概率论和数理统计习题集与答案解析
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件
1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；
(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；
B ：两次出现同一面，则= ；
C ：至少有一次出现正面，则C= .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：
(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则
(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .
§1 .4 古典概型
1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.
2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。
§1 .6 全概率公式
1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个
签，说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随
机地取一个球，求取到红球的概率。
§1 .7 贝叶斯公式
1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）
该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。
2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，
B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？
§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。
A B L R C D
2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相
互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案
§1 .1 1：（1）},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =； （2）}3,2,
1,0{=S
2：（1）}6,5,4,3{}5,3,
1{==B A ；
（2）{=A 正正，正反{},=B 正正，反反{},=C 正正，正反，反正}。 §1 .2 1： (1) ABC ；(2) C AB ；(3) C B A ；(4)C B A ??；(5) BC AC AB ??；
(6) C B C A B A ?? 或 C B A C B A C B A C B A +++；
2： (1)
}
41:{<<=?x x B A ；(2)
}
32:{≤≤=x x AB ；
(3)}43:{<<=x x B A ；
（4）10:{≤≤=?x x B A 或}52≤≤x ；（5）}41:{<<=x x B A 。
§1 .3 1： (1) )(AB P =0.3, (2))(B A P = 0.2, (3) )(B A P ? = 0.7. 2：)(B A P )=0.4.
§1 .4 1：(1)103082228/C C C ,(2)(103082228922181022/C C C C C C ）（++,(3)1-(10
30922181022/C C C C ）+.
2： 3
344/P .
§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。
§1 .6 1： 设A 表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10
设B 表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A ) =
10
2
9210891102=?+? 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：
p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45
§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993； §1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性
P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)
= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)
424222p p p p p -=-+=
2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量
1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.
2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。
0 分布和泊松分布
§2.2 1
1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；
(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；
2 设随机变量X有分布律： X 2
3 , Y～π(X), 试求：
p 0.4 0.6
（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布
1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻
(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？
(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？
(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？
(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？
2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概
率不小于0.9 ？
§2.4 随机变量的分布函数
1设随机变量X 的分布函数是： F(x) = ??
?
??≥<≤--<11115.010
x x x
（1）求 P(X ≤0 )； P ()10≤ 2 设随机变量X 的分布函数是：F(x) = ??? ??≤>+0 01x x x Ax , 求（1）常数A, (2) P ()21≤ §2.5 连续型随机变量 1 设连续型随机变量X 的密度函数为：? ??<<=他其01 0)(x kx x f （1）求常数k 的值；（2）求X 的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形， （3）用二种方法计算 P(- 0.5 2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为：F(x) = ?? ? ??≥<≤ (1)求X 的密度函数)(x f ，画出)(x f 的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5). §2.6 均匀分布和指数分布 1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42 x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面 走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2 2 某产品的质量指标X 服从正态分布，μ=160，若要求P(120 §2.8 随机变量函数的分布 1设随机变量X 的分布律为； Y = 2X – 1, 求随机变量的分布律。 2设随机变量X 的密度函数为：?? ?<<-=他其0 1 0)1(2)(x x x f ， 2X Y =；求随机变量Y 的密度函数。 3. 设随机变量X 服从（0， 1）上的均匀分布，X Y ln 2-= ，求随机变量Y 的密度函数。 第2章作业答案 §2.1 1： p 0.1 0.3 0.6 2： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X ≥1) – P(X ≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X ≥1) = 0.981684, (3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式： P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (222 22---++e e e )= 22-e （2）由全概率公式：P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3) = 0.4×52 -e + 0.6× 3 2 17-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y ≤2)= 516.052458 .027067 .0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P §2.3 1： 设X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6), (1) P( X = 2 ) = 32254.06.0C (2) P(X ≥3 ) = 5 44523356.04.06.04.06.0++C C (3) P(X ≤3 ) = 1 - 54456.04.06.0-C (4)P(X ≥1 ) = 1 - 5 4.0 2： 至少必须进行11次独立射击. §2.4 1：（1）P(X ≤0 )=0.5； P ()10≤ (2) X 的分布律为： 2： (1) A = 1, (2) P ()21≤ §2.5 1：（1）2=k ，（2）?? ???≥<≤<=1 11000)(2 x x x x x F ； （3）P(- 0.5 4 120)(5 .00 5 .05 .05 .0= +=??? --xdx dx dx x f ； 或= F(0,5) – F(-0.5) = 4 1041=-。 2： （1）???<<=他其01/1)(e x x x f （2）2ln 1)2(-=>X P §2.6 1： 3/5 2： 422 )2()1(----e e e §2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：σ≤31.25。 §2.8 1： p 0.3 0.4 0.3 2： ?? ? ??<<-=他其010)1(1)(y y y y f Y ， 3： ?????