连续函数及连续函数的性质
连续函数及连续函数的性质
张柏忱
数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434
摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、
一． 连续函数概念
已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a
x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也
一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。
定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a
x =→ （1）
则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。
函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。
用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x
将（1）式极限改写为、
0)]()([lim =-→a f x f a
x （2）
设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=?
y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式
函数.0lim )(0
=??→?y a x f x 连续在
有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==-
+
→→a f a f x f a f a f x f a
x a
x
则称函数a x f 在)(右连续（左连续）。 根据2.3定理3，有
a x f a x f 在连续在)()(?既右连续又左连续或 )()(lim )(lim )()(lim a f x f x f a f x f a
x a
x a
x ==?=-
+
→→→.
定义 若函数)(x f 在区间I 的每一点都连续（若区间I 左（右）端点属于I 函数)(x f 在左（右）端点右连续（左连续）），则称)(x f 在区间I 连续。
二． 间断点及其分类
定义 若函数
a
x f 在)(不满足连续定义的条件，则称函数)()(x f a a x f 是函数间断（或不联系），
在的间断点（或不连续点）
。 定 义 设函数)()(a U x f 在邻域有定义。
1）若)0()0()()0()0(+=-≠+=-a f a f a f a f a f 或，但)(a f 无意义，则称a 是函数
)(x f 可去间断点；
2）若)0()0(+-a f a f 与皆存在，且)0()0(+≠-a f a f ，则称)(x f a 是函数的第一类间断点；
3）若)0()0(+-a f a f 与之中有一个不存在或发散到∞，则称a 是函数)(x f 的第二类间断点。
点)(x f a 是函数的可去间断点的特征是
)()(,)(lim a f a f A A x f a
x 或但≠=→无意义。
因此，当可去间断点仅有有限个时，人们可改变函数a x f 在)(的极限值或补充函数a x f 在)(的值，使)()(lim a f x f a
x =→，则
?????==≠=→a x a f x f a x x f x F a
x ),()(lim ),()(
这样新函数a x F 在)(就连续了。而函数)()(x F x f 与仅在个别的可去不连续点上有差别，二者在分析性质上（如可积性等）无重大差异，在讨论这样的函数性质可同等对待，者就是
“可去”二字的含意。可去间断点也认为属于第一类间断点。
例3点0是函数x x x f /sin )(=的可去间断点。 事实上，已知x x x /sin lim 0
→，即
,1)00()00(=-=+f f
但点0不属于函数x x x f /sin )(=的定义域，而)0(f 无意义。于是，点0是函数
x x x f /sin )(=的可去间断点。补充点0的函数值为1，即 ???
??==≠=→.0,1/s i n lim ,0,/sin )(0
x x x x x x x F x
于是，函数x x x F /sin )(=在点0就连续了。称)()(x f x F 是在点0的连续开拓。
例4点0是函数??
?
??<-=>=的第一类间断点
0,1,0,00
,1sin x x x x 。
事实上，已知,1sgn lim )00(0
==++
→x f x
1s g n lim )00(0
-==--
→x f x
即)00()00(-+f f 与都存在。且).00()00(+≠-f f 从而点0是函数x sgn 的第一类间断点。
例5狄利克雷函数
???=是无理数
，当是有理数当x x x D 0,1)(
R x ∈?都是间断点，而且每个点都是第二类间断点。
事实上，R x ∈? 不讨论x 时有理数或无理数，存在有理数列
{})(,∞→→n x r r n
n 使，也存在无理数列{})(,∞→→n x a a n n 使，有
11lim )(lim ==∞
→∞
→n n n r D ， 00lim )(lim ==∞
→∞
→n n n a D .
