不等式(组)的字母取值范围的确定方法解析
不等式(组)的字母取值范围的确定方法
一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围
例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．
例2、已知不等式组15
3x a x a <
的解集为a 解：借助于数轴，如图1，可知：1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ． 二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围 例3、关于x 的不等式组23(3)1324 x x x x a <-+?? ?+>+??有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 分析：由题意，可得原不等式组的解为8 ≤a<5 2 - ． 例4、已知不等式组? ? ?<+>-b x a x 122的整数解只有5、6。求a 和b 解：解不等式组得?? ? ?? -<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知：2+a 只能在4与5之间。 21-b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5, 6<2 1 -b ≤7, ∴2≤a<3， 13 21(2) x y m x y m +=+-----?? +=------?满足x+y<0，则( ) A ．m>一l B ．m>l C ．m<一1 D ．m<1 解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝ 223 m +<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围． 解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=216 3x +. 又a ≤4＜b ， 所以, 312x -≤4＜216 3 x +， 解得:-2＜x ≤3. 四、逆用不等式组解集求解 例7、如果不等式组260 x x m -≥??≤? 无解，则m 的取值范围是 ． 分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3． 解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3． 图1 图2 图3 *例8、不等式组? ??>≤ 1有解，则（ ）． A m<2 B m ≥2 C m<1 D 1≤m<2 解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边， 也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）． 例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224 x x a x x -- ?+>??， 有解，则实数a 的取值范围是 ． 解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由 24 a x x +>可得x<12a. 因为不等式组有解,所以12a>2. 所以,4a >. 不等式（组）中待定字母的取值范围 不等式（组）中字母取值范围确定问题，技巧性强，灵活多变，难度较大，常常影响和阻碍学生正常思维的进行，下面简略介绍几种解法，以供参考。 一. 把握整体，轻松求解 例1. （孝感市）已知方程???-=++=+② ① m 1y 2x m 31y x 2满足0<-y x ，则（ ） ①-②得m y x 4=-，所以04<=-m y x ，解得 0 *例2. （成都市）如果关于x 的方程4x m 2x 2x 12 -=-+的解也是不等式组??? ??-≤-->-8 x )3x (22x 2x 1的一个解，求m 的取值范围。 解析：此题是解方程与解不等式的综合应用。 解方程可得2m x --= 因为04x 2≠- 所以04)2m (2≠--- 所以4m -≠且0m ≠① 解不等式组得2x -≤，又由题意，得22m -≤--，解得0m ≥ ② 综合①、②得m 的取值范围是0m > 例3. 已知关于x 的不等式2x )m 1(>-的解集是m 12 x -<，则m 的取值范围是（ ） 即0m 1<-，所以1m >。故本题选B 。 三. 对照解集，比较求解 例4. （东莞市）若不等式组???+>+<+1m x 1 x 59x 的解集为2x >，则m 的取值范围是（ ） 解析：原不等式组可变形为???+>>1m x 2 x ，根据“同大取大”法则可知，21m ≤+，解得1m ≤。 例5. （威海市）若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解，则a 的取值范围是（ ） 31 2图4 解析：原不等式组可变形为? ? ?-><1x a x ，根据“大大小小无解答”法则，结合已知中不等式组无解，所以此不等式组的解集无公共部分，所以1a -≤。 四. 灵活转化，逆向求解 例6. （威海市）若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解，则a 的取值范围是（ ） 解析：原不等式组可变形为?? ?-><1 x a x ，假设原不等式组有解，则a x 1<<-，所以1a ->，即当1 a ->时，原不等式组有解，逆向思考可得当1a -≤时，原不等式组无解。故本题选A 。 *例7. 不等式组? ??<-->-2a x 1 a x 的解集中每一x 值均不在7x 3≤≤范围内，求a 的取值范围。 解析：先化简不等式组得? ??+<->2a x 1 a x ，原不等式组有解集，即2a x 1a +<<-有解，又由题意逆向思 考知原不等式的解集落在x<3和x>7的范围内，从而有32a ≤+或71a ≥-，所以解得1a ≤或8a ≥。 五. 巧借数轴，分析求解 例8. （山东省）已知关于x 的不等式组? ??->-≥-1x 230 a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是________。 解析：由原不等式组可得? ? ?<≥2x a x ，因为它有解，所以解集是2x a <≤， 此解集中的5个整数解依次为1、0、1-、2-、3-，故它的解集在数轴上表示出来如图1所示，于是可 知a 的取值范围为3a 4-≤<-。 例9. 若关于x 的不等式组? ??<>-+>-2x 5a x 0 x a 3有解，则a 的取值范围是______ 解析：由原不等式组可得? ??-> 3x ，因为不等式组有解，所以它们的解集有公共部分。在数轴上，表示 数3a 的点应该在表示数a 5-的点右边，但不能重合，如图2所示，于是可得a 5a 3->，解得4 5 a >。