弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（基础）【巩固练习】

一、选择题

1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°

2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°

4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．

A．70°B．90°C．110°D．120°

（第4题图）（第5题图）

5.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．

A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1

6．在半径等于5cm 的圆内有长为53cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）．

A.120

B.30或120

C.60

D.60或

120

二、填空题

7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．

8.在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果

两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么___________________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .

10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2 3 ，则BD＝.

B

A

O

C

D

H

（第9题图）

O

D

A B

C

（第10题图）

11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上， 且∠POM ＝45°，则AB ＝ .

（第12题图）

12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．

三、解答题

13. 如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大

小有何关系，说明理由．

14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DF ，求证：⌒AE =⌒EF =⌒

FB .

15．如图，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重

合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ． (1)求证：AE =BF ；

(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题

1. 如图，在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是上一点，则∠ACB 等于( )． A ．80° B ．100° C ．130° D ．140°

2．已知，如图, AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。其中正确的有( )个

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

第1题图 第2题图 第3题图

3．如图，设⊙O 的半径为r ，弦的长为a ，弦与圆心的距离为d ，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ，下面说法或等式：①r d h =+ ②2

2

2

44r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是( )

A ．仅①

B ．②③

C ．①②③

D ．①③

4．如图，在⊙O 中，弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，AB 、OC 交于点P ，则四边形OACB 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

第4题图 第5题图 第6题图

6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为( )．

A ．

3

2

cm B ．3cm C ．23cm D ．9cm 二、填空题

7．.如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________.

第7题 第9题 8．半径为2a 的⊙O 中，弦AB 的长为

，则弦AB 所对的圆周角的度数是________.

9．如图，⊙O的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE=5,BE=1,42CD =,则∠AED= °. 10．如图所示，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC ＝130°，AD 、CB 的延长线相交于P ，则∠P ＝________°． 11.如图所示，在半径为3的⊙O 中，点B 是劣弧AC 的中点，连接AB 并延长到D ，使BD ＝AB ，连接AC 、BC 、CD ，如果AB ＝2，那么CD ＝________．

（第10题图） （第11题图）

12．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为AN ︵

中点，P 直径MN 上的一个

动点，则PA ＋PB 的最小值是 .

13．已知⊙O 的半径OA=2，弦AB 、AC 分别为一元二次方程x 2-（22+23）x+46=0的两个根，

则∠BAC 的度数为_______．

三、解答题

14.如图，在⊙O 中，AB BC CD ==，OB ，OC 分别交AC ，BD 于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =

N

P

M

O

A

B

（第12题图）

15．如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，?延长BA交⊙O于G， ．

求证：GE EF

16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，求证：AF＝CF．

17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，

求四边形ADBC的面积．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A；

【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.

2.【答案】B；

【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.

3.【答案】A；

【解析】∠BAD=1

2

∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.

4.【答案】C；

【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，

∠AEB=180°-70°=110°.

5.【答案】D；

【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.

6.【答案】D；

【解析】一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互补.

二、填空题

7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；

8．【答案】相等，这两条弦也相等；

9．【答案】60°；

10．【答案】3；

11．【答案】；

【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x2+（2x）2＝52， x＝, 即 AB的长＝.

第11题第12题

12．【答案】90°；

【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +?∠ACE=∠CBD +∠EBD +?∠ABE=∠ABC=90°.

三、解答题

13.【答案与解析】

BE=CF ．

理由：∵AE 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ， ∴∠ABE=90°=∠ADC ， 又∠AEB=∠ACB ， ∴∠BAE=∠CAF ， ∴BE CF =． ∴BE=CF ．

14.【答案与解析】

如图，连接OE 、OF ， ∵D 是半径OB 的中点OB ⊥DF ，

∴OD=

1

2

OF,∴∠OFD=30°,即∠FOD=60°， 同理∠EOA=60° ， ∴∠FOD=∠EOA=∠EOF, ∴⌒AE =⌒EF =⌒FB .

