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2013年全国大学生数学建模竞赛A题

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

在城市道路中通常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段内事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。

针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。

针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。

针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为

130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。

针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期内能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。

关键词：通行能力统计估算层次分析非线性回归方程 SPSS 软件排队论车流波动

一、问题重述

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

1.根据视频一，描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行

能力的变化过程。

2.根据问题一所得结论，综合视频二，分析说明同一横断面交通事故所占车道不

同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3.构建数学模型，分析视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断

面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量的关系。

4.假如视频一中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140m，路段下游方向需

求不变，路段上游车流量为1500(/)

pcu h，事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度

将到达上游路口。

二、问题假设

1．假设统计数据真实有效；

2．假设所测车速与实际情况相当；

3. 假设问题一、二中车辆各行其道不抢占其他车道；

4. 假设问题四中的来车保持稳定；

5. 假设小车全为标准车型，一辆大车相当于两辆标准车型的小车；

6. 假设小车车身的标准长度为5m；

7. 假设所建模型不再受其他因素的影响；

8. 假设每个模型中事故不再重复发生；

9. 假设小车在第四问排队中保持的车距为1m。

三、符号说明一览表

四、问题分析

3.1对问题一的分析

根据附件视频一所示，发生交通事故之前与事故发生至撤离期间的车辆的运行状态有明显的差异。分析所得，差异产生的原因主要是车道被占用，车速减慢，而导致交通通行能力减小，交通需求大于事发断道路通行能力。针对问题一，我们首先根据视频一统计事故发生前后不同时间断的最大车流量然后根据城市道路通行能力的数学理论计算公式034

1000

3.6N t d d cv v

+++，发生交通事故后，我们并对其修改，得到修正模型。由城

市干道的基本通行能力与车速v 的关系（如表3.1.1所示），得出理论的最大车流量。最后，将统计的最大车流量与理论最大车流量比较，进一步得出通行能力的变化过程。

表3.1.1 城市干道的基本通行能力N 与车速v 的关系

3.2对问题二的分析

基于问题一的模型，我们通过改变不同车道的折减系数不同修改理论通行能力数学模型，第二次交通事故中所占用的车道位置与问题一有所不同，只需通过问题一的模型计算出同一横断面占用不同车道时的通行能力。与问题一的结果进行比较，得出差异。 3.3对问题三的分析 3.3.1对模型一的分析

因为实际情况的复杂性以及不确定性，很难通过交通流问题来确定交通事故的车辆长度与道路通行能力，事故持续时间，上游车流量之间的关系，但是可以确定的是车辆长度是因变量，而其他三个量是作为自变量的来影响因变量的变化的。所以我们选择首先通过数据的收集，以及资料的查阅，运用层次分析模型把车辆长度作为目标层，其他三个作为准则层，得出各个因素对目标的影响大小。接下来我们运用回归分析的模型，确定具体的函数关系，得到非线性方程。 3.3.2 对模型二的分析

车流波动理论的理论解释：

假设上游交通需求量大于事发路段现有通行能力，到达车流在事故地点陆续减慢速

度甚至停车而集结成密度较高的队列，事故解除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速而疏散成一列具有适当密度的车队，车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流波动。

根据车流波动理论，在交通事故发生至撤离期间，上游车流由高速低密的畅通状态转变为低速高密的拥挤状态，从而形成集结波，波面以一定的速度向车队的后方传播；事故解除后，除了集结波继续向车后方传播外，在车队的前方又形成了消散波，波面同样向车队后方传播。当消散波的速度大于集结波的速度时排队消散终能消散，这样我们就可以得出事故持续时间，车道通行能力，上游车流量与车辆排队长度之间的关系。3.4对问题四的分析

该问题的关键在于路段研究上游交通需求量与事故地段现有通行能力的大小，因为考虑到上游来车有红绿灯的影响，所以我们将对来车进行周期性考虑。假定在每个周期内来车数连续且相对稳定，也就是每个周期内的车流量保持一致，我们采用等待制排队模型。

五、模型的建立与求解

5.1 准备工作

5.1.1数据处理

1.附件中视频一、二以外的数据全部缺失，不予考虑。

2.信号灯控制下的交通流呈周期性变化，所以只需考虑一个周期的情况。

3.对数据的周期性特点进行数据提取。

4.车辆在各时段速度数据残缺，根据车辆速度的理论根据，以及变化趋势进行补充。

5.1.2预测的准备工作

根据数据特点，对总体和个体的特点进行比较，以表格或图示方式显示。

5.2问题一模型的建立求解

5.2.1道路通行能力的实际数学模型

名词解释：

1.道路通行能力：指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，它由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定，其数值相