故本题填 4 5。 例10.如果不等式组2 223 x a x b ?+???- 【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，?再利用解集的等价性求出a 、b 的值，进而得到另一不 等式的解集． 【答案】解：由 22x a +≥得42x a ≥-；由23x b -<得32b x +< ，故3422 b a x +-≤<， 而01x <≤，故4－2a=0， 32 b +=1，故a=2, b=﹣1，故a+b=1 例11.如果一元一次不等式组3 x x a >?? >? 的解集为3x >．则a 的取值范围是(C ) A ．3a > B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．3a < 例12.若不等式组0, 122x a x x +??->-? ≥有解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．1a -≥ C ．1a ≤ D ．1a < 【解析】本题考查一元一次不等式组的有关知识，由不等式组0122x a x x +??->-?≥得1 x a x -?? 有解，所以1a >-，故选A. 例13.关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = -3 ． 例14.已知关于x 的不等式组0521x a x -??->? ≥， 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ____ (32a -<-≤) 例15．（黄石市）若不等式组530, x x m -?? -?≥≥有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A.m ≤ 53 B.m ＜ 53 C.m ＞ 53 D.m ≥ 53 解 解不等式组530,0x x m -??-?≥≥，得,. x x m ? ≤???≥? 53其解集可以写成m ≤x ≤53，即m ≤5 3.故应选A . 例16.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x ＞1，则k 的范围是 。从而断定2k+1<0，所以k<12 -。 例17、如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x< 10 7 ，求关于x 的不等式ax>b 的解集。 分析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<10 7 ，观察到不等号的方向已作了改变，故可知(2a －b)<0，且 510 27 b a a b -=-，解此方程可求出a ，b 的关系。 解：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<10 7 ，可知： 2a －b<0，且510 27 b a a b -=-，得b=35a 。结合2a －b<0，b=35a ，可知b<0，a<0。则ax>b 的解集为x<35。 例18、已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a 的取值范围是什么？ 分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。 解：由4x －a ≤0得x ≤ 4 a 。 因为x ≤4时的正整数解为1，2，3，4； x ≤4.1时的正整数解为1，2，3，4； … x ≤5时的正整数解为1，2，3，4，5。 所以4≤ 4 a <5，则16≤a<20。 其实，本题利用数形结合的方法来解更直观易懂。根据题意画出直观图示如下： 因为不等式只有四个正整数解1，2，3，4，设若4 a 在4的左侧，则不等式的正整数解只能是1，2，3，不包含4；若4a 在5的右侧或与5重合，则不等式的正整数解应当是1，2，3，4，5，与题设不符。所以 4 a 可在4和5之间移动，能与4重合，但不能与5重合。因此有4≤4 a <5，故16≤a<20。 例19.已知a,b 是实数，a+b=2, b a 2≥，求b a 的最大值或最小值。 例20.若不等式组?? ?--3 21 2 b x a x 的解集为11 x -,则()()11-+b a 的值为_________. 例21. 已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x w 245++=的最大值和最小值。 例22. 若－5≤2a－3b≤1，－2≤3a+b≤7求（1）a ，b 的范围 （2）a －7b 的范围 解：设x(2a-3b)+y(3a+b)=a-7b ∴2x+3y=1, -3x+y=-7 ∴x=2 y=-1 ∵-5≤2a-3b ≤1，-2≤3a+b ≤7 ∴-10≤2(2a-3b)≤2 -7≤-(3a+b)≤2 ∴-17≤a-7b ≤4 1. 0)1)(2(≥-+x x .求x 的取值范围． |(x-2)(x+1)|=(x-2)(x+1),求x 的取值范围． 2. 03 1 ≥--x x 21≥-x 32≤+x .234512x x x -≤-≤- 3. 01≥-x 01≤+x 03 +x 031≥--x x 13 1 2≥--x x 专题的一个练习，请认真完成！ 1. 若不等式组 3. 若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ?? ?>≤ 4 3210 精选 不等式的字母取值范围的确定方法 . 4.如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A.a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 5.不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是 6.已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是－5，求a 的取值范围． 7.已知不等式13 a x ->的每一个解都是x ＜3的解，求a 的取值范围。 8.如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 9.已知a 、b 为常数,若ax+b>0的解集为x<13 ,则bx －a<0的解集为（ ） A 、x>－3 B 、x<－3 C 、x>3 D 、x<3 10.已知关于x 的不等式x-2a ＞4的解是正数，则a 的范围是 ； 已知关于x 的不等式x-a ＜3的解是负数，则a 的范围是 . 11.如果关于x 的不等式(1)5a x a -<+和24x <的解集相同，则a 的值为______．若不等 式 132 x a x a --->的解集与x ＜6的解集相同，则a 的取值范围_____． 12.