高中数学(三角函数)练习题及答案
第一章 三角函数
一、选择题
1．已知
为第三象限角，则
2 所在的象限是 (
) ．
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
2．若 sin θcos θ＞ 0，则 θ在 (
) ．
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
4π 5π
－
4π ＝ (
) ．
3． sin
cos
tan
3
3
6
3 3
3 3
C ．－
3 3 A ．－
B ． 4
4
D ．
4
4
1 ＝ 2，则 sin θ＋ cos θ等于 (
) ．
4．已知 tan θ＋
tan
A ． 2
B ． 2
C ．－ 2
D ．± 2
5．已知 sin x ＋ cos x ＝ 1
( 0≤ x ＜ π)，则 tan x 的值等于 (
) ．
5
A ．－
3
B ．－
4
C ．
3
D ．
4
4
3
4
3
6．已知 sin ＞ sin ，那么下列命题成立的是 ( ) ．
A ．若 ， 是第一象限角，则 cos ＞ cos
B ．若 ， 是第二象限角，则 tan
＞ tan
C ．若 ， 是第三象限角，则 cos ＞ cos
D ．若 ，
是第四象限角，则 tan
＞ tan
7．已知集合 A ＝ { |
＝2k π±
2π
， k ∈ Z } ， B ＝ { | ＝ 4k π±
2π
， k ∈Z } ， C ＝
3
3
{ γ|γ＝k π±
2π
， k ∈Z } ，则这三个集合之间的关系为 (
) ．
3
A ．ABC
B ．BA
C C ．CAB
D ．BCA
8．已知 cos( ＋ ) ＝ 1， sin ＝ 1
，则 sin
的值是 (
) ．
3
A ．
1
B ．－
1
C ．
2 2
D ．－
2 2
3
3
3
3
9．在 ( 0， 2π) 内，使 sin x ＞ cos x 成立的 x 取值范围为 (
) ．
π π
5π
π
A ．
， ∪ π，
4
B ．
，π
4 2
4
π 5 π
π ∪
5π 3π
C ．
，
D ． ，π
，
4 4
4
4 2
10．把函数 y ＝ sin x( x ∈ R ) 的图象上所有点向左平行移动
π
个单位长度， 再把所得图象
3
上所有点的横坐标缩短到原来的
1
倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到的图象所表示的函数是 (
) ．
2
A ． y ＝ sin 2x － π
， x ∈ R
B ．y ＝ sin
x
＋ π
， x ∈R
3
2 6 C ． y ＝ sin 2x ＋ π
， x ∈R
D ． y ＝ sin 2x ＋ 2π
， x ∈ R
3 3
二、填空题
11．函数 f( x) ＝ sin 2
x ＋ 3 tan x 在区间
π π 上的最大值是
．
，
3
4
12．已知 sin ＝ 2
5
， π
≤ ≤ π，则 tan ＝ ． 5 2
13．若 sin π ＋ ＝ 3
，则 sin π－ ＝
． 2 5 2
14．若将函数 y ＝ tan
x ＋ π ( ω＞ 0) 的图象向右平移 π个单位长度后，与函数 y ＝
4
6 tan x ＋ π
的图象重合，则 ω的最小值为
． 6
15．已知函数
f( x) ＝ 1 ( sin x ＋ cos x) －
1 2
2
| sin x － cosx| ，则 f( x) 的值域是 ．
16．关于函数 f( x) ＝4sin 2x ＋ π
， x ∈ R ，有下列命题：
3
①函数 y = f( x) 的表达式可改写为 y = 4cos 2x － π
；
6
②函数 y = f( x) 是以 2π为最小正周期的周期函数；
③函数 y ＝ f( x) 的图象关于点 ( －
， 0) 对称；
6
④函数 y ＝ f( x) 的图象关于直线 x ＝－
对称．
6
其中正确的是 ______________．