对稳定。

2.通行能力折减系数：通行能力与车道的位置不同而递减的系数，一般规定最靠中线的车道为1，右侧第二条为0.8-0.89，第三条为0.65-0.78，第四条为0.50-0.65。

根据通行能力的定义，首先对视频一车辆实际通行能力进行统计估算，得到通行能力变化数据结果如图5-2-1：

图5-2-1视频1实际通行能力变化折线图

结果分析：在发生交通事故前以及事故撤离后，道路的实际通行能力都保持在2400（辆/h ）左右，而在交通事故发生到撤离之前通行能力逐渐下降，直至保持在1300（辆/h ）左右。

5.2.2 道路通行能力的数学理论模型

通过查阅相关资料以及理论分析，在事故发生之前与撤离之后道路通行能力是一样的，因此，只需建立事故发生前的数学模型。

未发生事故之前道路的修正理论通行能力数学模型为：

∑==3

1i i N N （3,2,1=i ）（1）

i k v

d d cv t N 4306.31000

+++=

（3,2,1=i ）（2）

其中，如图5-2-2所示，根据折减系数的定义，以及该条道路各车道流量比例的分析，我们取车道二的折减系数12=k ，车道三的折减系数44

k ，车道一的折减系数为

21，同时根据查阅相关资料以及对附件视频的车速测定，我们得出未发生交通事故之前的车速()h km v /8.45=，把2k ，v 带入（2）式得到： 11258

.4578.4501.06.311000

2=+?+=

N （辆h /）（3）

同样，现在只需在2N 的基础上乘以折减系数，就得到：

53644

21=?

=N N (辆/h ) （4） 89444

13=?

=N N （辆/h ）（5）把（3）（4）（5）式带入（1）式，得到道路理论通行能力： 2555321=++=N N N N (辆/h )

（6）

结果分析：在未发生交通事故之前，道路通行能力的理论值为2555(辆/h )，与实际通行的相对误差为： 06.02555

2400

2555=-=

w （7）

所以，理论值与实际值相当，模型合理。

图5-2-2 交通事故道路位置示意图

发生事故至撤离期间道路的修正理论通行能力数学模型为：

事故发生后，车道二，车道三被占用（如图5-2-2），行车速度减慢，理论上车道二、三通行能力为零，事实上，我们通过视频一得到的情况是车道二并未被完全占用，仍然有车通过，通过观察我们估计车道一、车道二总共占用的车道宽度为它们总宽度的

。

与未发生事故前车道折减系数的计算方法，我们把车道一二的总的流量比例的4

与车道二流量相比，得到未被占用车道宽度的折减系数：

4(2144)3

1.11444

k +=

?= （8）事故发生后车速将为6.21'=v （h km /），把（8）和'v 带入（2）式，得到事故发生后的理论通行能力：

)/(135611.16

.217

6.2101.06.311000

'h N 辆=?+?+=

（9）

结果分析：发生交通事故至撤离期间的理论通行能力为1356（辆h /），与实际通行能力的相对误差为：

04.01356

1300

1356'=-=

w （10）

所以，事故阶段理论值与实际值也相当，模型合理。 5.2.3 误差分析

由于车数的变化不规律，以及车速的不稳定性，所以我们用理论的数学模型计算出来的数据与实际情况会有偏差，理想情况下，理论情况与实际情况是互相吻合的。所以我们结合实际情况对模型进行了一定的修改，尽量让误差相对小。

5.3 问题二模型的建立与求解

5.3.1 同一横断面所占不同车道的道路实际通行能力比较模型

我们通过视频二采集数据如表5-3-1，进行统计分析，并与问题一得到的数据进行比较，得出交通事故所占不同车道的差异，如图5-3-2：

表5-3-1视频二不同时间车辆通行变化表

图5-3-2相同横断面占用不同的实际道路通行能力的差异图

5.3.2 同一横断面所占不同车道的道路通行能力的理论比较模型

根据问题一事故发生期间，我们对所占车道不同折减系数取值进行修改，算出其折减系数为：

()35

.14

344

4435=?+=

k （11）

并且通过统计数据得到速度()h km v /15''=，把k v ,''代入（2）式，得出视频二的理

论通行能力：

150935.115

71501.06.311000''=?+?+=

N (辆/h )