即)(x D 在任意点x 都不存在极限，于是，每一点R x ∈都是第二类间断点。 注 关于函数的间断点，自然要问：
1）是否存在函数)(),(,),(:)(x f b a R b a x f 的使属于→所有间断点在),(b a 稠密，而且都是第一类间断点？
2) 是否存在函数)(),(,),(:)(x f b a R b a x f 的使属于→所有间断点在),(b a 稠密，而
且都是第二类间断点？
这个问题的回答是肯定的。例如，黎曼函数),()(b a x R 在中每个无理点都连续，而在
),(b a 中每个有理点都是间断点，且在),(b a 稠密，而且是第一类间断点。再例如，狄利
克雷函数R x x D ∈?),(都是间断点，当然间断点在R 稠密，而且每个点都是第二类间断点。
三． 连续函数的局部性质
根据极限四则运算定理及函数连续的定义，立即可得连续函数的四则运算定理。 定理1 若函数a x g x f 都在与)()(连续，则它们的和，差，积，商函数 )()(x g x f ±，)()(x g x f ，)(/)(x g x f ，（0)(≠x g ）
在a 也连续。
由复合函数求极限定理及函数连续的定义，立即可得复合函数连续性的定理。
定理2 若函数a x y 在)(?=连续，且)(a b ?=，而函数)(y f z =在b 连续，则复合函数a x f z 在)]([?=连续。
证明 已知b y f z 在)(=连续，即ηηε<-?>?>?|:|,0,0b y y ，有 ε<-|)()(|b f y f
又已知a x y 在)(?=连续，且)(a b ?=，奇对上述，有 .|||)()(|η??<-=-b y a x
于是，δδηε<-?>?>?>?|:|,0),0(,0a x x 从而，有 （从而,|||)()(|η??<-=-b y a x ） .|)()(||)]([)]([|ε??<-=-b f y f a f x f
已知指数函数R a a y f y
在)0()(>=连续，正弦函数R x y 在sin =连续，从而它们的复合函数x
a
x f sin )(sin =在其定义域R 也连续。
与极限的局部保号性类似，有连续函数的局部保号性定理。
定理3（局部保号性） 若函数a x f 在)(连续，且),0)((0)(<>a f a f 则
,|:|,0δδ<-?>?a x x 有).0)((0)(<>a f x f
证明 已知0)()(lim >=→a f x f a
x ，即δδ<-?>?>?|:|,0,02/)(a x x a f ，有
2/)(|)()(|a f a f x f <- 或 ).(2/)()(x f a f a f <- 于是，δ<-?|:|a x x ，有
.02/)(2/)()()(>=->a f a f a f x f 同法可证：0)( 四． 闭区间连续函数的整体性质 闭区间的连续函数有几个理想的整体性质，这些性质的几何意义都十分明显。它们的证明要用到实数的连续性。 定理4（有界性） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 有界，即],[,0b a x M ∈?>?，有 .|)(|M x f ≤ 一般来说，开区间（或半开区间）的连续函数不一定有界。例如，在半开区间]1,0(，连续函数x x f /1)(=无界。 定理5（最值性） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 能取到最小值m 与最大值M ，即],[,21b a x x ∈?，使m x f =)(1与M x f =)(2，且],[b a x ∈?，有 M x f m ≤≤)( 一般来说，开区间连续函数可能取不到最大值或最小值。例如，函数x x f =)(在开区间)1,0(既取不到最大值，也取不到最小值。 引理 （零点定理） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且0)()( .0)(=c f 引理的几何意义是，在闭区间],[b a 的连续曲线)(x f y =，且连续曲线的始点)) (,(a f a 与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则此连续曲线至少与x 轴有一个交点。 定理6（介值性） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，m 与M 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 的最小值与最大值，ξ是m 与M 之间任意数（即M m ≤≤ξ），则在闭区间],[b a 至少存在一点c ，使得 ξ=)(c f 证明 如果M m =，则函数)(x f 在],[b a 是常数。显然，定理成立。 如果M m <，根据定理5，闭区间],[b a 上必存在两点1x 与2x ，使m x f =)(1，M x f =)(2。 不妨设21x x <，且b x x a ≥≤≤21。已知)()(21x f x f ≤≤ξ。如果ξ=)(1x f 或ξ=)(2x f ，则1x c =或2x c =，定理成立。只需证明)()(21x f x f <<ξ的情况。作辅助函数 ξ?-=)()(x f x 根据定理1，函数)(x ?在闭区间],[b a 连续，从而在闭区间],[21x x 也连续，且 0)()(11<-=ξ?x f x 与 0)()(22>-=ξ?x f x 根据引理，在闭区间),(21x x 至少存在一点c ，使0)(=c ?或0)(=-ξc f ，即 .)(ξ=c f 注 在定理6的证明中，辅助函数)(x ?的图像就是函数)(x f 的图像沿y 轴向下平行移动ξ一段距离。这样把一般情况化成了满足引理条件的特殊情况。根据引理，定理6就得到了证明。 五． 反函数的连续性 若函数)(x f y =在数集A 严格增加（严格减少），则函数)(x f y =存在反函数)(1 y f x -=， 且反函数)(1 y f x -=在)(A f 也严格增加（严格减少）。 若数集A 是区间I ，且函数)(x f y =在区间I 是严格单调的连续函数。根据定理5和定理6，不难证明，)(I f 也是区间，那么反函数)(1 y f x -=在区间)(I f 是否仍保持连续性 呢？有下面定理： 定理7 若函数)(y x f =在区间I 连续，且严格增加（严格减少），则反函数 )(1 y f x -=在)(I f 也连续。 证明 )(I f ∈?η.根据定理6与)(x f 在区间I 严格增加，存在唯一一个I ∈ξ，使 ηξ=)(f 或 .)(1 ξη=-f 不妨设ξ在区间I 内部（当ξ是I 的端点时，同法证明） 0>?ε，使（εξεξ+-,）I ?，设 1)(ηεξ=-f 与 2)(ηεξ=+f 或 ηξη-=-)(11 f 与 .)(21 εξη+=-f 显然，21ηηη<<取}.,min{21ηηηηδ--=于是，δη<-?|:|y y ，有21ηη< y f x -=严格增加，有 )()()(21 1 11 ηη---< y f f 或 εξεξ+<<--)(1 y f ， 或 εξ<--|)(|1y f 或 εη<---|)()(|1 1 f y f ， 即反函数)(1 y f x -=在η连续，从而反函数)(1 y f x -=在)(I f 连续。 六． 初等函数在其定义域连续 这个结论对判别函数的连续性和求函数极限都很方便。