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x ＞1，则k 的范围是 。 13.已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解，那么正数a 的取值范围是 14.若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ≤7 B ．a ≤7 C ．a ＜1或a ≥7 D ．a=7 15.已知关于x 的不等式2x －a ＞3的解是正数，求a 的取值范围 16.若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是 。 含字母参数的一元一次不等式（组） 1、关于x 的不等式3x >m 的解集为x >6 ，则m 的值为 . 2、关于x 的不等式－2x +a ≥2的解集如图所示，则a 的值为 . 3、关于x 的不等式组24x a x b +? 的解集是－3 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当 （i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11< 精品文档 精品文档 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253-??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>?? ≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 不等式(组)的字母取值范围的确定方法 一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围 例1、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2。的解集为x<2，则a 的取值范围是( )。 A.a<0 B.a<-1 C.a>1 D.a>-1 例2、已知不等式组153 x a x a <+??有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 例4、已知不等式组?? ?<+>-b x a x 122的整数解只有5、6。求a 和b 三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围 例5、已知方程组213(1)21(2) x y m x y m +=+-----??+=------?满足x+y<0，则( ) A.m>-1 B.m>1 C.m<-1 D.m<1 例6、已知2a -3x ＋1=0，3b -2x -16=0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围． 四、逆用不等式组解集求解 例7、如果不等式组260x x m -≥??≤? 无解，则m 的取值范围是 ． 例8、不等式组? ??>≤ 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253 -??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>??≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 18、已知a ，b 是实数，若不等式（2a ﹣b ）x+3a ﹣4b ＜0的解是 ，则不等式（a ﹣4b ）x+2a ﹣3b ＞0的解是 _________ ． 解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的 问题 ——类比不同条件，体会异同 ◆类型一已知解集求字母系数的值或取值范围 1.（2017·毕节中考）关于x的一元一次不等式 m－2x 3≤－2的解集为x≥4，则m的值为（） A.14 B.7 C.－2 D.2 2.（2017·金华中考）若关于x的一元一次不等式组 ?? ? ??2x－1＞3（x－2）， x＜m 的解集是x＜5，则m的取值范围是【易错11】（） A.m≥5 B.m＞5 C.m≤5 D.m＜5 3.已知关于x的不等式组 ?? ? ??x≥－a－1①， －x≥－b② 的解集在数轴上表示如图所示，则a b的值为. 4.若不等式组 ?? ? ??2x－a<1， x－2b>3 的解集为－1＜x＜1，求代数式（b－1）a＋1的值. ◆类型二已知整数解的情况求字母系数的取值范围 5.关于x的不等式x－b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（） A.－3 ◆类型三 已知不等式组有、无解求字母系数的取值范围 8.若关于x 的不等式组? ????5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A.m ≤53 B.m ＜53 C.m ＞53 D.m ≥53 9.已知关于x 的不等式组? ????x －a ≥0，5－2x ＞1无解，则实数a 的取值范围是 . 10.若关于x 的不等式组? ????x ＋1x －7②有解，求实数a 的取值范围.【易错11】 含参不等式题型 一、给出不等式解的情况，求参数取值范围： 总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住：“大小小大有解；大大小小无解。”注：端点值格外考虑。 1：已知关于x 的不等式组3x x a >-???????+>-??的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。 4、已知关于x 的不等式组2113x x m -?>???>?的解集为2x >，则( ) .2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤ 5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >?? >?的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-??? p f 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m ?，有解，则m 的取值范围是__ ___。 8、若关于x 的不等式组?? ?->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。 二、给出不等式解集，求参数的值 总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。 1：若关于x 的不等式组2123x a x b -? 的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。 2：已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<，求a 的值。 