15.【答案与解析】

(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ，

所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ， 即AE=BF ．

(2)四边形CDEF 的面积是定值. 连结OC ，则2

2

215OH=OC -CH =-=622

9（

）（）2

， 11

()2O 6922

S CF DE CD H CD =

+?=???=?＝54(cm 2)． 【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】C ．

【解析】设点D 是优弧AB 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ；

则∠ADB=∠AOB=50°； ∵四边形ADBC 内接于⊙O ，

∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C ．

2．【答案】C ．

【解析】①②④正确. 3．【答案】C ．

【解析】根据垂径定理及勾股定理可得①②③都是正确的. 4.【答案】C ．

【解析】由弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，得∠AOC=60°，△AOC 为等边三角形， 所以AO=AC ，进而得到OA=OB=BC=AC ，故则四边形OACB 是菱形. 5．【答案】D ．

【解析】与∠BCE 相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD ，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE ，

同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE ，且∠ACD=∠BCE.

6．【答案】B ．

【解析】∵ ∠CDB ＝30°， ∴ ∠COB ＝2∠CDB ＝60°，

又AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，

∴ ∠OCD ＝30°，1

2

CE CD =

， 在Rt △OEC 中，∵ 3OC =cm ，∴ 3

2

OE =

cm ． 2

222239

(3)24CE OC OE ??=-=-= ? ???

(cm )．

∴ 3

2

CE =

cm ，∴ CD ＝3cm ． 二、填空题 7．【答案】3； 8．【答案】120°或60°； 9．【答案】30°； 10．【答案】40°；

【解析】∵ ∠AOC ＝130°，

∴ ∠ADC ＝∠ABC ＝65°， 又AB ⊥CD ，

∴ ∠PCD ＝90°－65°＝25°，

∴ ∠P ＝∠ADC －∠PCD ＝65°－25°＝40°． 11．【答案】

4

3

；

【解析】连结OA 、OB ，交AC 于E ，因为点B 是劣弧AC 的中点，所以 OB ⊥AC ，设BE=x,则OE=3-x ，由AB 2-BE 2=OA 2-OE 2得 22-x 2=32-（3-x ）2,解得23x =

，423

CD BE ==. 或连接OA 、OB ，△OAB ∽△BCD ，AB CD OA BC =

，23

2CD =，4

3CD =． 12．【答案】；

【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则P 点就是所求作的点．（如图）

此时PA+PB 最小，且等于AC 的长．

连接OA ，OC ，根据题意得弧AN 的度数是60°， 则弧BN 的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN 的度数是30°， 则∠AOC=90°，又OA=OC=1，

则AC= ．

13.【答案】15°或75°.

【解析】方程x 2-（22+23）x+46=0的解为x 1=22，x 2=23， 不妨设：AB=22，AC=23． （1）如图，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ． ∵AB=22，AC=23，

∴AM=2，

∵OA=2，在Rt △MAO 中，∠MAO=45°，AC=23， ∴AN=3，

在Rt △NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°； （2）如图，∠BAC=75°．

三、解答题

14.【答案与解析】

如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =, ∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD 的中点， ∴1

,,2

BF CE AC OB AC OC BD ==

⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≌, ∴OE OF = 15.【答案与解析】

连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．

因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，

所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．

16.【答案与解析】

证法一：连接BC ，如图所示．

∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝90°，

即∠ACF+∠BCD ＝90°． 又∵ CD ⊥AB ，

∴ ∠B+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACF ＝∠B ．

∵ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ ∠B ＝∠CAE ，

∴ ∠ACF ＝∠CAE ，∴ AF ＝CF ．

证法二：如图所示，连接BC ，并延长CD 交⊙O 于点H ．

∵ AB 是直径，CD ⊥AB ，

∴ A C A H =． ∴ 点C 是AE 的中点， ∴ A C C E =， ∴ A H C E =． ∵ ∠ACF ＝∠CAF ， ∴ AF ＝CF ．

17.【答案与解析】

∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝∠ADB ＝∠90°． 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，

∴ 222

2

6

2

42

B C A B A C =

-=-=．

∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴ ∠DCA ＝∠BCD ． ∴ A D D B =，∴ AD ＝BD ．

∴ 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2＝62，∴ AD ＝BD ＝32． ∴ 11

C 22

ABC ABD ADBC S S S A BC AD BD ??=+=+四边形 211

242(32)94222

=??+?=+．

九年级数学： 24.1.3弧、弦、圆心角练习题含答案

第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习题 1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也 . 2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________． 3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____． 4．如图，AB 为圆O 的直径，??BC BD =，∠A=25°，则∠BOD=______． 5．如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ， AB=6，则CD=_______． 6．如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对 7．如图，在圆O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ） A ．AC=BC B ．? ?AN BN = C ．??AM BM = D ．OC=CN 8．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长 B A

为（） A． B． C．24 D．16 9．如图，在半径为2cm的圆O内有长为 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角 ∠AOB为（? ） A．60° B．90° C．120° D．150° 10．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①；②∠AOD ＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝BC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．其 中正确的是 (填序号)． 11．如图所示，AB、CD为⊙的两条直径，E是圆上一点，连接DE，如果DE ∥AB，，则∠BOC的度数为.

