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实际问题与一元二次方程2

实际问题与一元二次方程2
实际问题与一元二次方程2

二次函数与实际问题

实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、 围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗 圃。 (1) 设矩形的一边长为 米),面积为y (平方米),求y 关 于x 的函数关系式; (2) 当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得:x x x x y 18)18(2 +-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (2)∵x x x x y 18)18(2+-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时,81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为( 250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中,a=2 1-<0,∴y 有最大值, 即当25)21(2252=-?-=-=a b x 时,2625)2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y 故当x=25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为2 625平方米。 3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由. (1)解:设剪成两段后其中一段为xcm ,则另一段为(20-x ) cm

九年级数学专训1一元二次方程的解法归类

2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金:解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等.在具体的解题过程中,结合方程的特点选择合适的方法,往往会达到事半功倍的效果. 限定方法解一元二次方程 形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.方程4x2-25=0的解为( ) A.x=B.x= C.x=±D.x=± 2.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为( ) A.x2-5=5 B.-3x2=0 C.x2+4=0 D.(x+1)2=0 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解 3.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程变为( ) A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=1 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=2 4.解方程:x2+4x-2=0. 5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求的值. 能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解

6.(中考·宁夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( ) A.-1 B.0 C.1和2 D.-1和2 7.解下列一元二次方程: (1)x2-2x=0; (2)16x2-9=0; (3)4x2=4x-1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式,则用公式法求解8.用公式法解一元二次方程x2-=2x,方程的解应是( ) A.x=B.x= C.x=D.x= 9.用公式法解下列方程. (1)3(x2+1)-7x=0; (2)4x2-3x-5=x-2. 选择合适的方法解一元二次方程 10.方程4x2-49=0的解为( ) A.x=B.x=

一元二次方程解决实际问题

一元二次方程实际问题 传播问题: 例1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A.8人 B.9人 C.10人 D.11人 1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为( ) A.10只 B.11只 C.12只 D.13只 2.某种植物的主干长出a 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,则主干、支干和小分支的总数为_____. 3.有人利用手机发短信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信,经过两轮短信的发送,共有90人手机上获得同一条信息,则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信? 握手问题 例2:有一组人进行握手,每个人都与其他人握手一次,某组共握手21次,如果设该组共有x 人,那么依题意,可列出的方程是( ) A. x(x+1)=21 B. x(x-1)=21 C. 2x(x-1)=21 D. x(x-1)=21 1.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x 个队参赛,则x 应满足( ) A.x(x+1)=28 B.x(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28 2.“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x 名同学,那么依题意,可列出的方程是( ) A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210 C.2x(x-1)=210 D.x(x-1)=210 3.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 2121212 1

用二次函数的图像解一元二次方程

用二次函数的图像解一元二次方程 一、教材分析: 《用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》(冀教版)九年级下册第三十章第五节,这节课是在学生学习了二次函数的概念、图像、性质及其相关应用的基础上,让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系,教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题,这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。这样,学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会;从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。这也突出了课标的要求:注重数形结合。 本节教学时间安排1课时 二、教学目标: 知识技能: 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 3.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。 数学思考: 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神. 2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图像法求方程近似根的体验. 3.通过观察二次函数图像与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想。 解决问题:

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2.通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图像与x 轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力。 情感态度: 1.从学生感兴趣的问题入手,让学生亲自体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。 2.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识。 三、教学重点、难点: 教学重点: 1.体会方程与函数之间的联系。 2.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。 教学难点: 1.探索方程与函数之间关系的过程。 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。四、教学方法:启发引导合作交流 五:教学媒体:计算机、实物投影。 六、教学过程设计: 检查预习引出课题→创设情境探究新知→例题学习巩固提高→练习反馈巩固新知→感悟本课,分享收获→分层作业,共同提高 七、教学过程: [活动1] 检查预习引出课题 1.解方程:(1)x2-2x-3=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-2x+3=0. 2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系,利用函数的图像求方程3x-4=0的解

实际问题与一元二次方程(单、双循环)

实际问题与一元二次方程—比赛问题 教学目标 知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识. 情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。 教学难点:发现问题中的等量关系. 教学过程设计 回顾引入:解下列方程 x (x -1)=90 x(10-x)=24 x (x+2)=168 452)1(=-n n 202 )3(=-n n 新课讲授 要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式,计划安排15场比赛,问应邀请多少个球队参加比赛? 分析思考:1、什么是单循环? 2、什么是双循环? 解:设邀请x 个球队参加比赛。