例如，若函数)(x f 是初等函数，且点0x 或区间I 属于函数)(x f 的定义域，那么函数)(x f 在点0x 或在区间I 连续。 参考文献：《数学分析讲义》 《数学分析讲义学习指导书》 《数学分析教学全解》2007年5月于长春东北师大 第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子： 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我 们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当 时，成立，则称函数当时为无穷大量。 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函 数当x→∞时是无穷大量，记为：。 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量. 记作：(或) 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。 定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。 § 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。 定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。 定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x < （或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切 0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。 注： 在具体应用局部保号性时，常取01 ()2 r f x =， 则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01 ()()2 f x f x > 。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,, f f g f g g ±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合 函数g f 在点0x 连续。 证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有 0|()()|g u g u ε-<。 （1） 又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>， 使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任 给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε -<。 这就证明了g f 在点0x 连续。 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→== 定理 5 ()x f x x 0 lim →存在的充要条件是()() 0lim 00 0+=+→x f x f x x 与 ()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0 0lim ()x f x x 00 lim -→=，从 而对任给的0>ε，存在01>δ和02 >δ，当 100δ<- 特征函数的概念及意义 目录： 一．特征函数的定义。 二．常用分布的特征函数。 三．特征函数的应用。 四．绪论。 一．特征函数的定义 设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =? 2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！ ，k=0,1， ，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用 求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=, 根式函数b ax y += 2的性质及其应用 摘要： 关键词： 1、 引言 高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、 性质归纳 性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b 性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称 将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、 典例分析 例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图) )(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--. §2.2 连续函数的性质连续函数的局部性质 若函数f 在点x 0 连续，则f 在点x 有极限，且极限值等于函数 值f (x ) 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在U (x0 ) 的性态。 定理1（局部有界性）若函数f 在点x 0 连续，则f 在某U (x ) 内有 界。 定理2（局部保号性）若函数f 在点x 0连续，且f (x ) > 0 （或< 0 ）， 则对任何正数r < f (x ) （或r <-f (x0) ），存在某U(x0)，使得对一切x ∈U (x0 ) 有f (x) >r （或f (x) <-r ）。 注：在具体应用局部保号性时，常取r =1 f (x ) ，则当f (x ) > 0 2 0 0 时，存在某U (x ) ，使在其内有f (x) >1 f (x ) 。 0 2 0 定理3（四则运算）若函数f 和g 在点x0连续，则f±g, f?g, f g （这里g(x ) ≠ 0 ）也都在点x0 连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点x 0 连续，g 在点u 连续，u =f (x ) ，则复合 函数g f 在点x0连续。 证明：由于g 在点u 0连续，?> 0, ? 1 > 0 ，使得当| u -u0|<1时有 | g(u) -g(u0) |<。（1） 又由u 0 = f (x ) 及u = f (x) f 在点x0连续，故对上述1，存在> 0 ， 使得当| x -x |<时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<1，联系（1）式得:对任给的> 0 ，存在> 0 ，使得当| x -x0 |<时有| g( f (x)) -g( f (x0 )) |<。这就证明了g f 在点x0连续。 浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质. 一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==. 