（12）

结果比问题一所得的理论通行能力1356（辆/h ）要大一些。 5.3.3 结果分析

分别对同一截断面所占车道不同对该截断面的实际通行能力与理论通行能力之间的差异相比，我们得出的结论是：同一截断面交通事故所占车道不同该截断面的通行能力与所占车道的车流量比例呈负相关性，也就是说通行能力会随着所占据车道的车流量比例的变大而变弱，即一、二车道被占后的通行能力比二、三道的通行能力要强。

5.4问题三模型的建立与求解

5.4.1模型一：层次分析与线性回归模型的建立与求解

基于层次分析的思想，经过查阅相关资料以及附件视频数据的统计分析，我们把事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量分为影响车辆长度的三个指标作为准则层，车辆长度作为目标层，求出各个准则对目标层的影响大小。

指标权重求解的层次分析法步骤：

应用层次分析的思想，根据题目中的相关因素，构造事故横断面实际通行能力，事故持续时间，路段上游车流量对路段车辆排队长度的对比矩阵A 。

?????

?????????

=134544313

245231A

通过MATLAB 对矩阵进行归一化处理得到特征向量W ：

W=(0.40540.27030.3243)

同样利用MATLAB 求得特征矩阵为：

???

?????--+-=i i 0608.00006.00000608.00006.00000012.3λ 由特征矩阵得最大的特征值：0012.3max =λ

通过查阅书籍资料，得到不同阶数下平均一致性指标RI 的值，如表5-4-1。然后，

把所求的的最大特征值max λ以及3阶矩阵带入公式：1

max --=n n

CI λ

由表5-4-1得三阶矩阵的58.0=RI ，带入公式CI

CR RI

,得到： 0.0006CI = , 10.0001.0<=CR

该结果具有满意的一致性。

又由权重向量=(0.40540.27030.3243)W 可知上游车流量的权重最大，说明在个体因素中对各段车辆排队长度影响最大，其次是横断面实际通行能力。

层次分析模型已经得到各个指标对目标层的影响关系的大小，下面我们采用线性回归模型求出各项指标与目标层的非线性函数关系式。

回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。利用所求的关系式，根据一个或多个变量的取值来控制另一个特定变量的取值，并给出这种控制的精确程度。统计数据如表5-4-2：

表 5-4-2 车辆排队长度与通行能力、持续时间、上游车流量的数据统计表

多元线性回归的数学模型可以表示为ε++++=3322110x b x b x b b y ，式中3210,,,b b b b 是

4个待估计的参数，2N(0,) 是相互对立且服从一正态分布的随机变量，y 是随机变量，

x 是非随机变量。

设y 为事故影响的路段车辆排队长度，1x 为事故横断面实际通行能力，2x 为事故持续时间，3x 为路段上游车流量。

以y 为因变量，1,23,x x x 分别为自变量，假设y 与123,,x x x 都分别成线性关系，由表5-4-2利用SPSS 软件对它们分别作线性回归拟合，得到如下图形：

图一 y 与1x 线性拟合图图二 y 与3x 线性拟合图

图三 y 与2x 线性拟合图图四 y 与2x 二次关系拟合图

如图一、二、三我们得到y 与13,x x 成线性关系，与2x

不成线性关系，所以我们假定

y 与2x 成二次关系，对数据进行拟合，得到图四，由此可以得到y 与2x 成二次关系，所以，我们设方程为2123y ax bx cx d =+++，然后我们用SPSS 软件确定该方程的系数（如表5-4-3）

表 5-4-3 线性方程的系数确定表

因此我们得到交通事故所影响车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的非线性函数关系式：

（13）

其中

2x 的Sig.值过大使得与y 不显著，我们还把实际数据带入方程检验,发现也不符合,因此我们剔除2x 进一步分析1x 、3x 与y 的相关性（如表5-4-4）

表 5-4-4 线性方程的系数确定表

21230.040.030.186.464

y x x x =--+-

1x 与3x 的Sig.值符合要求即是1x 、3x 与y 线性相关显著，而2x 与y 相关性不显著，

因此我们得到交通事故所影响车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、路段上游车流量间的改进过后的线性函数关系式：