3、若关于x 的不等式组 的解集为 ，求a,b 的值 {a b x b a x 22>+<+3 3<<-x 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 求一元一次不等式(组)中字母参数取值范围 专题(作业) 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253-??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>??>?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 一元一次不等式（组）求字母系数综合练习（含解析）1．（2015?伊春模拟）若不等式组的解集是2＜x＜3，则a，b的值是（）A．2；﹣3 B．3；﹣2 C．3；2 D．2；3 2．（2009春?天长市期末）不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是．3．若a≠0，则不等式ax＞b的解集是． 4．（2009春?北京期中）若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么代数式ab的值是． 5．若a＞b＞0，关于x的不等式组的解集是． 6．（2009春?榕江县校级期末）不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围 是． 7．（2012春?城区校级期末）若不等式组的解集是空集，则a的取值范围 是． 8．不等式组的解集是0＜x＜2，则a+b的值等于．9．（2009?烟台）如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为．10．如果不等式组的解集是0≤x≤1，那么a+b的值为． 11．（2011?成华区二模）若不等式组的解集是0≤x＜1，则代数式a﹣b的值是． 12．（2012春?新罗区校级月考）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则2a+b的值为． 13．（2014春?金坛市校级月考）如果不等式组的解集是0≤x≤1，那么a+b的值为． 14．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为． 15．已知a＞b＞0，不等式组的解集是． 16．不等式（a﹣2）x＞b的解集是x＜，求a的取值范围． 17．（2014?硚口区一模）已知直线y=3x+b经过点A（2，7），求不等式组3x+b≤0的解集．18．已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值． 19．若不等式组：的解集是5＜x＜22，求a，b的值． 20．（2014秋?万州区校级期末）如果不等式组的解集是1＜x＜2，求：a+b的值 21．（2012春?启东市校级期末）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，求（a+b）2012的值． 《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 教材分析：本章内容在学习了《一元一次方程》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。教学准备（预习学案） 1、⑴不等式组? ??-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组???-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组???≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组???-≤>4 5x x 的解集是 . 2、关于x 的不等式组12x m x m >->+??? 的解集是1x >-，则m = ． 3、如图是表示某个不等式组的解集，则该不等式组的整数解的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4、不等式组? ??--≤-.32,281x ＞x x 的最小整数解是（ ） A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3 5、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __. 6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __. 7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。 预习要求： 1、复习上节课的知识，考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度， 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集：同大取大；同小取小；大小小大（大于较小的数，小于较大的数）在中间；大大小小（大于较大的数，小于较小的数）不存在. 2、根据不等式组的解集，结合数轴，能找出满足条件的解（如整数解），并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别，为本节课的拓展应用打下基础。 教学步骤： 一、例题教学 例1、 1、关于x 的不等式3m-x<5的解集x>2,求m 的值。 2、不等式 mx-2<3x+4的解集是 ， 则m 的取值范围是 变式1.如果不等式（m ﹣2）x ＞m ﹣2的解集为x ＜1，那么（ ） A ．m≠2 B．m ＞2 高中数学知识专项系列讲座 含参数不等式的解法 一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式()0f x >（或()0f x <）的解集是D ，x 的某个取值范围是E ，且D E ≠?， 则称不等式在E 内存在解（或称有解，有意义）. 例1.（1）不等式13x x a +--<的解集非空，求a 的取值范围； （2）不等式13x x a ++-<的解集为空集，求a 的取值范围. （分析：解集非空即指有解，有意义，解集为?即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题） 解：（1）设41()13221343x f x x x x x x -<-?? =+--=--??>? ≤≤， 易求得()[4,4]f x ∈-， ()f x a <有解min ()f x a ?<， ∴4a >-为所求 （2）设22 1()134 13223x x g x x x x x x -+<-?? =++-=-??