三、解答题
17．求函数 f( x) ＝ lgsin x ＋
2 cos x 1 的定义域．
18．化简：
－ (
＋)＋(－)－(
＋ )
( 1)
sin 180
sin tan 360
；
( ＋
)＋ (－)＋ (
－ )
tan
180
cos
cos180
( 2)
( ＋ ) ＋ ( －
)
sin
n π sin
n π
( n ∈ Z ) ．
( ＋ ) ( － )
sin n π cos
n π
19．求函数y＝ sin 2x－π
的图象的对称中心和对称轴方程．6
20．( 1) 设函数 f( x) ＝sin x＋a
( 0＜ x＜π) ，如果a＞ 0，函数 f( x) 是否存在最大值和最sin x
小值，如果存在请写出最大(小)值；
( 2) 已知 k＜ 0，求函数y＝ sin2 x＋ k( cos x－ 1) 的最小值．
参考答案一、选择题
1．D
解析： 2kπ＋π＜＜ 2kπ＋3
π， k∈Z kπ＋＜
2
＜ kπ＋
3
π， k∈Z．2 2 4
2． B
解析：∵sin θcos θ＞0，∴ sin θ， cos θ同号．
当 sin θ＞ 0， cos θ＞ 0 时，θ在第一象限；当sin θ＜ 0， cos θ＜ 0 时，θ在第三象限．
3．A
解析：原式＝4．D
πππ
＝－ 3 3 ．sin cos tan
3 6 3 4
解析： tan θ＋ 1 ＝ sin ＋ cos ＝ 1 ＝2， sin cos ＝1．
tan cos sin sin cos 2 ( sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ 2sin θcos θ＝ 2． sin ＋ cos ＝± 2．
5． B
sin ＋ cos ＝
1
x x
得 25cos 2
x－ 5cos x－ 12＝ 0．
解析：由 5
sin 2 x＋ cos2 x＝1
解得 cos x＝4
或－
3
．5 5
又0≤x＜π，∴ sin x＞0．
若cos x＝4
，则 sin x＋ cos x≠
1
，5 5
∴cos x＝－3
，sin x＝
4
，∴ tan x＝－
4
．5 5 3
6．D
解析：若，是第四象限角，且 sin ＞ sin ，如图，
利用单位圆中的三角函数线确定，的终边，故选D．
(第6题`)
7． B
解析：这三个集合可以看作是由角±
2π
的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到
3
的角的集合．
8． B
解析：∵ cos( ＋ ) ＝ 1，
∴
＋ ＝ 2k π， k ∈ Z ．
∴ ＝ 2k π－ ．
∴ sin ＝sin( 2k π－ ) ＝ sin( － ) ＝－ sin ＝－
1
．
3
9． C
解析：作出在 ( 0， 2π) 区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标
和 5
，
4
4
由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．
10．C
解析：第一步得到函数 y ＝ sin x
π
的图象，第二步得到函数 y ＝ sin 2x
π
3 的图象．
3
二、填空题 11．
15 ． 4
2
x ＋
3 tan x 在 π π 上是增函数， f( x) ≤sin 2 π ＋ 3 tan π 15
． 解析： f( x) ＝ sin
， 3 3 ＝ 4
4 3
12．－ 2．
解析：由 sin ＝
2 5
，
π≤ ≤ π cos ＝－
5
，所以 tan
＝－ 2．
5
2
5
13． 3 ．
5
解析： sin π＋ ＝ 3 ，即 cos ＝ 3
，∴ sin π－
＝ cos ＝ 3
．
2 5 5 2
5 14．1
．
2
解析：函数 y ＝ tan
x ＋
π ( ω＞ 0) 的图象向右平移
π
个单位长度后得到函数
4
6
y ＝ tan
x － π ＋ π