130.0430.09263.623y x x =-+- （14）

结果分析：事故持续时间与交通事故所影响车辆排队长度的关系不显著，所以我们得到的线性方程中，y 的值只与13,x x 有关，与2x 相关性非常小。这个结果与视频当中观察到的情况基本相符。 5.4.2问题三模型一的结果分析

运用层次分析模型，我们对目标层与准则层进行定量的分析，得出上游车流量的权重最大，对交通事故中排队长度影响最大，其次是横断面的实际通行能力，影响最小的是事故持续时间。在回归分析模型得出的非线性方程中，我们对目标与因素之间建立了定性的模型。

5.4.3 模型二：车流波动理论模型的建立与求解

首先设,x y W 为集散波的波速（/km h ），x y Q Q 、为前后两种车流状态的流量（辆/h ），x y K K 、为前后两种车流状态的密度辆（/km h ）。所以根据车流波动理论可知，波速公式为：

,()/()x y x y x y W Q Q K K =-- （15）

根据交通流模型可知交通量Q 、行车速度v 、车流密度K 三者的关系为：

v Q K =? （16）

又由格林希尔茨（Green-shields ）速度-密度线性关系模型：

v=v (1/f j k k -）

（17）其中：t v 为畅行速度，即车流密度为零时，车辆的最大速度；k j 为阻塞密度，即车流密集到所有车辆无法移动时的速度。

由以上（15）（16）（17）式可以推导出波速与密度的关系：

s ,(1)y

x y f j

K K W v K +=-

（18）

事故发生时堵塞了部分车道，该路段通行能力下降1S ；相应密度上升1s k ；交通事

故处理所需时间为0T ；事故解除后到车队消散前通行能力回升2S ；车流密度相应地下降为s2k 。路段的通行能力会因此变化，由车流波动理论中车辆累计及消散过程图（如图5-4-4）可知图中虚点划线的斜率表示横断面的通行能力。路段上游交通需求量为

12Q Q 、、由图5-4-4中实线斜率表示；持续时间为1T 、2T 、；相应车流密度为

K K 、。

图 5-4-4 车辆累计及消散过程图

在图5-4-4中还可以看出当两条折线相交是表示车队消散，所需时间为T 。但无法计算出排队长，可用车流波动理论进行求解。图5-4-5为事故后一对n 辆车的运行状态变化图。

图5-4-5 车流波动传播图

图5-4-5中每条曲线表示一辆车运行的时间-空间轨迹。横轴表示时间，纵轴表示与事故点的相对位置，原点O 表示事故发生点，纵轴的负半轴表示事故点的上游，正半轴表示事故的下游，虚线OA AB 、表示集结波，CB 表示消散波，其斜率的绝对值表示波速，斜率的正负号表示波传播的放向。两波相遇的时间为T ，当集结波与消散波在

0T >范围内有交点时，表示车队可以在有限时间内消散，否则不能消散。

首先假设两波相遇之前该路段需求量始终为1Q ，OA CB 与相交处表示排队向上游延伸的最远处，设两波相遇时的时间为T ，集结波波速为,I II W ，消散波波速为,II III W ，则根据两波相遇时波传动的距离相等这一关系可知：

,,0()I II II III W W T T =?- (19)

其中：

1111

,11v 1-s I II f

s j

K K Q S W K K K +-=

=-（） 1212

,12=v -)s s II III f

s s j

K K S S W K K K +-=

-（1 所以把上式代入（19）式得到：

112

012

s s s K K K T T K K --=

若1T T >,则说明在车队消散之前该路段上游需求流量发生了变化，需求量变为2Q ，相应的密度变为2K 。所以（19）式改写为：

,1,1,0()()I II IV II II III W T W T T W T T ?+?-=?- (20)

其中： 3121

,21v 1-s IV II f

s j

K K Q S W K K K +-=

=-（）所以有： j 120211

()s s s K K K T K K T T K K --?+-?=-（）

最后，我们可以根据公式：

,00()(1)()s s II III f J

K K x W T T v T T K ?=?-=-

?- （21）从而解出本次事故引起的排队长，并且由图5-4-5可知车队消散时间为：

/m T T x v *=+

其中：m v 为路段通行能力为2S 时的行车速度，22/m s v S K = 5.4.4模型一与模型二对比分析：

在问题二中，我们采取了两种模型对结果求解，第一种模型对车辆排队长度与车道通行能力，事故持续时间，上流车流量用采集的数据对它们之间的关系做了定性和定量的分析，但是我们采集的数据量过小，情况也较单一，所以跟实际情况可能有偏差。所以我们给出第二种比较科学的车流波动模型，我们假定在事故撤离前，集结波一直存在，消散波是在事故撤离后开始出现，对公式进行推导，进而得出车辆排队长度与车道通行能力，持续时间，上流车流量的关系式。但是这种模型就会忽略到事故在未撤离之前消散波也存在的情况。