拓展变形: 举办一次足球联赛,赛制为双循环形式,一共要比赛90场,共有多少个队参加比赛? 归纳总结 当个体为x 个,总数为n 时 单循环公式:n x x =-2 )1( 双循环公式:x (x -1)=n 做题时先判断是单循环还是双循环,再套公式 变式练习,巩固强化 1、在一个QQ 群里有n 个网友在线,每个网友都向其他网友发出一条信息,共有20条信息,则n 为 ( ) (思考:这题是 循环) A 、10 B 、6 C 、5 D 、4 2、一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送了 72 张,则这个 小组共有多少人? (思考:这题是 循环) 3、一次开会时,同事们见面后,倍感亲切,相互握手恭贺,这次共握手 28 次,一共有多少人参加开会?(思考:这题是 循环) 小结:1、怎样判断单、双循环。 2、套用公式 作业:各教师自定

一元二次方程的实际问题

一元二次方程的实际问题 一、传播问题 例:某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 归纳总结:按这样的感染速度,n轮后有多少台电脑被感染? 第1轮:(1+x) 第2轮: 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人,则x的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 二、变化率问题 例:2010年某市出口贸易总值为22.52亿美元,至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元,反映了两年来该市出口贸易的高速增长. (1)求这两年这个市出口贸易的年平均增长率; (2)按这样的速度增长,请你预测2013年这个市的出口贸易总值.(温馨提示:2252=4×563,5067=9×563) 2、某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为. 三、数字问题

1、有一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比原数大63,则原来的两位数为. 2、已知有一个两位数,它的十位数字比个位数字小2,十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数,求这个两位数. 3、一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数. 四、销售利润问题 1、百货商店服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 2、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至x元/千克,则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间满足一次函数关系y=kx+b.且当x=7时,y=2000;x=5时,y=4000. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克,本月份的成本价为4元/千克,要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%,同时又要让顾客得到实

综合解一元二次方程—换元法

综合解一元二次方程— 换元法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. 2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的. 【典例解析】 例1.用适当方法解下列方程: (1)2x2﹣5x﹣3=0 (2)16(x+5)2﹣9=0 (3)(x2+x)2+(x2+x)=6. 例题分析:本题考查了一元二次方程的几种解法:①公式法;②直接开平方法;③换元法 (1)用公式法解一元二次方程,先找a,b,c;再求△;再代入公式求解即可; (2)用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化为(x+5)2=,直接开方即可; (3)设t=x2+x,将原方程转化为一元二次方程,求解即可. 解:(1)∵a=2,b=﹣5,c=﹣3,△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×(﹣3)=25+24=49, ∴x===, ∴x1=3,x2=﹣; (2)整理得,(x+5)2=, 开方得,x+5=±, 即x1=﹣4,x2=﹣5, (3)设t=x2+x,将原方程转化为t2+t=6, 因式分解得,(t﹣2)(t+3)=0, 解得t1=2,t2=﹣3. ∴x2+x=2或x2+x=﹣3(△<0,无解), ∴原方程的解为x1=1,x2=﹣2. 例2.解方程:(1)(x+3)(x﹣1)=5

一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a ),其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数,b 叫做___________系数,c 叫做_________. 典型例题: 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________,它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________,常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程(1-3x )(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时,关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程;当m______时,关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根,则m m -2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程,则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0,则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知:5±=x , 即x 1=5, x 2=-5; 若(2x-1)2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为:x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程:(1)1) 3(2=+x (2)18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ① 化二次项系数为1; ② 移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;

实际问题与一元二次方程的应用

《实际问题与一元二次方程的应用》说课稿尊敬的各校评委、各位老师: 大家好!我是永靖县第六中学的数学教师张红红,今天我说课的内容是人教版九年级数学第二十三章实际问题与一元二次方程应用的第二课时,下面我谈一下,我对这部分教材的理解、以及自己课后的一点体会。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中数学中占有重要的地位,其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性,它是一元一次方程应用的继续,又是函数学习的基础,它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要的数学模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的学习和研究,体现数学建模的过程,帮助学生形成应用意识,其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣,能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。由于列出一元二次方程解应用题及应用相当广泛,在几何,物理及其它学科中都有大量的问题存在;因此,它是学习的重点。本节课侧重于几何方面的应用,现代心理学的研究表明,学生解应用题最常见的困难是,不会将实际问题提炼成数学问题,鉴于学生比较缺乏社会生活经历,搜集信息,处理信息的能力较弱,由此,这些是本节课的难点。而用一元二次方程解应用题的数量关系也比用一元一次方程解应用题的数量也要复杂一些,根据教学大纲的要求,以及本节教材的内容和九年级学生的认知特点,我这样设定了教学目标。 2、说教学目标 知识方面:以一元二次方程解决的实际问题为载体,让学生初步掌握数学建模的基本方法。 能力方面:通过对一元二次方程的应用问题的学习和研究,让学生体验数学建模的过程,从而学会发现、提出日常生活、生产或其它学科中可以用一元二次方程来解决的实际问题,并能用正确的语言表述问题、及其解决过程。

