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高中数学双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质

【知识点1】双曲线22a x -2

2b y ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2

＝a 2

+b 2

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b

x ，或令双曲线标准方程22a x -2

2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c

＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2

(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.

(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2

2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注

意方程的表达形式.

注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2

2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2

-λ＞0时

为椭圆， b 2

＜λ＜a 2

时为双曲线)

（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c

(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2

，与椭圆相同.

1、写出双曲线方程125492

-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程

2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4

±=，求双曲线的离心率

3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程

4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4

，求双曲线的标准方程。

5、求与双曲线

1169

x y -=共渐近线，且经过()

23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．

【知识点2】弦长与中点弦问题

（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ]4)[()11(1

1212

212

122

y y y y k y y k -+?+

=-?+

=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. （2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭

圆12222=+b y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0，y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b -；对于双曲线12222

=-b

y a x （a>0，b>0），类似可得：K AB K OM =22a

b ；对于y 2=2px （p ≠0）抛物线有K AB ＝212y y p

+；另外，也可以用韦达定理来处理.

【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P 作直线与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>只有一个交

点，这样的直线有几条？（几何角度）

6、若y=kx-1与双曲线2

4x y -=只有一个公共点,求k 的范围.

【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？

7、过双曲线2

y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？

【题型2】双曲线离心率的求法

一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率，双曲

线的离心率

，抛物线的离心率

来解决。

8、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂

足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．

9、已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2

－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C

的圆心，则该双曲线的方程为________．

二、直接求出a 、c ，求解e ：已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式

来解决。

10、点P （－3，1）在椭圆（）的左准线上，过点P 且方向为的光线经

直线

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】.

A. B. C. D.

三、构造a ，c 齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助之间的关系，沟通的关系（特别是

齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e 。 11、已知

是双曲线

的两焦点，以线段为边作正三角形，若边

的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【】.

A. B. C. D.

12、过双曲线＝1的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为

直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。

四、寻找a 与c 的关系式：由于离心率是c 与a 的比值，故不必分别求出a 、c 的值，可寻找a 与c 的关系式，即a 用c 来表示即可解决。 13、设椭圆的两个焦点分别为，过

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若

为等腰直角三角形，

则椭圆的离心率是【】.

A. B. C. D.

五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即

。

14、设椭圆的右焦点为F 1，右准线为，若过F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到的

距离，则椭圆的离心率是____________。【总结3】三种常见的解题方法（1）转换法——为解题化归立意

15、直线l 过双曲线122

22=-b

y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的

离心率e 的范围是【】

A .e >2 B.15 （2）几何法——使数形结合带上灵性

16、设P 为双曲线2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为【】

A ．

B ．12

C. D ．24

（3）设而不求——与借舟弃舟同理

17、双曲线12

=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【】

A. 12-=x y

B. 22-=x y

C. 32-=x y

D. 32+=x y

18、在双曲线12

=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由。

◆高考题选

1.（浙江卷）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线

的交点分别为,B C ．若1

AB BC =

，则双曲线的离心率是【】 A 2 B 3 C ． 5 D 10 2.（浙江卷）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直

线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是【】 A ．

32 B ．22 C ．13 D ． 1

3.（全国卷）双曲线13

2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=【】. （A ）

3 （B ）2 （C ）3 （D ）6

4.（江西卷）设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b

-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个

顶点,则双曲线的离心率为【】. A ．

32 B ．2 C ．5

D ．3 5.设双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为【】.

A x y 2±=

B x y 2±=

C x y 22±

= D x y 21

±=

6. (湖北卷)已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22

214x y b

+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是【】.

A. 11,22K ??∈-????

B. 11,,22K ?

???

∈-∞-+∞ ??

??? C. 22K ?∈??? D. 22,,K ???

∈-∞+∞ ?? ???

7.（四川卷文）已知双曲线

)0(122

2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝【】.

A. －12

B. －2

C. 0

D. 4

【问题1】过平面内任一点P 作直线与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>只有一个交点，这样的直线有几条？（几

何角度）

【答案】P 在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；

P 在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；

P 在双曲线外，

若P 在渐近线上且P 为原点时，0条；

若P 在渐近线上且P 不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；

若P 不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）； 8答案

解析取双曲线的渐近线y ＝b

a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b

(x －c )，可解得点H 的坐标为

? ????a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为? ??

??a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 2

4c 2b 2

＝1，整理得c 2＝2a 2

，即可得e ＝c

＝ 2.

9答案 x 25－y 2

4＝1解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b

x ，

圆C 的标准方程为(x －3)2

＋y 2

＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，

即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b

2＝2，∴5b 2＝4a 2

.①

又∵x 2a 2－y 2b

2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2

，0)为圆心C (3,0)，

∴a 2

＋b 2

＝9.②由①②得a 2

＝5，b 2

＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2

4＝1.