3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=． 连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 摘要 函数的种类极为复杂. 在函数论中, 连续函数的性质和应用占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数相近的性质, 即连续函数的一个推广——半连续函数. 从而得到了比连续函数更广泛的一类函数的性质. 通过对半连续函数的研究, 对半连续函数在数学分析中的应用奠定了理论基础. 首先简述连续函数的性质与应用, 之后重点讨论半连续函数的性质, 详细介绍运算性, 保号性, 以及拓扑空间上半连续函数性质定理. 推广到紧致空间中半连续函数的应用. 最后辨析连续函数与半连续函数性质、应用, 最终应用连续函数性质解决半连续函数的问题.实际上半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 比如在最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题都有着举足轻重的作用. 关键词：半连续；连续；函数 Abstract Category of function is very complicated. Characterization and application of continuous functions are very important in the function theory. Although a kind of function is also continuous, its characterization is similar with the continuous functions, which is called extension of the continuous functions semi-continuous functions, thus a kind of function with more winder characterization is obtained. Through the study, half of the continuous function in the mathematical analysis continuous function which lay a theoretical foundation for the application. First, this paper expounds the nature of the continuous function and application, and then discusses the nature of the semi-continuous functions, detailed mathematical and application, introduced the number of topological space, and the first half of the continuous function theorem of generalized to nature. Tight space in the application of semi-continuous functions. Finally differentiate continuous function and semi-continuous functions properties, application, and finally application continuous function semi-continuous functions nature solution of the problem. Half a continuous function in the classical theory analysis and modern analysis has a wide range of applications. For example, in the most problems, variational inequalities, phase problems and countermeasures for the theory of and so on all has a pivotal role. Key words:semi－continuous;continuous;functions; §2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨 论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据 函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正 数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点 都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点 “双勾函数”的性质及应用 问题引入 ：求函数2y = 的最小值． 问题分析 ：将问题采用分离常数法处理得，2y = =，此时 如果利用均值不等式， 即2y = ，等式成立的条件 为 = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值 不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质 ①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 二次函数图像 “双勾函数”图像 的增大而增大；当2b x a =-时，函数y 有最小值2 44ac b a - ． ②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小．当2b x a =-时，函数y 有最大值2 44ac b a -． （2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x > 时，在x =y 随着x 的增大而减小；在x =y 随着x 的增大而增大；当x = y 有最小值． ②当0x <时， 在x =y 随着x 的增大而增大； 在x =y 随着x 的增大而减小．当x =y 有最大值-． 综上知，函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==-- ． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==， 2 010k x - = 可得到x = 因此又找到两个分界点 这样就把()f x 的定义域 分为(,-∞ ，[ ， ，)+∞四个区间，再讨论它的单调性． 设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ --=> ，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得，()f x 在)+∞ 上单调递增；在(,-∞ 上单调递增；在[上 毕业论文 题目：多元连续函数的性质 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 毕业年限：2012.6 学生姓名：马骥 学号：200871010428 指导教师：张春霞 多元连续函数的性质 马骥 （西北师范大学 数学与信息科学学院,甘肃 兰州 730070） 内容摘要:本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到 多元连续函数的性质. 