实际问题与二次函数练习题及答案

12999数学网 https://www.sodocs.net/doc/695730175.html, 26.3 实际问题与二次函数 1. 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货 员,计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元,由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人数也就不等,根据经验,各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表(1),每1万元营业额所得利润情况如表(2)。商场将计划日营业额分配给三个经营部,设分配给百货部,服装部和家电部的营业额分别为x ,y 和z (单位:万元,x 、y 、z 都是整数)。(1)请用含x 的代数式分别表示y 和z ;(2)若商场预计每日的总利润为C (万元),且C 满足19≤C ≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营部?各应分别安排多少名售货员? 2.某宾馆有50个房间供游客居住。当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。房价为多少时,宾馆利润最大? 3. 心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力初步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系(04黄冈) (1)讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较,何时学生的注意力更集中? (2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (3)一道数学题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力达到180,那么经过适当安排,老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 224100(010)240(1020) 7380(2040)t t t y t t t ?-++<≤??=<≤??-+<≤??

用图象法求一元二次方程的根

用图象法求一元二次方程的根 学习了二次函数之后,可以利用图象求一元二次方程的根。下面介绍几种具体的方法: 方法一:直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象,则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为:(1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象;(2)观察图象与x 轴交点的个数;(3)若图象与x 轴有交点,估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根. 方法二:先将方程变形为ax2+bx=-c ,再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象,则图象交点的横坐标就是方程的根. 方法三:可将方程化为 a c x a b x ++ 2=0,移项后为 a c x a b x --=2.设y=x2和y=a c x a b --,在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a c x a b - - 的图象,则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多,因为画抛物线远比画直线困难得多. 例:二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示,根 据图象解答下列问题: (1)写出方程2 0ax bx c ++=的两个根. (2)写出不等式20ax bx c ++>的解集. (3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围. (4)若方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 解:(1)观察图象,抛物线与x 轴交于两点(1,0)、(3,0)故方程 20ax bx c ++=的两个根 11 x =, 23 x = . (2)不等式2 0ax bx c ++>,反映在函数图象上,应为图象在x 轴上方的部分,因此不等式2 0ax bx c ++>的解集应为13x <<. (3)因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下,所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x > (4)若使方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,也就是抛物线 2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2 个不同的交点,观察图象可知抛物线的顶点

一元二次方程实际问题

22.3实际问题与一元二次方程(第1课时) 启东市合作初级中学:董燕飞

当 堂 反 馈(10分钟) 一、选择题 1.2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ,依题意列出的方程是( ). A .100(1+x )2=250 B .100(1+x )+100(1+x )2=250 C .100(1-x )2=250 D .100(1+x )2 2.一台电视机成本价为a 元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,?所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为( ). A .(1+25%)(1+70%)a 元 B .70%(1+25%)a 元 C .(1+25%)(1-70%)a 元 D .(1+25%+70%)a 元 3.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,?售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d 可用p 表示为( ). A .100p p + B .p C .1001000p p - D .100100p p + 二、填空题 1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x ,第一年的产量为6万kg ,?第二年的产量为_______kg ,第三年的产量为_______,三年总产量为_______. 2.某糖厂2002年食糖产量为at ,如果在以后两年平均增长的百分率为x ,?那么预计2004年的产量将是________. 3.?我国政府为了解决老百姓看病难的问题,?决定下调药品价格,?某种药品在1999年涨价30%?后,?2001?年降价70%?至a?元,?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________. 三、综合提高题 1.为了响应国家“退耕还林”,改变我省水土流失的严重现状,2000年我省某地退耕还林1600亩,计划到2002年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,?从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量. 3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营,?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营. (1)如果第一年的年获利率为p ,那么第一年年终的总资金是多少万元?(?用代数式来表示)(注:年获利率=年利润年初投入资金 ×100%) (2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法(缺常选因)求解. 一、直接开平方法 解形如(≥0)和(≥0)的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: (1)把一元二次方程化为(≥0)或(≥0)的形式; (2)直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; (3)分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: (1)直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; (2)对于一元二次方程,当时,方程无解; (3)对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: (1); (2). 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为(≥0)的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:(1) ∴; (2) ∴. 例2. 解下列方程: (1); (2). 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为(≥0)的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:(1) ∴或 ∴; (2) ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】(A)(B) (C)(D) 习题2. 若,则_________.