弧弦圆心角练习题

弧、弦、圆心角的关系同步练习 一、填空题: 1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的 度数是________. D C B A O (1) (2) (3) 2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中 有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形. 3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度. 4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度 . B A A (4) (5) (6) 5.如图5,AB是⊙O的直径,BC BD ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________. 6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 二、选择题: 7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200° D D C B A (7) (8) (9) (10) 8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中, 相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40° 11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110° 1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ） A ．x 1 ＞x 2 B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定 2．下列说法正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．以上都不对 4．如图所示，如果的⊙O 半径为2 弦AB= AB 的距离OE 为（ ） A ． 1 B ． C ． 1 2 D 5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ） A ． B C ． 8 D ． 6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。45 ° C 。60° D 。 30° 第 6 题图 第 5 题图 第 4 题图 一、填空题 7．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________

《弧、弦、圆心角》的教学实录

《弧、弦、圆心角》的教学实录 关于《弧、弦、圆心角》的教学实录 教学过程： 活动1：一、等圆、同圆的理解 1、学生动手操作：拿出准备好的圆形纸片，然后把它们重叠起来 师：同学们，拿出我们准备的圆形纸片，然后把它们重叠起来你有什么发现? 2、交流： 师：把两个圆放在一起，就是把圆重叠在一起,它们的大小一样吗? 生1：大小一样 生2：形状一样 生3：两个圆可以完全重合 3、归纳： 师：我们把能够完全重合的圆叫做等圆。 师：如何理解同圆? 生：同圆指的是同一个圆。 师：好，正确 二、引入

师：今天这节课老师将和同学们一起探讨在同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系。 活动2：(一)复习问题： 师：什么是弧、弦[ 在黑板画圆、作出弧、弦，引导学生观察] 生1：弧是指圆上任意两点间的部分 生2：弦是指连接圆上任意两点所得线段 师：很好，这两位同学回答正确 (二)圆心角的认识 1、观察图片 (1)找角，观察角的特征 师：图中有一个角，你看到了吗?请你说出这个角 生：有一个角，是AOB (2)归纳总结得出圆心角的概念 教师出示圆形纸片(画有一个圆心角) 师：请同学们观察，找到这个角的顶点。 生1：这个角的顶点在圆心 生2：角的两边在圆上 生3：角的顶点在圆心，两边在圆上 师：角的顶点在圆心 归纳： 师：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、巩固学生对圆心角的理解 问题： 师：找出图中的圆心角，并说明理由 生1：是圆心角，因为它的顶点在圆心并且两边与圆各有一个交点。 生2：不是圆心角，因为它的顶点不在圆心 生3：不是圆心角，因为它的两边与圆没有交点 活动3：弧、弦、圆心角关系的探究 引述：认识了弧、弦、圆心角，接下来我们就可在以同一个圆或等圆中探究它们的关系了。 1、圆的旋转不变性理解 问题： 师：圆是轴对称图形吗对称轴是什么圆是中心对称图形吗对称中心是什么 生1：圆是轴对称图形，对称轴是圆直径所在的直线 生2：圆是中心对称图形，对称中心是圆心 生3：圆是轴对称图形又是中心对称图形 师：如果将圆旋转任意一个角度，所得图形还能和原图形重合吗? 学生动手操作 生1：将圆旋转30度角，所得图形还能与原图形重合 生2：将圆旋转60度角，所得图形还能与原图形重合 生3：将圆旋转90度角，所得图形还能与原图形重合

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1、了解圆心角、圆周角的概念; 2、理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3、掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两 组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1、圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3、推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要就是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征、 (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提、 要点二、圆周角 1、圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角就是直角,90°的圆周角所对的弦就是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交、 (2)圆周角定理成立的前提条件就是在同圆或等圆中、 4、圆内接四边形:

(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5、弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间就是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)、 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等、 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1、已知:如图所示,⊙O中弦AB＝CD.求证:AD＝BC. 【思路点拨】 本题主要就是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD＝BC,只需证??AD BC =或 证∠AOD＝∠BOC即可. 【答案与解析】 证法一:如图①,∵AB＝CD,∴??AB CD =. ∴???? AB BD CD BD -=-,即?? AD BC =, ∴AD＝BC. 证法二:如图②,连OA、OB、OC、OD, ∵AB＝CD,∴∠AOB＝∠COD. ∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB, 即∠AOD＝∠BOC,∴AD＝BC. 【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法就是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧与等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB就是⊙O的直径,M、N分别就是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:??AC BD =.