->? ≤≤， 易求得()[4,)g x ∈∞， ()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求 （注：①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和（或差），由几何意义，易得()f x 与()g x 的值域； ②不等式()a f x >有解（有意义或成立）min ()a f x ?>；不等式()a f x <成立（有 解或有意义）max ()a f x ?<；） 例2.关于x 的不等式组22202(25)50 x x x k x k ?-->?+++的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞， 设不等式2 2(25)50()(25)0x k x k x k x +++-25->),2 5 (k B --=∴ 要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图， 易知3k -≤，∴3k -≥ 又2k ->-，得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求 -52 不等式中字母的取值范围 习题 一，根据不等式的解集确定字母取值范围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1．的解集为x<1，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 练习一：根据性质： 1、已知a ，b 是常数，不等式ax+b ＞0, 当 时，不等式的解集是x ＞a b - ； 当 时，不等式的解集是x ＜a b -。 2、若ax ＜a-1的解集是x ＜a a 1-，则a 3、若（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 4、若（m-1）x ＞m-1的解集是x ＜1，则m 5、若关于x 的不等式x-m ≥-1的解集如图所示，则m 。 练习二：综合拓展： 1、已知三角形的三边长分别为6，x-2，4，则x 的取值范围是 分析： 2、若()04232 =--+-a x y y ，且x 为负数，则a 分析： 练：若()0332=++++m y x x ，且y 为负数，则m 3、如果x x +=+11，2323--=+x x ，则x 的取值范围是 分析： 练：如果1212-=-x x ，x x 3553-=-，则x 的取值范围是 练习三：与方程（组）的解有关： 1、已知y=2x-3，要是y ≥x ，求x 的取值范围 2、若关于x 的方程3x+3k=2的解是正数，则k 练：①当k 取何值时，关于x 的方程1)(3k 2-2 1+-=k x x 的解是负数 ②关于x 的方程3x+2n=2的解是非负数，则n ③当k 为何值时，关于x 的方程3x=5-4k 的解小于-3 二，根据不等式组的解集确定字母取值范围 例2、不等式组???>≤ 【例1】⑴已知方程2 4(1) 2 x a x + =-的解为3 x=，则a=； ⑵已知4 -是方程3 60 2 kx-=的解，则1999 k=． 【解析】⑴根据方程解的意义，把3 x=代入原方程，得23 4(31) 2 a ?+ =-，解这个关于a的方 程，得10 a=． ⑵根据题意可得3 (4)60 2 k?--=，1 k=-，则19991 k=-． 【例2】如果 38 26 x x +- -与 21 1 3 x+ -互为相反数，且x满足方程3 ax a x -=+，求a的值．夯实基础 模块一含字母系数的一元一次方程 10含字母系数的 方程和不等式 【解析】 212x =，27 19 a =. 【拓展】若12x m = 是方程21423x m x m ---= 的解，求代数式()211428142m m m ?? -+--- ??? 的值． 【解析】将12x m =代入方程21423x m x m ---= ， 得112()122423 m m m m ---= ，解得3m =． 化简代数式： 原式2211 21122 m m m m =-+--+=-- 当3m =时，原式9110=--=-． 【例3】 ⑴ 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解； 当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解； 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解． ⑵ 解关于x 的方程()()1 34 m x n x m -=-． 【解析】 ⑴ 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-， ；11a b ==-，. ⑵ 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=- 当34m ≠时，方程的解为4343mn m x m -=-； 当34m =，3 4n =时，解为任意值； 当34m =，3 4 n ≠时，方程无解． 【例4】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无穷多个解，那么a = ， b = ； ⑵ 已知关于x 的方程3(2)(21)5a x b x +=-+有无穷多个解，求a 与b 的值． 【解析】⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+， 故350a -=且230a b +=，即53a =，10 9 b =-； ⑵ 方程可以化为：(321)56a b x a -+=-， 因为方程有无数多个解，所以3210,560a b a -+=-=，解得：56 a =，7 4b =． 【巩固】已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无穷多个解， 能力提升 《不等式(组)的字母取值范围的确定方法》教学设计 教材分析：本章内容是北师大新版八年级数学（下）第二章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用口诀或数轴直观的得到一元一次不等式组的解集。 学情分析：在学习了一元一次不等式组的解法之后,学生就会经常遇到求一元一次不等式组中字母系数的值或求其取值范围的问题. 不少学生对解决这样的问题感到十分困难. 事实上,只要能灵活运用不等式组解集的知识即可顺利求解. 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握逆向思维和数形结合的数学思想。 学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。 （2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。 