群论 第1章 群论基础(1)

概率论基础讲义全

概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是

不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……}

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐

群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）

群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数

满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e

【学霸进行中】1、计量经济学之概率论基础

第一章主要概念 重点掌握：计量经济学的研究步骤：○1确定变量和数学的关系式——模型假定； ○2分析变量间具体的数量关系——估计参数； ○3检验所得结论的可靠性——模型检验； ○4做经济分析和经济预测——模型应用。 正态分布 什么是正态分布？ 正态分布是一种常用的概率密度函数，它的分布符合日常事物的分布规律，集中于某一点，离该点越远，出现的几率越少。 表达式为

图像为 为分布集中的一点，决定正态分布的位置， 为分布的形态，决定正态分布的“高矮肥瘦”。 正态分布仅由以上两者决定。 平均值(期望)与方差 标准正态分布及其转换 标准正态分布是，的正态分布特殊情况。其表达式为 其累计分布函数表达式为 主要应用 1、将正态分布转化为标准正态分布，便于运算。 将视为一个整体，设，， 所以 2、用于随机扰动项和残差的估计 概率的分布规律 底下的面积表示该 段的概率 以x轴为渐近线（无 限接近但不重合）

方差与协方差 先理解什么方差。方差是衡量一个变量与自身影响因素的关系的工具，而协方差则是衡量两个变量之间的相互影响有多深的一个工具，即衡量两个变量之间是否有关系的一个工具。其基本定义为 性质 1、 2、 3、 4、 5、 6、协方差大于0小于1 卡方分布 设个随机变量，且都服从于N(0,1), 则称Y的分布为自由度为n的的分布。

什么是t分布？ 设随机变量X~N(0,1),Y~,且X与相互独立，这随机变量的分布为自由度为n的t分布，记为T~。 应用 常用于区间估计

如何查表 观察值、均值、估计值和随机扰动项与残差

最小二乘法应用例子 首先，我们可以直接观察，但用表格的形式来观察似乎有些难度，那么，我们可以尝试把它变成图表。 通过图表，我们可以发现，这些以x为横轴，y为纵轴的点，都集中在某一个区域。这意味着，x与y之间很可能存在着某种线性关系。现在，我们希望能知道x与y的确切关系。让我们来先做一个假设， 设 接下来，我们要确定a，b。最小二乘法就给提供了我们一个便利的方法。最小二乘法最常用的两条公式是 通过这两条公式，我们便可以估计出a，b的值，从而估计出x与y之间的函数关系式。

初中概率论基础

第一章概率论基础 1、（2002，数四，8分）设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明是事件与独立的充分必要条件。 2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件“掷第一次出现正面”，“掷第二次出现正面”，“正、反面各出现一次”，“正面出现两次”，则事件（） （A）相互独立。（B）相互独立。 （C）两两独立。（D）两两独立。 3、（2003，数四，4分）对于任意二事件和，则 （A）若,则一定独立； （B）若,则有可能独立； （C）若,则一定独立； （D）若,则一定不独立； 4、（2006，数一，4分）设为两个随机事件,且则必有 （A）（B） （C）（D） 第二章随机变量及其分布 1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则。 2、（2003，数三，13分）设随机变量的概率密度为 ，是的分布函数。求随机变量的分布函数。 3、（2006，数一，4分）随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 。 20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。 4、（2007，数一，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为。则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ） （A）（B） （C）（D）

第三章多维随机变量及其分布 1、（2002，数一，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（） （A）必为某一随机变量的概率密度。 （B）必为某一随机变量的概率密度。 （C）必为某一随机变量的分布函数。 （D）必为某一随机变量的分布函数。 2、（2003，数一，4分）设二维随机变量的概率密度为 ，则。 3、（2003，数三，13分）设随机变量与独立，其中的概率分布为 ，而的概率密度为，求随机变量的密度。 4、（2003，数四，4分）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则 （A）与一定独立； （B）服从二维正态分布； （C）与未必独立； （D）服从一维正态分布。 5、（2004，数一，9分）设为两个随机事件,且令 求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）的概率分布。 6、（2004，数四，13分）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求： （1）随机变量和的联合概率密度； （2）的概率密度； （3）概率。 7、（2005，数一，4分）设二维随机变量的概率分布为 0 1 0 1 0.4 0.1 已知随机事件与相互独立，则 （A），（B）， （C），（D）。 8、（2005，数一，9分）设二维随机变量的概率密度为求（1）的边缘概率密度；