5.5问题四模型的建立与求解

首先，我们上游来车通过红绿灯因素，求出一个在一个红绿灯周期内能通过的最大车流量数。因为来车的持续不断，我们忽略掉上游车辆在通过红绿灯时后来车辆会有间断的情况，所以假定红灯时车辆已在停止线后排成一排等待，绿灯后第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定的（视为平均的）时间间隔通过停止线。

记信号灯周期为()s T ,相位绿灯时间为()s t g ，绿灯后第1辆车通过停止线的时间为

()s t 0，直行或右转车辆通过停止线的时间为()s t g ，反映车辆通过路口不均匀性的折减系数为?，某相位下每小时通过停止线的最大车辆数为S （辆/h ），又有红绿灯下控制下的十字路口的通行能力理论公式得：

t 3600g s

t S T t ?-=（+1）

（22）

通过查阅红绿灯交通流的相关数据，我们得到：

()()()

.05.3~5.2,3.20===?s s t s t s

这里?是直行或右转车辆的折减系数取值,绿灯时间与信号灯周期之比称绿信比，记作

=/g G t T

（23）

根据资料反映上游红绿灯路口有两条直行车道和旁边一条方向的右行车道，我们视其为一条道路上的三条车道，第i 条车道通过最大车辆数以及整条道路的最大车辆数分别为：

()3,2,1/65215.23.2306036009.0==??

??+-??

=i h S i 辆

()h S S i i /1956

36523

辆=?==∑= 得到15001956=>=Q S ，也就是说我们所得到的车道最大车流量大于上游来车车流量，所以每个周期内上游来车均能通过红绿灯，即每次通过的车流量均为Q 。

下面我们采用等待制排队模型，通过数学计算，得出问题四的结果。首先，记队长

s L 为系统中顾客的平均数，等待队长q L 为系统中排队等待的顾客平均数，顾客平均等待时间q W 为顾客进入系统的时刻起直到开始接受服务为止的平均时间，平均逗留时间s W 为顾客在系统中平均等待时间与平均服务时间之和。

用λ表示单位时间内顾客到达的平均数，用μ表示单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数，因此λ

表示相邻两顾客到

达的平均时间，

表示对每个顾客的平均服务时间。

下面根据Little 公式：

λλ

λ+

+=+

======q s q q s q q q s s s L L T T

W W W RW W L R RW W L 1

我们将车辆视为顾客，通过事故地点视为接受服务，q L 表示车辆排队长度，q W 表示等候时间，λ表示车来时的流量，μ表示事故地点通行能力。

若要达到L 的车辆排队长度，3条车道需要排队的总的车辆数为：

3+L Q L L =?

排车身车距

根据资料我们取标准车身长()m L 5=车身，取车间距()m L 1=车距，代入上式得出至少排的车辆数：

140

=370()51Q ?

=+排辆

通过分析我们可以得到，在某时刻前面积累的排队车辆加上后面来的车辆之和就是所累积的排队车辆数，所以我们可以得到公式：

()q q L W λμλ=-+

q L Q =排

代入数据得出车辆排队长度达到上游路口的时间：

15(min)

q W =

因此我们得出结论在事故持续不撤离要排队车辆达到()m L 140=至少需要()min 15。

六、模型评价与推广改进

6.1模型的优缺点分析

6.1.1 模型的优点

（1）对于问题一和问题二所构建的模型，我们分别从采集数据分析和理论分析导出公式两个方面分别求出事故发生前、事故发生时、事故撤离后的通行能力，且得出的结果的相对误差率符合实际要求，这样更能体现建立的模型的可行性与准确性，利用图形的方式清晰的表达了道路发生故障时可流通道路的通行能力的比较，形象生动。

（2）对于问题三，我们同样采用两个模型分别分析，一方面对采集的数据进行拟合，使模型相对简便化，得到与实际较符合的拟合方程模型，从而确定车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。另一方面我们根据车流波动理论进行理论的分析推导，具备一定的严密性和准确性，两方面的相互结合达到我们需要的理想结果。