《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》习题

《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________． 6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________． 7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________． 8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________． 9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明） 感谢您的阅读，祝您生活愉快。

弧、弦、圆心角练习题及答案

一.教学内容： 弧、弦、圆心角 二. 教学目标： 1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题； 3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念 4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 三. 教学重点、难点： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。 四. 教学过程设计： 1. 圆的旋转不变性 圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角，弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 同样还有： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？ （1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以 = . （2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。 分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。 证：∵AD=BC ? ?=∴BC AD ? ???? ?+=+∴=BC AC AD AC AC AC DC AB AB DC =∴=∴? ? 变式练习。已知：如图所示， = ，求证：AB=CD 。 证：∵? ?? ?==AC AC BC AD ∴? ???+=+AC BC AC DA ? ?=∴AB DC CD AB =∴ 例3. 在圆O 中，?=∠=? ?60ACB AC AB 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC

24.1.3 弧、弦、圆心角-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

24.1圆的有关性质(第3课时) 一、内容和内容解析 1．内容 弧、弦、圆心角之间的关系． 2．内容解析 弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用． 二、目标及其解析 1．目标 (1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用． (2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想． 2．目标解析 达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明． 达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化． 三、教学问题诊断分析 由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路． 本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用． 1

弧,弦,圆心角的关系练习题

弧，弦，圆心角的关系练习题 1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________ 2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。 4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠ EFO= °。 5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB ＞2BC D. AB<2BC 6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠ COD= °，∠DOB= °。 7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。 8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ； ②＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证： ． 10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。求证：∠OBA=∠OCD 。 11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD 。

初中数学弧、弦、圆心角例题讲解

初中数学弧、弦、圆心角例题讲解 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ ? AB =?''A B ，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴? AB 与?''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 B A O B '

人教版数学九年级上册：24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习(附答案)

24.1.3 弧、弦、圆心角 1．如图，图中的圆心角(小于平角的)有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝ ． 3．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为( ) A ．AB>CD B ．AB ＝CD C ．AB

6．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15° 7．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为 ． 8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵ ，求证：BE ＝CE. 9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵ ，试判断AB 与2CD 的大小关系，并说明理由．

10．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC ⊥AB ，OF ⊥DE ，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为( ) ①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵ ；③OF ＝OC ；④AC ＝EF. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥AB 交⊙O 于点F ，则∠BAF 等于( ) A ．12.5° B ．15° C ．20° D ．22.5° 12．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵ ；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.其中正确结论的序号是 ．

《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计(湖北省市级优课)

《弧、弦、圆心角》教学设计 教学内容：人教版九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标： 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性。 2.利用圆的旋转不变性，发现圆中弧、弦、圆心角关系，并能正确推理和应用。 3.通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。 4.培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法。 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理，并利用其解决相关问题。 教学难点：定理中条件的理解及定理的探索。 教学过程： 一、创设情景: 想一想 （1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？ （2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？ （3）思考：平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？ 二、探究新知 （1）如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做． 将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？ 为什么？你能证明吗？ B B’ （2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？ 做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB=60°，连结AB和A’B’，则弦AB 与弦A’B’，弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现 结论依旧成立。

C O A B （3）说一说 尝试将上述结论用数学语言表达出来。 学生得出：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两 条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？ 学生小组讨论，归纳得出：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 三、例题讲解 例1：如图5：在⊙o 中，弧AB=弧AC ,∠ACB ＝60°。 求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC. 分析：由弧AB=弧AC ,得到AB=AC ，再由∠ACB=60°， 得到△ABC 是等边三角形，AB=AC=BC,所以∠ACB=∠BOC=∠AOC. 变式训练：把“求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC ”改为“求∠AOB 的度数”。 例题小结：通过例题可以发现在同圆或等圆中，要说明两条弧相等可以寻找它们所对的弦或圆心角的关系来解决，同样的方法也可以来说明弦相等或圆心角相等。 例2：如图4：AB 是⊙O 的直径， = = ,∠COD ＝35°, 求∠AOE 的度数。 （教学说明：让学生自主探索问题解决的途径，并通过交流、形成技能） 四、巩固练习： 1.如图：AB 、CD 是⊙O 的两条弦。 （1） 如果AB ＝CD ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （2） 如果 = ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （3） 如果∠AOB ＝∠COD, 那么＿＿＿，＿＿＿。 （4） 如果AB ＝CD ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F, OE 与OF 2. 如图7所示，AB 为⊙O 连结OC 、OD ，并延长交⊙（1）试判断△OCD （2）求证：弧AE=弧BF O A D C E F O D C