实际问题与一元二次方程的几种常见模型

实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 解:1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+(1+x)x=81 整理得: X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为: 1+ x+ x(x +1)+x(x +1)2=739(台) 答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑为739台,超过700台 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x小分支,依题意得 1+x(x +1)=91 解得:X1=9 x2=-10(舍去) 答:每个支干长出9小分支

单(双)循环问题 1.参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛,共赛90场,共有多少队参加? 解:设共有x队参加依题意列方程得 x(x -1)=90 解得:X1=10 x2=-9(舍去) 答:共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解:设共有x人参加聚会,依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得:X1=12 x2=-11(舍去) 答:共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解:设应邀x个球队参加,依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得:X1=8 x2=-7(舍去) 答:应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解:有x人,依题意列方程得

公式法解一元二次方程及答案详细解析

公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

21.2.2公式法 一.选择题(共5小题) 1.用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6,解是() A.x1=3,x2=2 B.x1=﹣6,x2=﹣1 C.x1=6,x2=﹣1 D.x1=﹣3,x2=﹣2 2.用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定a、b、c的值.对于方程﹣ 4x2+3=5x,下列叙述正确的是() A.a=﹣4,b=5,c=3 B.a=﹣4,b=﹣5,c=3 C.a=4,b=5,c=3 D.a=4,b=﹣5,c=﹣3 3.(2011春?招远市期中)一元二次方程x2+c=0实数解的条件是() A.c≤0B.c<0 C.c>0 D.c≥0 4.(2012秋?建平县期中)若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解,则c2+c=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2013?下城区二模)一元二次方程x(x﹣2)=2﹣x的解是() A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.0或2 二.填空题(共3小题) 6.(2013秋?兴庆区校级期中)用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时,应求出a,b,c的值,则:a=;b=;c=. 7.用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时,先找出对应的a、b、c,可求得 △,此方程式的根为. 8.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0,用配方法解此方程,配方后的方程是.

三.解答题(共12小题) 9.(2010秋?泉州校级月考)某液晶显示屏的对角线长30cm,其长与宽之比为4:3,列出一元二次方程,求该液晶显示屏的面积. 10.(2009秋?五莲县期中)已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1,求该方程的另一根与m的值. 11.x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程,求a与b的值. 12.(2012?西城区模拟)用公式法解一元二次方程:x2﹣4x+2=0. 13.(2013秋?海淀区期中)用公式法解一元二次方程:x2+4x=1. 14.(2011秋?江门期中)用公式法解一元二次方程:5x2﹣3x=x+1. 15.(2014秋?藁城市校级月考)(1)用公式法解方程:x2﹣6x+1=0; (2)用配方法解一元二次方程:x2+1=3x. 16.(2013秋?大理市校级月考)解一元二次方程: (1)4x2﹣1=12x(用配方法解); (2)2x2﹣2=3x(用公式法解). 17.(2013?自贡)用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0. 18.(2014?泗县校级模拟)用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 19.(2011秋?南开区校级月考)(1)用公式法解方程:2x2+x=5 (2)解关于x的一元二次方程:. 20.(2011?西城区二模)已知:关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围;

实际问题与一元二次方程练习题(含答案)