（3）对于问题四首先我们技巧性地借助信号灯控制的十字路口的通行能力模型，得到一个周期通过红绿灯的车流量，然后我们采用简单的等待制排队模型，简单明了的得出了车流量与通行能力差值逐渐累积形成车辆排队，得出结论。 6.1.2 模型的缺点

（1）在数据的采集上比较单一，与实际情况会有一定的偏差。

（2）对于问题三、四模型的建立上我们考虑比较单一，假设与实际情况不相同，即理想化较高,得到的结果与事实有一定的误差。

6.1.3 模型的推广改进

任何数学模型都是建立在比较理想的条件下，而对于一些细节问题可能没法考虑，因此这与真实情况会有偏差，所以我们在模型改进方面给出的建议：每次在建模前尽可能的在现实的生活中多做实验，模拟题目中的情景，这样才能与真实情况相对符合，提高模型的精度。本模型需要改进的地方就是应模拟现场情景，收集更多的数据，实现模型与现实的高契合度。

对于问题一建立的模型，我们可以对交通异常事件对道路通行能力进行预算，进而可以对道路上各条车道上的车流量比例进行修改，从而减少事故对通行能力的影响。此种模型也适用于研究数据量较大，数据收集也比较容易的实际生活问题。

对于问题三及问题四的模型，我们可以用于事故对交通流的影响的研究以及对策分析，通过对车辆排队长度与各因素之间的关系，在事故发生后，交通警察可以采取疏散上游车流量，以及缩短交通撤离时间使得事故对交通流的影响降为最低。

七、参考文献

[]1董文永刘进丁健利朱福喜，《最优化技术与数学建模》，清华大学出版社，2010.9。[]2姜启源谢金星叶俊，《数学建模》，高等教育出版社，2011年。

[]3何晓群刘文卿，《应用回归分析》，中国人民大学出版社，2007.7。

[]4徐吉谦陈学武，《交通工程总论》，人民交通出版社，2008.6。

[]5李仙仙，“浅谈排队论在快速公交停车站中的应用”，《维普期刊》，2013，12P-

[]6杨小文李克平，“国标确定信号控制交叉口规划通行能力的方法”《城市交通》，P

2013，

8-14

[]7张锁李杰李连升，“道路交通事故车速分析的探讨”，https://www.sodocs.net/doc/646124617.html,/view/fa8965ce81c758f5f61f6785.html，2013.9.14

[]8杨开春段胜军许迅雷，“城市道路交叉口通行能力的分析与应用”，https://www.sodocs.net/doc/646124617.html,/view/0fa95c03de80d4d8d15a4ffe.html，2013.9.14

大学生数学建模竞赛组队方案

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：成都纺织高等专科学校参赛队员(打印并签名) ：1. XXX（机电XXX） 2. XXX国贸XXX） 3. XXX（电商XXX）指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2014 年 06 月 06 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

目录一、问题的重述 (1) 1.1 背景资料与条件 (1) 1.2 需要解决的问题 (1) 二、问题的分析 (2) 2.1 问题的重要性分析 (2) 2.2问题的思路分析 (3) 三、模型的假设 (4) 四、符号及变量说明 (4) 五、模型的建立与求解 (4) 5.1建立层次结构模型 (4) 5.2构造成对比较矩阵 (5) 5.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法 (6) 5.4一致性检验 (7) 5.5层次分析模型的求解与分析 (8) 5.5.1 构造成对比较矩阵 (8) 5.5.2计算25优秀大学生的综合得 (9) 六、模型的应用与推广 (11) 七、模型的评价与改进 (12) 7.1模型的优点分析 (12) 7.2模型的缺点分析 (12) 7.3模型的进一步改进 (12) 八、参考文献 (13) 附件一 (14) 附件二 (16)

全国大学生数学竞赛预赛试题

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、（25分，每小题5分）（1）设其中求（2）求。（3）设，求。（4）设函数有二阶连续导数，，求。（5）求直线与直线的距离。二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛；（2）当且时，级数发散。五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线

2017全国数学建模竞赛B题

2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。附件一：已结束项目任务数据附件二：会员信息数据附件三：新项目任务数据