10解：由题意知，入射光线为

，关于

的反射光线（对称关系）为

，

则P （－3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有解得知，故

选A 。 11解：如图1，的中点为P ，则点P 的横坐标为

。由

，焦半径公式

有

，即

有解得，故选D 。

12解：如图2，所给的语言可转化为通径，即得，

故解得或（舍）故填

13解：由题意，得

。又由椭圆的定义，得，即

，则

得

，故选D 。

14解：据椭圆的第二定义及题意，画出图3，观察线段的数量关系，得

。故填。

15【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.

【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由

222

tan tan 245b c a e a a

βαβα->?>?>?>?>. ∵双曲线中1e >，故取e >

5.选D.

16【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13a

b c ===.设；

12123,2.

22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴= 于是

222

121212

6, 4.

52PF PF PF PF F F ==+==，

故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.∴12

1211

641222

PF F

S PF PF ?=

?=??=.选B. 【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处. 17【解析】设弦的两端分别为()()1,1

x y B x y .则有：

()()222222

111212121222

1212

22101

x y y y x x x x y y x x y y x y ?-=-+?---=?=?-+-=?.

∵弦中点为（2，1），∴

12124

x x y y +=??

+=?.故直线的斜率

1212

2y y x x k x x y y -+=

==-+.则所求直线方程为：

()12223y x y x -=-?=-，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只

要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看： 18 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：

()()()()()22

121212122222111201121

x y x x x x y y y y x y ?-=???-+--+=?

?-=??.

∵M （1，1）为弦AB 的中点，∴()()()1212

12121212

022

AB x x y y x x y y k y y x x +=?----=∴=

+=-?代入1：2，

故存在符合条件的直线AB ，其方程为：

()12121y x y x -=-=-，即.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：

其一：将点M （1，1）代入方程1222

=-y x ，发现左式=1-11

=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2AB

k =，而双曲线的渐近线为2y x =±.这里22，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

()()2

22221221224302221y x x x x x y x ?-

=??--=?-+=?

?=-?

这里1624

0?=-，故方程（2）无实根，也就是

所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当1

2x x ≠时才可能求出k=2.若12120x x y ===，必有y .说明这时直

线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.

1【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，

22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?++--??

，则有

22222222(,),,a b a b ab

ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++??

，因

222,4,5AB BC a b e =∴=∴=．

2．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则1

2,2,2

OA OF a c e =∴=∴=

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5【解析】由已知得到2,3,122=-=

==b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为

x x a b y 2

2±=±= 6【答案】A 【解析】易得准线方程是2212a x b =±=±=± 所以222241c a b b =-=-= 即23

b =所以方程是22

143

x y +=联立 2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0?≤可解得A

7【答案】C 【解析】由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是22

=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P 或)1,3(-P .不妨去)1,3(P ，则)1,32(1---=PF ，

)1,32(2--=PF .∴1PF ·2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=-----

仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;

俯视大地时，什么都比你低，你会自负;

只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，

才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

无须自卑，不要自负，坚持自信。

用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）

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双曲线几何性质 (1)

百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完）问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3）三、归纳反思椭圆和双曲线几何性质的比较：椭圆双曲线定义标准方程图形 (顶点坐标) (焦点坐标) 范围轴对称轴 (对称中心) 离心率及其范围 a,b,c关系渐近线

双曲线的简单几何性质总结归纳

双曲线的简单几何性质一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

【优秀教案】高中数学第二册上第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质

课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b ,的几何意义 a, 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-22 22b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12,离心率为 54 ; （2）焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质山丹一中周相年教学目标: (1 知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结,推荐文档

北安一中高二数学导学案主备人：陈叔彤审阅人：高二数学组备课日期：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结课时：课时班级：姓名：【学习目标】知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围：由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性：对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；

高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()() 22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：122 22=-b y a x 两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，

②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122 22=-b y a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()a c c a x c x y =± ±+2 2 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c a x 2 ±=)的距离之比为常数()0c e c a a =>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率；（2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系： 1122222-=-=-==e a c a a c a b k ；因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）；对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线 a y l 2 2:=。

《双曲线的简单几何性质》教学设计.

《双曲线的简单几何性质》教学设计首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红一、教材分析 1.教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

(完整)江苏省高中数学公式

高中数学公式（苏教版）使用说明：本资料需要有经验老师讲解每一个公式，然后根据公式出一个题来运用、理解公式，天天坚持直到高考。这样效果极佳；另外术业教育每天出一份高考数学挑战题卡（上传到学优高考网），保证你的学生数学成绩能够从20分迅速提高到100分，这项成果经过我们十几年的教学实践总结，效果绝对好。一、集合 1. 集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2. 非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3. 空集的符号为? 二、函数 1. 定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2. 偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减单调减函数：与增函数相反 4. 指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数；当10<a 时，x a y log =为增函数