人教版九年级上册数学 24.1.3弧、弦、圆心角 同步练习(含解析)

24.1.3弧、弦、圆心角同步练习 一．选择题 1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（） A．1B．C．D． 2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（） A．25°B．50°C．65°D．75° 3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（） A．B．C．D． 4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）

A．B．C．D． 5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（） A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y 6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中： ①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 7．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（） A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON 8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论

正确的是（） A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD 二．填空题 9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝． 10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是． 11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为． 12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．

《弧、弦、圆心角》说课稿

《弧、弦、圆心角》说课稿 一、教材分析 -拨村的地位与作用 本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级（上） § 24.1.3《弧、弦与圆心角的关系》的内容。本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关 系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能 力有重要的作用。 二教学口标 知识与能力 1. 了解圆心角的概念 2?富沖呱、亜■.忖心闩久系匸口应英结论 3.能灵活应用关系定理及其结论解决问题。 过程与方法 经历探索弧、弦、圆心角关系疋理及其结论的过?稈发展学牛的数学思考能力情感态度与价值观 通过积极引导、帮助学生有意识地积累活动经验和获得成功的体验，增强学生学习的自M匕悄感态度与价值观 二教学巫讣 重点：弧、弦、圆心角关系定理及其结论的应用。 难点：定理及其结论的探索与应用。 1. 教法分析 根据学生规有的知识水平及宁匸的仆龄峙征和心理特征逋过动手实验操作使学生把圖少-般的小心对称图形区别开来巾此激发兴越学列新的知识然后指导学牛.迪.过施转操作后观察、探究、讨论、自己得出结论。教师再加以点拨总结。这样学生的印象比较深掌握的也比较牢固。接着设计相应的例题与练习使学生利用已探究的知识解决证明或计 毎趣使学牛.贞TT具备解决问题的泄力促进学牛共同进步。教学过稈川及吋给学牛鼓励肯定F半探丸的结怆的不简单之处从冇提高哮习怕兴趙和增强学习的信心。 2 . 法今祈 通过教学:nv^.tril而「实试如川师血什不交计ti.T.tril联兗打殘现闰心角、弧、弦Zl Uijdl^关棗

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（） A. 2cm B. 3cm C. cm D. cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是10cm的⊙O中，为60°，则弦AB的弦心距是（） A. B. C. D. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么的关系是（） A. B. C. D. 不确定 二. 填空题。 6. 已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。 7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9. 弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。 10. 若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。 11. ⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，度数为__________，△ADC周长为__________ cm。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。 13. 已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若度数

弧弦圆心角练习(学生)

弧、弦、圆心角的关系同步练习 一、填空题： / ADC 的度数是 (1) (2) 2. 如图2,四边形ABCD 勺四个顶点都在O0 上,且AD// BC,对角线 AC 与 BC 相交于点E,那么 图中有 _________ 对全等三角形； ________ 对相似比不等于1的相似三角形. 3. 已知，如图3, / BAC 的对角/ BAD=100 ,则/ B0C= ______ 度. 1.如图1,等边三角形 ABC 的三个顶点都在O0 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则 D O B ⑶ O B C ⑷

4.如图4,A、B、C为O0上三点，若/ 0AB=46 ,则/ ACB= _________ 度. 5.如图5,AB是O0的直径,B C=B D , / A=25° ,则/ B0的度数为 6.如图6,AB是半圆0的直径,AC=AD,0C=2Z CAB= 30 ° ,则点 二、选择题： 7.如图7,已知圆心角/ B0C=100 ,则圆周角/ BAC 的度数是( A.50 ° 0到CD的距离 0E= B.100 C.130 D.200