全国大学生数学建模竞赛的准备方法

全国大学生数学建模竞赛的准备方法全国大学生数学建模竞赛于每年9月上旬（今年是9月7日）举行。但是在此之前，需要做好哪些准备，让各个参赛队员在竞赛中做到有备无患呢？在总结过去多年培训指导各种数学建模竞赛的基础上，仅就个人观点，介绍一些关于如何准备数学建模竞赛的经验和体会，仅供参考。在这里主要向大家介绍竞赛的基本情况，包括如何组队、如何选题以及在竞赛中如何合理分配时间。通过本次学习，希望大家能够了解数学建模竞赛的基本情况，为全国大学生数学建模竞赛以及其他各类数学建模竞赛做好准备。一、如何组建优秀数学建模队伍进入大学阶段参加各种科技竞赛，可以体会到一种和中学竞赛不同的感受，这种感受来自团队合作。以前的各项赛事都是以个人为单位参加竞赛，它们都是考查个人的能力。但是在大学中，由于难度和任务量的加重以及对团队合作精神的关注，因此大部分的赛事都是以团队为单位参加的。竞赛在考查个人能力的同时，还考查团队成员的合作精神。在数学建模竞赛中，团队合作精神是能否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要分工合作、相互支持、相互鼓励。从历年的统计数据可以看出，竞赛成绩优秀的队员往往并不是每个人在各个方面都特别擅长的队伍，而是团队相处得最融洽的队伍。从这一点也可以看出团队合作的重要性。在竞赛的过程中，切勿自己只管自己的那一部分，一定要记住这是一个集体的竞赛。很多时候，往往一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚。因此无论做任何事情，三个人一定要齐心才行，只靠一个人

的力量，要在3天之内写出一篇高水平的论文几乎是不可能的。让三人一组参赛一方面是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作确实需要多人合作，因为一个人的能力是有限的，知识掌握也往往是不全面的。一个人做题，经常会走向极端，得不到正确的解决方案。而三个人相互讨论、取长补短，可以弥补一个人所带来的不足。在队伍组建的时候，需要强调“队长”这个名词概念。虽然在全国大学生数学建模竞赛中并没有设立队长，作为队长在获得的证书上也没有特别标注。但是在队内设立“队长”是非常有必要的。因为在比赛中可能会碰到各种突发状况，队长是很重要的，他的作用就相当于计算机中的CPU，是全队的核心。如果一个队的队长不得力，往往影响一个队的正常发挥。竞赛是非常残酷的，在3天3夜（72h）的比赛中，大家睡眠时间都得不到保障，怎样合理安排团队时间就是队长需要做的事情。在比赛过程中，由于睡眠不足，大家脾气都会很急躁。在这种情况，往往会为了一些小事而发生争吵，如果没有适当的处理，有些队伍将会放弃比赛，而队长就应该在这个时候担起责任。在明确“队长”这个概念后，接下去谈谈怎样科学选择队友。在数学建模竞赛中，题目要求完成的工作量是很大的，因此这项任务是必须分工完成的，各有侧重、相互帮助，这样才能获得好成绩。而科学地选择队友则显得非常重要，也是走向成功的第一步。一般情况下选择队友可以从以下几个方面考虑着手： 1. 在组队的时候需要考虑队伍成员的多元化，尽量和不同专业、不同特长的同学组队。因为同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。因为数学建模题有可能出现在各个领域，这也是数学建模适合各个专业学生参加的原因所在，也是数学建模竞赛赛事的魅力所在。

原创!!全面大学生数学竞赛试题

2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++，则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+，其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：

lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠，又20 ()()()x F x x t f t dt =-?，当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小，则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；

全国大学生数学建模竞赛论文

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

论文标题摘要摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。摘要中不要有关键字和数学表达式。数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性为主要标准。所以论文中应努力反映出这些特点。注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ，所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?，由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ，所以，4 π= I 。四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。【解】因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。而3 3 1 2 132> ? <

2020全国大学生数学建模竞赛试题

A题炉温曲线在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。图1 回焊炉截面示意图某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。表1 制程界限界限名称最低值最高值

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和.