第一章 概率论基本概念

第一章概率论的基本概念 在现实世界中发生的现象千姿百态，概括起来无非是两类现象：确定性的和随机性的.例如：水在通常条件下温度达到100℃时必然沸腾，温度为0℃时必然结冰；同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引等等，这类现象称为确定性现象，它们在一定的条件下一定会发生.另有一类现象，在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果，此类现象称为随机现象.例如：测量一个物体的长度，其测量误差的大小；从一批电视机中随便取一台，电视机的寿命长短等都是随机现象.概率论与数理统计，就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科. 这里我们注意到，随机现象是与一定的条件密切联系的.例如：在城市交通的某一路口，指定的一小时内，汽车的流量多少就是一个随机现象，而“指定的一小时内”就是条件，若换成2小时内，5小时内，流量就会不同.如将汽车的流量换成自行车流量，差别就会更大，故随机现象与一定的条件是有密切联系的. 概率论与数理统计的应用是很广泛的，几乎渗透到所有科学技术领域，如工业、农业、国防与国民经济的各个部门.例如，工业生产中，可以应用概率统计方法进行质量控制，工业试验设计，产品的抽样检查等.还可使用概率统计方法进行气象预报、水文预报和地震预报等等.另外，概率统计的理论与方法正在向各基础学科、工程学科、经济学科渗透，产生了各种边缘性的应用学科，如排队论、计量经济学、信息论、控制论、时间序列分析等. 第一节样本空间、随机事件 1. 随机试验 人们是通过试验去研究随机现象的，为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验.若一个试验具有下列三个特点： 1°可以在相同的条件下重复地进行； 2°每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果； 3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 则称这一试验为随机试验（Random trial），记为E. 下面举一些随机试验的例子. E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况. E2：掷两颗骰子，观察出现的点数. E3：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命. E4：城市某一交通路口，指定一小时内的汽车流量. E5：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度. 2.样本空间与随机事件 在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出一组基本结果，满足： 1°每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果. 2°任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成. 随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间（Sample space），记为Ω.样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点.E k(k=1,2,3,4,5)的样本空间Ωk:

概率论基础(第三版)-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件

群论 第一章

第一章第一章 抽象群概论 §1 什么是群什么是群？？群公理 不同元素的集合不同元素的集合，，赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则（（称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等）。）。满足下列满足下列条件条件（（群公理群公理）） ： （1）封闭性 i g 和G g j ∈，则G g g g k j i ∈=?； （2）结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ??=??； （3）存在唯一的单位元素e （或E ）G ∈ ，对任一元素j g 有j j j e g g e g ?=?=； （4）对每一元素有逆元对每一元素有逆元，，对i g 有 1 ?i g ，使e g g i i =??1 。 阶 —— 群元的个数群元的个数：：阶有限为有限群阶有限为有限群；；阶无穷为无限群阶无穷为无限群。。无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。。 注：1. 乘法不可对易乘法不可对易，，即i j j i g g g g ?≠?。若可对易若可对易，，则称为阿贝尔称为阿贝尔（（Abel ）群。 2. 若G c b a ∈,,，则G 中包含p l k c b a ,,（其中p l k ,,为整数为整数））。 例1．复数1，i ，-1，-i 组成四阶群组成四阶群。。 四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素，，i （或-i ）出发出发，，由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ，称为循环群称为循环群。。循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。。n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。 例2．所有实数组合所有实数组合，，加法运算下成群加法运算下成群。。全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。。 例3．定轴转动定轴转动：：Π<Θ≤20，)2(SO 无限连续群无限连续群。。特例 —— 转角为m 倍n π ?2=构成n 阶群n C ；定点转动定点转动（（三维空间转动三维空间转动）） ：),,(γβαR ，)3(SO 群。 例4．两矩阵 ?? 1001....1001在矩阵乘法下成群在矩阵乘法下成群。。 例5．所有非奇异n 阶矩阵阶矩阵（（n n ×，detA 0≠）在矩阵乘法下成群在矩阵乘法下成群。。 例6．若K 为正整数为正整数。。K 个正整数0，1，2…K 1?在加法模K 下成群下成群（（钟群钟群）） 。 加法模K ：()/l m K +的余数的余数。。 例7．若P 为大于1的素数的素数，，则P 1?个整数1，2…P 1?在乘法模P 下成群下成群。。 乘法模P ：/lm P 的余数的余数。。 阶3≤n 的群必是循环的群必是循环群群。 循环群必是阿贝尔群循环群必是阿贝尔群，，但反之不真但反之不真。。如四阶V 群：{}c b a e ,,,满足;c ba ab == ;a cb bc == ;b ac ca == 222a b c e ===。 c b a ,,称为二阶元称为二阶元，，即若e a k =，则k 为a 的阶的阶。。 V 群是最低阶的非循环群群是最低阶的非循环群，，物理上对应于Lorentz 时空变换群时空变换群：：e —— 恒等变换恒等变换；；a —— 空

北师大 结构化学 第4章 分子对称性和群论

北师大 结构化学 课后习题 第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ?C 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ??(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00?()0100 01C z -=- 和 100?()010001h xy σ=- 则 21 00100100???()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=--

