二次函数与几何综合压轴题题型归纳

知识点睛：

一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总

1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??

?

??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：

（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122

2

＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线()3132

+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定

此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2

3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总

课 题 二次函数的综合压轴题型归类

教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点

1、 利用图形的性质找点

2、 分解图形求面积

教学内容

有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；

当0≠m 时，()032

≥-=?m ，()m

m x 213?

±-=

，m x 321-=、12=x ；

综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；

∴ ???=-=+-0

1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；

∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122不论m 为何值，方程恒成立） 小结．．

：关于x 的方程b ax =有无数解????==0

b a

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。

（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得

AN MN BM ++之和最小。

（3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2）与一次函数（h kx y ＋＝）

（1）解方程组???h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组???h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点

的个数

有两个交点 ? 0＞? 仅有一个交点 ? 0=? 没有交点 ? 0＜?

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式

11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求

几何分析

涉及公式

应用图形 跟平行有关的图形

平移

2121k k l l ＝∥?、2

12

1x x y y k --=

平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的图形 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

()()22B A B A x x y y AB -+-=

直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的图形

利用几何中的全等、中垂线的性质等。

()()22B A B A x x y y AB -+-=

等腰三角形 全等

等腰梯形

跟角有关的图形

利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

【例题精讲】

一 基础构图：

y=322

--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求

出P 点坐标

在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标

★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ?面积最大，求出P 坐标

★ 讨论直角三角形 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ?为直角三角形，

求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．

★ 讨论等腰三角形 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ?为等腰三角形，

求出P 坐标

O x

y

A B C D

O x

y

A B C D

y

O x

y

A

B C D

★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，

且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标

二 综合题型

例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，

求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？

当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？

(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

例2 考点： 关于面积最值

如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

例3 考点：讨论等腰三角形

如图，已知抛物线y ＝2

1x 2

＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），

点C 的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，

说明理由．

例4考点：讨论直角三角形

D B C O A y

x E B C O A 备用图

y x

y

x

B

A F

P

x ＝1

C

O

⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上

确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P

共有（ ）． (A ）2个 （B ）4个 （C ） 6个（D ）7个

⑵ 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝

2

1

x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．

例5 考点：讨论四边形

已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2

＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；

（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是

否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

三．综合练习：

1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴

O A B y

C

x

D E

2

B A y O C

x

交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。 (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐 标和此时△QAA '的面积。

2、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。 （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的

两部分，求出此时点M 的坐标；

（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积

是多少？并求出此时点P 的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x m

y 222

-=与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C 。

（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；

（2）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E （0，2），求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 在直线OB 上，且使得AMC ?的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

4、已知关于x 的方程2

(1)(4)30m x m x -+-+=。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于

A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一

个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。

5如图，抛物线y=ax 2+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A （﹣4，0）和B ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，

连接CQ ．当△CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标； （3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l ，使△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

三、中考二次函数代数型综合题

题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧

例1．已知二次函数y ＝x 2

＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且

x 1＜x 2．

（1）若x 1x 2＜0，且m 为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x 1＜1，x 2＞1，求m 的取值范围；

（3）是否存在实数m ，使得过A 、B 两点的圆与y 轴相切于点C （0，2），若存在，求出m 的值；若

不存在，请说明理由；

（4）若过点D （0，1 2 ）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M 、N 两点，且 MD DN ＝ 1 3 ，求该直

线的表达式．

题型二、抛物线与x 轴两交点之间的距离问题

例2 已知二次函数y= x 2

+mx+m-5，

（1）求证：不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点； （2）求当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短．

题型三、抛物线方程的整数解问题

例1． 已知抛物线222(1)0y x m x m =-++=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m ＜5，则整数m 的值为_____________

例2．已知二次函数y ＝x 2

－2mx ＋4m －8．

（1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；

（2）以抛物线y ＝x 2

－2mx ＋4m －8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ?（M ，N 两点在拋物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若抛物线y ＝x 2

－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数，

求整数．．m 的值．

题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合

例1．已知抛物线2y x bx c =++（其中b >0，c ≠0）与y 轴的交点为A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B (m ,n )，且AB =2. (1)求m ,b 的值

(2)如果抛物线的顶点位于x 轴的下方，且BO =20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）

题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等） 例1．已知：二次函数2y 4x x m =-+的图象与x 轴交于不同的两点A （1x ，0）、B （2x ，0）（1x ＜

2x ）

，其顶点是点C ，对称轴与x 轴的交于点D ． （1）求实数m 的取值范围；

（2）如果（1x +1）（2x +1）=8，求二次函数的解析式；

（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点1A 、

1B ，顶点为点C1，且△111A B C 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．

综合提升

1．已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，4），且| AB |＝2 3，图象的对称轴为x ＝1．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线y ＝x ＋m 的下方，求m 的取值范围．

A

O

x

y

2．已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．

（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，求m的值；（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．

3. 已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x轴

向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；

（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．

4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．

（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；

（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为22，求m的值．

四、中考二次函数定值问题

1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C．

（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L 2：y=kx 2

﹣4kx+3k （k≠0）．

①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．

2. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D(0，－2)作平行于x 轴的直线1l 、2l ．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；

(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．

3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx 与抛物线2422

y=x +x 273

交于点A （3，6）

． （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；

（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？

4．（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标

．．．；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

y

O

E

x

B

A