全国数学建模大赛题目

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据地平线油位探针

为什么要参加大学生数学建模竞赛

为什么要参加大学生数学建模竞赛大学生数学建模竞赛是培养学生创新能力和竞争能力的极好的、具体的载体。 1.对于学校的领导(校长、教务处长等)来说，全心全意把学校搞好(高质量的教学、高百分比的就业率、高水平的教师队伍以及提高知名度等)肯定是他们追求的办学目标而且会采取各种措施。但是就选派学生参加大学生数学建模竞赛来说，不少领导(甚至数学教师)会非常犹豫：我们数学课时少，教学任务重，即使参加了，拿不到奖的话，不但不能提高学校的知名度，甚至会招致一些负面的议论等等。实际上，领导们有三个问题考虑不够，它们是： ⑴对数学的极端重要性要有充分的认识。学生将来的发展和成就是和他们坚实的数学基础密切相关的。但是现在的数学教学确实有许多不足之处有待改革，特别是怎么做到不仅教知识，而且要教知识是怎样用来解决实际问题的能力是有待加强的。让部分师生参加到数学建模活动，特别是大学生数学建模竞赛肯定是有利于推动教学改革的。 ⑵ 办好学校的关键之一是提高教师的教学水平。怎样提高呢？鼓励教师组织学生参加大学生数学建模竞赛等数学建模活动，既可以帮助教师进一步了解怎样用数学来解决实际问题，更有助于数学教师到其他专业系科了解他们要用什么样的数学以及怎样用这些数学，互相学习，进行切磋，从而对怎样提高自己的教学水平，数学教学怎样更好为其他专业后继课，甚至对专业课题研究服务产生具体的想法，提出切实可行的措施，最终能够提高教师的专业水平和教学水平，从而也就提高了学校的水平。 ⑶ 学生要求参加大学生数学建模竞赛的积极性是很高的，关键是怎样组织好，培训好。实际上，即使是高职高专院校，也一定有一部分学生的数学基础是相当坚实的，他们之间又有一部分对数学，特别是用数学来解决实际问题有强烈的兴趣。为什么不组织他们参赛呢？培养一些数学基础好对应用又有能力的高职高专院校的学生，今后他们在工作中做出好成绩的可能性肯定会比较大。毕业生事业有成者多也标志了学校办得好、有水平。此外，对于怎样贯彻因材施教也会产生一些很好的想法。 2.对于数学教师来说，组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛对自己也会有极大的好处。

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分. 一、计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x .

二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分）设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测

2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测摘要本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab

全国数学建模竞赛B题CUMCMB

2 0 1 3 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”) B 题碎纸片的拼接复原破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达(见【结果表达格式说明】)。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。【数据文件说明】 (1) 每一附件为同一页纸的碎片数据。 (2) 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19 条碎片。 (3) 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11X19个碎片。 (4) 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11 X 19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中每一碎片对应两个文件，共有2X 11X 19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。【结果表达格式说明】复原图片放入附录中，表格表达格式如下： (1) 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1X 19的表格； (2) 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11X 19的表格； (3) 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11X 19的表格；

历届全国大学生数学竞赛真题

高数竞赛预赛试题（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

中国大学生数学建模竞赛历年试题

中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*）令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

全国大学生数学建模竞赛b题

全国大学生数学建模竞赛 b题 Prepared on 22 November 2020

“互联网+”时代的出租车资源配置摘要随着“互联网+”时代的到来，针对当今社会“打车难”的问题，多家公司建立了打车软件服务平台，并推出了多种补贴方案，这无论是对乘客和司机自身需求还是对出租车行业发展都具有一定的现实意义。本文依靠ISM解释结构、AHP-模糊综合评价、价格需求理论、线性规划等模型依次较好的解决了三个问题。对于问题一求解不同时空出租车资源“供求匹配”程度的问题，本文先将ISM模型里的层级隶属关系进行改进，将影响出租车供求匹配的12个子因素分为时间、空间、经济、其它共四类组合，然后使用经过改进的AHP-模糊综合评价方法建立模型，提出了出租车空载率这一指标作为评价因子的方案，来分析冬季某节假日哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度。通过代入由1-9标度法确定的各因素相互影响的系数，得出各个影响因素的权重大小，利用无量纲化处理各影响因素，得出最终评判因子为，根据“供求匹配”标准，得出哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态的结论。同理，也得到了哈尔滨市不同区县、不同时间的供求匹配程度，最后作出哈尔滨市出租车“供求匹配”程度图。对于问题二我们运用价格需求理论建立模型，以补贴前后打车人数比值与空驶率变化分别对滴滴和快的两个公司的不同补贴方案进行求解，依次得到补贴后对应的打车人数及空驶率的变化，再和无补贴时的状态对比，最后得出结论：当各公司补贴金额大于5元时，打车容易，即补贴方案能够缓解“打车难”的状况；当补贴小于5元时，不能缓解“打车难”的状况。

09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

全国数学建模竞赛一等奖论文

交巡警服务平台的设置与调度摘要由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配