北大.群论.讲义.王宏利.第一章习题

1.1 证明：只有一个三阶群。 1.2 证明：两个子群的交集为子群。 1.3 证明：有两个四阶群，并且都是阿贝尔群。 1.4 生成矩阵群，它的两个元素是：?? ??????????-0110,0110，此群的阶是多少，共有多少个共轭类。 1.5 试问下列三个矩阵在矩阵乘法下是否组成一个群： ????? ???????=????????????=????????????=0010000110000100,0100001000011000,1000010000100001B A E 。 至少需要添加几个矩阵才能构成群，求出这些增加的矩阵，以及群的共轭类。 1.6 考虑下列六个函数的集合： x x x f x x f x x f x x x f x x f x x f /)1()( );1/(1)( ;/1)(); 1/()( ;1)( ;)(654321-=-==-=-==， 定义两个函数的合成运算为把一个函数替换到另一个中，如))(())((3535x f f x f f =。证明该集合在此合成法则下是一个群，且该群与正三角对称性群（二面体群）D 3群同构。 1.7 设C i 为群中一个类，C i *为C i 中元素的逆的集合，证明C i *也是一个类。 1.8 求出下列置换的逆， ???? ??=64821753876543211p ，??? ? ??=34718652876543212p ， 并验证1112121)(---=p p p p 。 1.9 找出三阶对称群S3的所有子群，并指出哪个子群是不变子群，哪个子群是 含元素（123）的循环群。 1.10求6阶循环群的所有不变子群，以及其对应的商群。 1.11用两个元素A 和B 生成一个群使得它仅仅遵从关系式A 2＝B k =(AB)2=E, 式中 k 是大于1的有限整数。 1.12求D 3群的自同构群，它是内自同构群吗？ 1.13设群只有一个阶为2的元素h ，证明：对任意g ∈G ，有gh=hg 。 1.14在D 4群中，取子群},,,{321r r r e G =，},{2a e G =，证明：214G G D S ?=。

1第一章概率论基本概念

第一章 概率论基本概念 一、填空题 1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。 2、设3.0)(,1.0)(=?=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。 3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。 4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。 5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。 6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。 7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。 8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。 9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。 10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。 11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。 12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。 13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。 14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。 15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。 16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。 17、设B A ,是两事件，如果B A ?，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

群论第一章‘作业’

1． G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合，在G 上定义乘法(a,b )?(c,d )=(ac,ad +b )。证明G 是群。 2． 证明所有的2维转动 (cos θsin θ?sin θcos θ),θ∈,0,2π) 构成群。 3． 证明：上三角矩阵 (1α01),α∈R 在矩阵乘法下构成群。 4． 在偶数阶群G 中，方程g 2=1总有偶数个解。 5． 设G 是一个半群。如果 i) G 中含有左单位元e ，即,?g ∈G,ea =a , ii) G 中每个元素a 都有左逆a ?1，使得a ?1a =e ， 试证G 是群。 6． 令G 是半群。如果对任意a,b ∈G ，方程xa =b 和方程ay =b 在G 内有解，则G 是群。 7． 设A,B 是群G 的两个子群。试证：AB ≤G 当且仅当 AB =BA 。 8． 如果R 是群G 对于子群A 的右陪集代表元系，则R ?1是群G 对于A 的左陪集代表元系。 9． 群G 的指数为2 的子群一定是G 的正规子群。 10． 证明群G 的中心C(G)是正规子群。 11． G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合，在G 上定义乘法(a,b )?(c,d )=(ac,ad +b )。试证 K =*(1,b )|b ∈R +是G 的正规子群，且G K ??R ?。这里R 是实数集合，R ?是非零实数的乘法群。 12． 证明正实数乘法群和实数加法群同构。 13． N ?G 。证明映射 π:G →G N ?,π(g )=gN =g? 是同态映射，并求同态核ker π。 14． 试求群SU (3)={U|U ?U =1,det U =1;U jk ∈C,j,k =1,2,3.}的中心。 15． 设f:G →H 是群同态。证明：如果g ∈G 是有限阶元素，则f (g )的阶整除g 的阶。 16． 如图，正四面体有哪些对称轴？写出正四面体对称群T 中的所有元素，并按图中的顶点编号给出其置换表示。 17． 给出正三角形对称群D 3对于其3阶子群的左诱导表 示。 18． G =K ?H,N H =*(1K , )| ∈H +?H,N K = *(k,1H )|k ∈K +?K ，证明（1）N H ?G ，（2）N K ?G ，（3）N K N H =G 。 19． 给出正方形对称群D 4的所有元素，并找出其所有的共轭等价类。 20． 在D 4群中，记所有的纯转动构成的子群为R ；绕某一个对角线（如BD ）转1800为a ，子群*e,a +记做M 。证明D 4?R ?S M 。 21． 如图所示，玩具的两个圆盘可以各自绕中心旋转。求这个玩具的变换群，作它的置 换表示。说明是否可以变成下面的两种图样；如果可以，按什么步骤可以做到。 1 2 3 44