a a b a b c ?=??

?+=???=+??

解得4,2,a b c =??=??=?

故椭圆C 的方程为

22

11612

x y +=． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1

|3|||2

ABD A B S r y y ?=

-?-，

11111

5||2

A B D A B S y y ?=??-，

由于115A B D ABD S S ??=且11||||A B A B y y y y -=-， 得55|3|r =?-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+，

由22

2,3448,x my x y =+??+=?即22

(34)12360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=

+，12

236

34

y y m -=+，

121||2ABD

S y y ?=-=

=

=，

令1t =，所以2

1212

1313ABD t S t t t

?=

=++， 因为1

1

333()t t t t

+=+，所以13t t +

在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以1

34t t

+≥，所以3ABD S ?≤

（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立），

故ABD S ?的最大值为3．

22.解：（1）依题意，'()(2)(1)x

x

x

f x e x e x e =+-=-，

令'()0f x >，解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞． （2）当11()()0g x h x ->，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x ->； 当11()()0g x h x -<时，对任意的2(0,)x ∈+∞，都有22()()0g x h x -<；

故()()0g x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，或()()0g x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立， 而()()(1)x

g x h x x e ax -=--，设函数()1x

p x e ax =--，(0,)x ∈+∞．

则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立，或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立，'()x

p x e a =-， ①当1a ≤时，∵(0,)x ∈+∞,∴1x

e >，∴'()0p x >恒成立，

∴()p x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，(0)0p =， 故()0p x >在(0,)+∞上恒成立，符合题意．

②当1a >时，令'()0p x =，得ln x a =，令'()0p x <，得0ln x a <<， 故()p x 在(0,ln )a 上单调递减，所以(ln )(0)0p a p <=， 而2

()1a

p a e a =--，设函数2

()1a

a e a ?=--，(1,)a ∈+∞，

则'()2a

a e a ?=-，令()2a

H a e a =-，则'()2a

H a e =->（(1,)a ∈+∞）恒成立，

∴'()a ?在(1,)+∞上单调递增，∴'()'(1)20a e ??>=->恒成立， ∴()a ?在(1,)+∞上单调递增，∴()a ?(1)20e ?>=->恒成立， 即()0p a >，而(ln )0p a <，不合题意． 综上，故实数a 的取值范围为(,1]-∞.