教学准备 1、复习上节课的知识，考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度， 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集：大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 2、根据不等式组的解集，结合数轴，能找出满足条件的解（如整数解），并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别，为本节课的拓展应用打下基础。 1、⑴不等式组???-≥>1 2x x 的解集是 . ⑵不等式组???-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组?? ?≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组???-≤>45x x 的解集是 . 一、已知不等式的解集确定字母系数的问题 1. 逆向运用“大大取大”求解参数 分析：逆向运用大大取大归结为：若不等式组???>>b x a x 的解集为b x >，则b a ≤ 例1.(2014恩施市) 如果一元一次不等式组???>>a x x 3的解集为a x >，则a 的取值范围是：( ) A. a ＞3 B. a ≥3 C. a ≤3 D. a ＜3 变式练习1：若不等式组? ??<->+m x x x 544的解集是3 不等式·含有字母系数的不等式的解法·教案 教学目标 1．初步理解含有字母系数不等式求解的基本思路，并让学生了解使用分类讨论方法的起因． 2．培养学生分析、概括能力及运算能力． 3．提高学生思维的严谨性和深刻性． 教学重点与难点 教学重点：含有字母系数不等式的求解基本模式的形成． 教学难点：分类讨论方法的正确使用． 教学过程设计 （一）引入课题 师：我们已经研究了几类基本不等式的解法，今天研究在系数中含有参变数即含有字母系数的不等式的解法． （板书：含有字母系数的不等式的解法） （二）讲解新课 师：先从一个具体的例子说起． （板书） 例1 解关于x的不等式． （1）ax＜4． 师：先请同学们来试解一解． 师：下面请同学们讨论一下，以上两位同学做法哪个正确． 生：两种解法都有问题，甲没有讨论是不对的，乙虽然讨论了，但讨论的情况不全，所 以都有问题． 师：为什么一定要讨论呢？要讨论又该怎样讨论呢？ 生：因为不知道a的正负，所以除以a后不知道不等号方向是否发生改变，因此需要讨论． 师：如果能把问题说得再透一点儿，从根源上讲，解关于x的不等式即求出x＜（＞）m的一个不等式，因此需对所给不等式进行变换，而变换为保证等价必须依据不等式的性质，就这个不等式而言，应根据不等式哪条性质呢？ （板书）（2）mx＞n． （请学生思考片刻，并提示注意字母n带来的变化） 师：根据刚才的讨论，把题目完整地解出来． 生：解：原不等式（x-a）（x-a2）＞0． 当a＜0或a＞1时，a2＞a，原不等式解集为｛x＜a或x＞a2｝；当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式解集为｛x|x＜a2或x＞a｝． 当a=0或a=1时，a2=a，原不等式解集为｛x|x∈R且x≠a｝． 师：对于这种类型的不等式也常常用到分类讨论这种方法，但是使用的原因与例1是不同的，它是由于对不等式作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．当然这类关于x的不等式的一般情形应是a（x-b）（x-c）＞0．至于它的求解问题，在例2的基础上，让同学们自己课下解决． 含参数不等式的解法 典题探究 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(－21 ，+∞) B.(－21，2 1) C.(－∞，－2)∪(－2 1 ，1) D.(－2，－2 1 )∪(1，+∞) 2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2 ，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2 b )，则f (x )·g (x ) ＞0的解集是__________. 3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 4． 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 不等式(组)的字母取值围的确定方法 一、根据不等式(组)的解集确定字母取值围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 例2、已知不等式组15 3x a x a <+??有四个整数解，则a 的取值围是 ． 分析：由题意，可得原不等式组的解为8 不等式字母范围的确定练习一 1．写出不等式组的解集 （1）???≥>22x x （2）???<<22x x （3）???≥≤22x x （4）???≤>2 2x x 变式1：若a<2, 请确定下列不等式组的解集 （1）???≥>a x x 2 （2）???<a x x 2 变式2：（1）若不等式组???≥>a x x 2的解集是2>x ，则a 的取值范围为 (2)若不等式组???≥≤a x x 2的解集 时2≤≤x a ，则a 的取值范围为 （3）若不等式组?? ?≥≤a x x 2无解，则a 的取值范围为 2.若不等式组???≤>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式1：若不等式组? ??<>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式2：关于x 的不等式组010x a x ->?? ->?，只有3个整数解，则a 的取值范围是 ； 3.若不等式组12x x m <≤??>?有解，则m 的取值范围是（ ）．A ．m<2 B ．m≥2 C ．m<1 D ．1≤m<2 4. 不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是 5、已知a b <<0，那么下列不等式组中有解的是 （ ）A ．???<>b x a x B ．???-<->b x a x C ．???-<>b x a x D ．???>-a x x 1无解，则a 的取值范围是（ ）A .a ≤1 B .a ≥1 C . a <1 D .a ＞1 7、已知关于x 的不等式组? ??--0x 230a x ＞＞的整数解共有5个，求a 的取值范围。 8. 已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是－5，求a 的取值范围． 9. 已知不等式13 a x ->的每一个解都是x ＜3的解，求a 的取值范围。最终版不等式的字母取值范围的确定方法.doc
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