第14天 导数(一)
【课标导航】1.导数的概率及几何意义;2导数的计算。
一、选择题
1.一质点运动的方程为2t 35s -=,则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为
( )
A. 6t 3+△
B. 6t 3+-△
C. 6t 3-△
D. 6t 3--△
2.将半径为R 的球加热,若球的半径增加△R,则球的体积增加△y 约等于
( ) A. R R 343△π B. R R 42△π C. 2R 4π D. R R 4△π
3.已知函数1x y +=2的图象上一点(1,2)及邻近一点()y 2,x 1△△++,则
x y △△等于 ( )
A. 2
B. 2x
C. 2+△x
D. 2+△2x
4.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则
( )
A .a =1,b =1
B .a =-1,b =1
C .a =1,b =-1
D .a =-1,b =-1
5.函数y =sin 2x π??+
???的导数为 ( )
A .y ′=-cos 2x π??+
??? B .y ′=cos x -sin x C .y ′=-sin x D .y ′=cos x
6.点P 在曲线323y x x =-+
上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围 ( )
A .[0,]2π
B .3[0,)[,)24π
ππ C .3[,)4ππ D .3(,]24ππ
7. 过点(-1,0)作抛物线1x x y 2++=的切线,则其中一条切线为
( )
A. 02y x 2=++
B. 03y x 3=+-
C. 01y x =++
D.
01y x =+-
8.设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ,若()k g x =,则函数
()k g x =的图像大致为
( )
二、填空题
9.已知函数32()33f x x ax bx 的图像与直线1210x y 切于点(1,11).则
a b +=_______.
10.已知()f x 为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x e
x --=-,则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程为
_____________________________.
11. 直线12
y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线,则实数b =________. 12.下列结论正确的结论为_______________. ①y =ln 2,则1'=
2y ;②21=y x ,则=32'|=27x y -;③y =2x ,则y ′=2x ln 2;④12=log y x ,则1'=ln2
y x -. 三、解答题:
13. 设曲线)0(≥=-x e y x 在点),(t e t M -处的切线l 与x 轴、y
轴所围成的三角形面积为
)(t S 。
(Ⅰ)求切线l 的方程;(Ⅱ)求)(t S 的最大值。
14.求下列函数的导数:
(Ⅰ)y =3x 2+2x +1x 2; (Ⅱ)y =e x cos x +sin x ; (Ⅲ)y =2x -13x +3
;
15.已知曲线C :3x y =。
(Ⅰ)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程
(Ⅱ)第(Ⅰ)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点?
16.已知函数f (x ),g (x )=a ln x ,a ∈R.若曲线y =f (x )与曲线y =g (x )有公共点,且在公共点处有
相同的切线,求a 的值及该切线的方程.
【链接高考】 若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.
第14天 导数(一)
1-8. DBCA CBDB; 9. 2-; 10. 2y x =; 11. ln2-1; 12. ②③④
13. (Ⅰ)x x e e x f ---='=')()(,∴切线的斜率为t e --,故切线l 的方程为
)(t x e e y t t --=---,
即0)1(=+-+--t e y x e t t 。
(Ⅱ)令0=y ,得1+=t x ,令0=x ,得)1(+=-t e y t ,
t t e t e t t t S --+=++=
∴2)1(2
1)1)(1(21)(, 从而t e t t t S -+-=)1)(1(2
1)(。 当)1,0(∈t 时,0)(>'t S ,当),1(+∞∈t 时,0)(<'t S , )(t S ∴的最大值为e S 2)1(=。 14. (Ⅰ)∵y =3x 2+2x -1+x -2,∴y ′=6x -2x -2-2x -3=6x -2x 2-2x 3. (Ⅱ)y ′=e x cos x -e x
sin x +cos x . (Ⅲ)222'''
)1(1)1(31)12()1(2)1(3)1)(12()1()12(+=+?--+=++--+-=x x x x x x x x x y . 15. (Ⅰ)将1x =代入曲线C 的方程,得1y =,∴切点的坐标为(1,1)。
∵'y 2
3x =,∴3|y 1x ='=,∴过点(1,1)的切线的方程为()1x 31y -=-,即02y x 3=--。
(Ⅱ)由???==--3x y 02y x 3,得2x 3x 3-=,整理得()()
02x x 1x 2=-+-,解得1x =或2x -=。 从而获得切线与曲线的公共点为(1,1)和(-2,-8)。
说明切线与曲线C 的公共点除去切点外,还有一个公共点(-2,-8) 16. 2
e a =,220x ey e -+= 【链接高考】 12