≤>=-0 002 1)(2/y y e y f y Y ； 第3章 多维随机变量 §3.1 二维离散型随机变量 1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球 个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量),(Y X 试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1)6.0)1(==X P ；(2)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。 §3.2 二维连续型随机变量 1. )(Y X 、的联合密度函数为：?? ?<<<<+=他其0 1 0,10)(),(y x y x k y x f 求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。 2．)(Y X 、的联合密度函数为：? ? ?<<<<=他其00,10),(x y x kxy y x f 求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。 §3.3 边缘密度函数 1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。 +∞<<∞-+∞<<∞-++= y x y x y x f ,) 1)(1(1 ),(222π 2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。 ?? ?<<=-他 其0 0),(x y e y x f x §3.4 随机变量的独立性 1. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1) 3/1)1(==Y P ；(2) 5.0)2|1(==>Y X P ； （3）已知X 与Y 相互独立。 2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c ，并讨论X 与Y 是否相互独立？ ?? ?<<<<=他 其 10,10),(2 y x cxy y x f *§3.5 多个随机变量的函数的分布 *§3.6 几种特殊随机变量函数的分布 第3章作业答案 §3.1 1： ： (1) a=0.1 b=0.3 §3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1： +∞<<∞-+=++= ?∞+∞-x x dy y x x f X ) 1(2 )1)(1(1)(2222ππ； +∞<<∞-+= ++=? ∞+∞ -y y dx y x y f Y ) 1(2) 1)(1(1 )(2222ππ； 2： ?? ?≤>=-000 )(x x xe x f x X ； ???≤>=-0 )(y y e y f y Y ； §3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X 与Y 相互独立。 第4章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是： （A ）1； （B ）1.2； （C ）1.5； （D ）2. 2. 设X 有密度函数：?? ? ??=0 83)(2 x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求 X 大于数学期望)(X E 的概率。 3. 设二维随机变量),(Y X 已知65.0)(=XY E ，则a 和b 的值是： （A ）a=0.1, b=0.3； （B ）a=0.3, b=0.1； （C ）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。 4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求)1(,,+XY E EY EX 。 ???<<<<=他其 02 0,10),(y x xy y x f §4.2 数学期望的性质 1．设X 有分布律： X 0 1 2 3 则)32(2 +-X X E 是： p 0.1 0.2 0.3 0.4 （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4. 2. 设),(Y X 有?????<<=他其0 1 45 ),(2y x y y x f ，试验证 )()()(Y E X E XY E =，但X 与Y 不 相互独立。 §4.3 方差 1．丢一颗均匀的骰子，用X 表示点数，求DX EX ,. 2．X 有密度函数：?? ?+=0 4 /)1()(x x f 他其20≤≤x ，求 D(X). §4.4 常见的几种随机变量的期望与方差 1． 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立，则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是： （A ）-1.6和4.88； （B ）-1和4； （C ）1.6和4.88； （D ）1.6和-4.88. 2. 设)3,4(~), ,(~N Y b a U X ，X 与Y 有相同的期望和方差，求b a ,的值。 （A ） 0和8； （B ） 1和7； （C ） 2和6； （D ） 3和5. §4.5 协方差与相关系数 1．随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下：试求协方差 ),(Y X Cov 和相关系数XY ρ， 2．设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试求协方差 ),(Y X Cov 和相关系数XY ρ， ?? ?<<<<+=他其0 1 0,10),(y x y x y x f §4.6 独立性与不相关性 矩 1．下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 相关，则X 与Y 不相互独立； （C ）)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 相互独立； （D ）)()(),(y f x f y x f Y X =，则X 与Y 不相关； 2．若 0),(=Y X COV ，则不正确的是（ ） （A ）)()()(Y E X E XY E =；（B ）)()()(Y E X E Y X E +=+； （C ）)()()(Y D X D XY D =；（D ）)()()(Y D X D Y X D +=+； 3．（Y X ,）有联合分布律如下，试分析X 与Y 的相关性和独立性。 4．)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的（ ） （A ）必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也不充分。 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的（ ） （A ） 必要条件；（B ）充分条件：（C ）充要条件；（D ）既不必要，也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X 与Y 不相关，但不独立。 ???<<=他其014/21),(22y x y x y x f 第4章作业答案 §4.1 1： B ； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D ； 4： 2/3，4/3，17/9； §4.2 1： D ； §4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36； §4.4 1：A ； 2： B ； §4.5 1：0.2， 0.355； 2：－1/144, －1/11； §4.6 1：C ； 2：C ； 3：X 与Y 不相关，但X 与Y 不相互独立；4：C ；5：A ； 第5章 极限定理 *§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理 1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在 用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。 2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理 分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841； 第6章 数理统计基础 §6.1 数理统计中的几个概念 1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则 样本均值X = ，样本均方差=S ，样本方差=2 S 。 2．设总体方差为2 b 有样本n X X X ,,,21 ，样本均值为X ，则=),(1X X Cov 。 §6.2 数理统计中常用的三个分布 1. 查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z = ，)5(2 1.0χ= ，)10(9.0t = 。 2．设n X X X ,,,21 是总体)(2 m χ的样本，求)(), (X D X E 。 §6.3 一个正态总体的三个统计量的分布 1．设总体),(~2 σμN X ，样本n X X X ,,,21 ，样本均值X ，样本方差2 S ，则 ~/n X σμ - ， ~/n S X μ - ， ∑=-n i i X X 1 2 2 )(1 σ～ ， ∑=-n i i X 1 22 )(1 μσ～ ， *§6.4 二个正态总体的三个统计量的分布 第6章作业答案 §6.1 1．0646.0,254.0, 57.12===s s x ； 2. n b X X Cov /),(21=； §6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．n m X D m X E /2)(,)(==； §6.3 1.)(),1(), 1(),1,0(22n n n t N χχ--； 第7章 参数估计 §7.1 矩估计法和顺序统计量法 1.设总体X 的密度函数为：???? ?≤≤=-他 其 10)(1 x x x f θθ，有样本n X X X ,,,21 ，求未 知参数θ 的矩估计。 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。 §7.2 极大似然估计 1.设总体X 的密度函数为：???? ?≤≤+=他 其 10)1()(x x x f θ θ，有样本n X X X ,,,21 ，求 未知参数θ 的极大似然估计。 §7.3 估计量的评价标准 1.设总体X 服从区间)1,(a 上的均匀分布，有样本n X X X ,,,21 ，证明=a ?12-X 是a 的无偏估计。 2.设总体X ～)(λπ，有样本n X X X ,,,21 ，证明2 )1(S a X a -+是参数λ的无偏估计
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