＝ tan
π π
的图象，则
π π π
6 4 x ＋ －
6
＝ －
ω＋ k π( k ∈ Z ) ，
4
6
4
6
ω＝6k＋1
，又ω＞ 0，所以当 k＝ 0 时，ωmin＝
1
．2 2
2
15．－1，．
2
解析： f( x) ＝1
( sin x＋ cosx) －1 | sin x－cosx|＝cos x( sin x≥cos x) 2 2 sin x( sin x＜ cos x)
即f( x) 等价于 min{ sin x， cos x} ，如图可知，
f( x) max＝ f π＝2
， f( x) min＝ f( π) ＝－ 1．
4 2
(第 15 题) 16．①③．
解析：①f( x) ＝ 4sin 2x π
＝ 4cos
π
2 x π
3 2 3 π
＝ 4cos2x
6
＝4cos 2x π
． 6
②T＝2π
＝π，最小正周期为π．2
③令 2x＋π
时， x＝－π，＝ kπ，则当 k＝ 0
3 6
∴函数 f( x) 关于点－π
对称．，0
6
④令 2x＋ππ
x＝－
π 1
，与 k∈Z矛盾．＝ kπ＋，当时， k＝－
2
3 2 6
∴ ①③正确．
三、解答题
17． { x| 2kπ＜ x≤2kπ＋，k∈Z}．
4
sin x ＞0 ①解析：为使函数有意义必须且只需
2cos x 1 ≥ 0 ②
先在 [ 0， 2π) 内考虑 x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．
由①得 x ∈( 0， π) ，
由②得 x ∈ [ 0，
] ∪ [ 7
π，2π] ． 4 4
二者的公共部分为
π
x ∈ 0， ．
4 所以，函数 f( x) 的定义域为 { x| 2k π＜ x ≤ 2k π＋
， k ∈ Z } ．
4
18．(1) －1； (2) ±
2
．
cos
解析： ( 1) 原式＝ sin
－ sin － tan ＝－ tan ＝－ 1．
tan ＋ cos －cos tan ( 2) ①当 n ＝ 2k ， k ∈ Z 时，原式＝ sin ( ＋ 2 k ) ＋ sin ( － k ) 2
π ＝ ．
( π ) － 2
＋ k ( k ) cos
sin 2 π cos 2
π
②当 n ＝ 2k ＋ 1， k ∈ Z 时，原式＝
sin [
＋(
＋ ) ] ＋ sin [
－( ＋)] 2 ．
[
2 k 1 π 2k 1 π
＝－
sin ＋(
＋ ) ] [ －( ＋) ]
cos
2 k 1 π cos 2 k 1 π
19．对称中心坐标为
k π＋ π，0
；对称轴方程为 x ＝
k π
＋ π
( k ∈ Z ) ．
2 12
2
3
解析：∵ y ＝ sin x 的对称中心是 ( k π， 0) ， k ∈ Z ，
∴ 令 2x － π＝ k π，得 x ＝ k π＋ π
．
6
2 12
∴ 所求的对称中心坐标为
又 y ＝sin x 的图象的对称轴是
∴ 令 2x － π＝ k π＋ ，得 6 2
∴ 所求的对称轴方程为 x ＝ k π
＋ π
，0 ， k ∈ Z ． 2 12
x ＝ k π＋ ，
2
x ＝ k π＋ π
．
2 3 k π＋ π
( k ∈ Z ) ． 2 3
20． ( 1) 有最小值无最大值，且最小值为 1＋ a ；( 2) 0．
解析： ( 1) f( x) ＝
sin x ＋ a
＝ 1＋
a ，由 0＜ x ＜ π，得 0＜ sin x ≤1，又 a ＞ 0，所以当
sin x
sin x
sin x ＝ 1 时， f( x) 取最小值 1＋ a ；此函数没有最大值．
( 2) ∵－ 1≤ cos x ≤1， k ＜ 0，
∴ k( cos x － 1) ≥ 0，又 sin 2
x ≥ 0，
∴ 当 cos x ＝ 1，即 x ＝ 2k ( k ∈ Z) 时， f( x) ＝ sin 2
x ＋ k( cos x － 1) 有最小值 f( x) min ＝ 0．