我们一般可把区域分为有界区域和无界区域．本文分别探讨了多元连续函数在有界区域和无界区域上的性质，并得出一系列的结论．对于有界区域D ，对任意0P D ∈， 任意{}n P D ?，0n P P →时，lim ()n n f P →∞ 存在，则函数f 在D 上有界，取得最大、最小值，一致连续．对于无界区域D ， 如果存在0r >,对任意P D ∈，P r >时，有()f P M ≤，则f 在D 上有界；若lim ()P f P →∞ =+∞， 则取得最小值；若lim ()P f P →∞ =-∞，则取得最大值．本文分别运用了区域的道路连通性和有界闭区域 完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理，然后用零点存在性定理证明多元连续函数的介值性． 关键词:有界区域；无界区域；有界性；最值性；介值性；一致连续性 Properties of the Multivariate Continuous Function Abstract ：This paper popularize the properties of the continuous function of one variable or two variables on closed interval with bound to the multivariate continuous function. Generally, the domain can be divided into two kinds: the bounded domain and the unbounded domain. This paper discusses the properties of the multivariate continuous function on the bounded domain or the unbounded domain and draws a series of conclusions. On bounded domain D , for any 0P D ∈, any {}n P D ?, if lim ()n n f P →∞ exists while 0n P P →,then function f is bounded and uniformly continuous , and exist maximum and minimum value . On unbounded domain D , there is 0r > and for any P D ∈, P r > ,if ()f P M ≤,then the function f is bounded; if lim ()P f P →∞ =+∞, then the function f can get the minimum value; if lim ()P f P →∞ =-∞, the function f will get the maximum value. This paper applies road connectivity and complete coverage theorem on closed domain with bound respectively to proof of zero point theorem, then applies zero point theorem to proof of intermediate value theorem of the multivariate continuous function. Keywords ：Bounded domain ；unbounded domain ；boundedness ；maximum and minimum value ； intermediate-value property ；uniformly continuous 特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤??t ).0(11|||||)(|??==≤≤=E e E Ee t itX itX 2. )()(t t ??=-. )()(t Ee e E Ee t itX itX itX ??====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则 ).()(at e t X ibt Y ??= 4． 若X 的l 阶矩存在，则 .1,|)(0l k EX i t dt d k k t k k ≤≤==? k k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt d t dt d ======000|)(||)(?. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ? ><>?>?M x dx x p t s M ||)(. .,0,0εε ? ∞ ∞ =-=-+|)()1(||)()(|x dF e e t h t itx ihx ?? ?∞ ∞--≤)(|1|x dF e ihx ?? ->-+-=M M M x i h x i h x x dF e x dF e ||)(|1|)(|1| |||2 sin |2)(||1|2 /2 /2 /hx hx e e e e ihx ihx ihx ihx ≤=-=-- x hx e e e e ihx ihx ihx ihx ?≤=-=--,2|2 sin |2)(||1|2 /2 /2 / ? ?>-+≤-+M x M M x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|?? ?-+≤+≤M M hM x dF hM εε22)(. 取,/M εδ=则 对 任意实数t ，和),0(δ∈h 有 .3|)()(|ε??≤-+t h t 所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分 ). (2 1 21 00 2 1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =??? ????<-=>==?∞+π 证明： ? ∞ = sin )(1 )(dt t t a sign a I π 以下证明 ? +∞ =0 2 sin π du u u .函数概念及其基本性质
函数的连续性极其性质
连续函数性质
特征函数的概念及意义
根式函数的性质及其应用
连续函数的性质(可编辑修改word版)
浅论闭区间上连续函数的性质.doc
(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理
连续函数及连续函数的性质
函数的连续性的例题与习题集
半连续函数的性质与应用
连续函数的性质1
“双勾函数”的性质及应用
多元连续函数的性质
特征函数(Characteristic Function)的性质.