1?同圆中两弦长分别为 X 1和X 2它们所对的圆心角相等，那么（ A. X 1 > X 2 B. X 1 < X 2 C. X 1 = X 2 D.不能确定 2. 下列说法正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的 圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 A 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 3. 在O 0中同弦所对的圆周角（ ） A 相等 B .互补 C .相等或互补 A 1 B .胎 C .- 2 5 ?如图所示，O 0的半径为5,弧AB 所对的圆心角为120°,则弦AB 的长为（ 施 B .应3 C . 8 D 3 2 8.如图8,A 、B 、C D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个 角中，相等的角有（） A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与/ AB 相等的角的个数是（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 10.如图 10, / AOB=100 ,则/A+/B A.100 ° B.80 ° C.50 ° 11. 在半径为R 的圆中有一条长度为 A.30 ° B.30 °或 150° 12.如图,A 、B 、C 三点都在O0 是（） A.40 ° B.50 ° C.70 ° D.1 个 等于（） D.40 ° R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是 C.60 ° D.60 °或 120° 上，点D 是AB 延长线上一点，/ AOC=140 , / CBD 的度数 D.110 D .以上都不对 4?如图所示，如果的O 0半径为2弦AB= 2/3，那么圆心到 AB 的距离0E %（ ()

24.弧、弦、圆心角-教学设计公开课

24.1弧、弦、圆心角 ——主备：王喧梅【教学目标】 1、理解圆心角概念和圆的旋转不变性. 2.掌握在同圆或等圆中，结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角． 3、发现并掌握在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用；并会初步运用这些关系解决有关的问题 【教学重难点】 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点：探索圆心角定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 包含几个要点？分别是： 2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ◎练习：下列图形可以用垂径定理及推论的有哪些？不能的请说明理由

二、自主学习课本83、84页内容，完成问题 1、思考83页探究，圆形纸片旋转180?后与·原图形能不能重合？ 2、什么是圆心角？ 3、认真学习思考3,得出圆心角相关定理及推论 三、知识点拨（PPT 展示） 1、PPT 展示圆进行旋转 发现：把圆绕圆心旋转任意一个角度， 仍与原来的圆重合。 2、结论： 3、 4、圆心角定义 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 5、圆心角定理 请同学们思考、观察动画并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′,若将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 解：=，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 AB ''A B B ' B A A 'O B A O O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性

圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系试题

圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 章节测试 基础练习 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2．在半径为5cm 为圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3．在两个半径不同的圆中，分别有和 ，若 和 的度数相等，那么下面结论中正确 的是（ ）． A ．＝ B ．和所对的两个圆心角相等 C ． 所对的弦和所对的弦相等 D ． 和 所对的弦的弦心距相等 4．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图7－33，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA 、OB 分别和小圆相交于A ＇、B ＇，则下面正确的是（ ）． A ．弦A B 和弦A ′B ′相等 B ．的长度＝的长度 C ． ＝ D ． 的度数＝ 的度数 图7－33 6．在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分成度数的比为1∶5的两条弧，则的度数是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 7．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1 ，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 8．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、 D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝C ；② ＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确 的有（ ）．

数学教案-圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

数学教案－圆心角、弧、弦、弦心距之 间的关系 第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．教学活动设计教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性。引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容。这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性。定理：在同圆等

圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，。（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性。）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。解（略，教材87页）例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材88页练习）1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB ＝CD，那么______，______，______；（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；（3）如果 =，那么______，______，______；（4）如果∠AOB＝∠COD，

人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习卷(有答案)

人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习卷 题号一二三总分得分 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1.下列图形中表示的角是圆心角的是() A. B. C. D. 2.下列语句中不正确的有() ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 3.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中正确的有() ①AB ? =CD ? ；②BD?=AC?；③AC=BD；④∠BOD=∠AOC． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.如图，AB，CD是⊙O的直径，AE?=BD?.若∠AOE=32°， 则∠COE的度数是() A. 32° B. 60° C. 68° D. 64° 5.如图，在一个圆内有AB?，CD?，EF?，若AB?+CD?=EF?， 则AB+CD与EF的大小关系是() A. AB+CD=EF B. AB+CDEF 6.如图，在⊙O中AC?=BD?，∠AOB=40°，则∠COD的度数() A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 7.如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC= CD=DA，则∠BCD等于() A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D，E为圆 ，CB=3，则 上的两点，且DB?=AE?.若⊙O的半径为5 2 弦ED的长为() A. 3√10 2 B. 3√10 C. 9 2 第16页，共17页