实际问题与一元二次方程 1.(2013.铜仁)某水果批发商场销售一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克。经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现商场要保证每天盈利6000元,那么每千克应涨价多少元? 解:设每千克应涨价x元,依题意列方程 (500-20x)(10+x)=6000 整理得:x2-15x+50=0 (x-5)(x-10)=0 x 1=5 x 2 =10 答:---------。 2.若方程(m+1)x2m1 +4x+2=0是关于x的一元二次方程,则m= 1 。 3.如右图,将边长为4的正方形,沿两边剪去两个边长为x的 矩形,剩余部分的面积为9,可列出方程为 (4-x)2=9 。 4.某工厂20XX年的年产值为200万元,由于技术改进,每年的 产值有所增长,预计到20XX年该工厂的年产值为242万元, 求每年平均增长率。 解:设每年平均增长率为x,依题意列方程 200(1+x)2=242 x 1=0.1=10% x 2 =-2.1 (舍去) 答:--------------。 5.(2013.凤阳)某学校计划在一块长8米,宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花,使这矩形草坪四周的草地宽度都一样,求四周草地的宽度应为多少?。 解:设四周草地的宽度为x米,依题意列方程 (8-2x)(6-2x)=16 化为一般形式为 x2-7x+8=0 解:略答:-------。 6.某百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了迎接“六.一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,每件童装每降价4元,平均每天就可多售出8件,要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?。 解:设每件童装应降价x元,依题意列方程 (40-x)(20+2x)=1200 x2-30x+200=0 解得:x 1=20 x 2 =10 为了尽量减少库存,所以取x 1 =20 答:--------。 7.(2013.毕节)要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪? 设长为xcm,则宽为(x-5)cm,依题意列方程x(x-5)=150

《实际问题与二次函数》教学设计

实际问题与二次函数(教学设计) 162 团中学高文君 第1课时如何获得最大利润 【学情分析】 学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持,又学习了列代数式,列方程解应用题,这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础,但是作为建立二次函数模型区解决实际问题,带有很强的综合性、灵活性, 对学生的要求较高。 【教学目标】 1. 能够分析和确定实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值; 2. 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系; 3. 通过实际问题的解决,逐步领会二次函数的应用价值和实际意义;通过小组合作,交流讨论和探索,建立合作和探索意识,激发学习的兴趣和欲望。 【教学重难点】 1. 探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法; 2. 如何将实际问题转化为二次函数的问题。 【教学方法】启发引导,小组讨论 【教学过程】一【复习旧知,引入新课】 1 . 二次函数y ax 2 bx c的图象是一条_______________ ,它的对称轴是__________ ,顶点坐标 是. 当a>0时,抛物线开口向,有最点,函数有最______________________________ 值,是 _______ ;当a<0时,抛物线开口向,有最 ____________ 点,函数有最 _______ 值, 2.二次函数y 2x2 8x 9的对称轴是____________ ,顶点坐标是—」当x= _______ 时,函数有最 值,是 _____ 。 【设计意图】在前几节课的学习中,我们已经学习了二次函数的图象和性质,这节课首先复习二次函数的相关内容,唤起学生对二次函数的记忆。 二、【试一试,我能行】 问题.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大? 1、本题中的变量是什么? 2、学生对商品利润问题的理解:每件的利润=售价一进价 总利润=每件的利润X卖出的总件数 总利润=销售额一进货额 3 、学生对两个变量的理解。 师生共同分析:(1)销售额为多少?(2)进货额为多少? (3)利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么? (4)变量x的取值范围如何确定? (5)如何求解最值? 设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也随之变化,我们先确定y与x的函数关系式。涨

实际问题与一元二次方程汇总

一元二次方程的应用题 (一)传播与球赛问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 第一轮后共有人患流感;第二轮后共有人患流感。 等量关系: 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 分析:设每个支干长出x个小分支。 主干长出支干的数量个,支干总共长出小分支的数量个。 等量关系: 解:设每个支干长出x个小分支。 3.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 分析:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 第一轮后被感染的电脑共有台,第二轮后被感染的电脑共有台。 等量关系: 解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛? 分析:此比赛是循环比赛。 设共有x个队参加比赛,每队要与其他个队各赛一场。A队与B队的比赛和B队与A队是同一场,所以全部的比赛是场。 等量关系: 解:设共有x个队参加比赛

5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛? 分析:此比赛是循环比赛。 设共有x队参加比赛,每队要与其他个队各赛一场。 等量关系: 解:设共有x队参加比赛 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会? 分析:设有x个人参加聚会,每人要与其他个人握手一次 等量关系: 解:设有x个人参加聚会 7.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72,这个小组共有多少人? 分析:设这个小组共有x个人,每人要与其他个人互送贺卡 等量关系: 解:这个小组共有x个人 (二)面积问题 1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2,求两条直角边的长。 2.如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用

一元二次方程的解法(消元)

消元一二元一次方程组的解法(四)教案 一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法:能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观:通过分析实际问题中的数量关系,建立方程组解决问题,进一步认识方程模型的重要性。 二、教学重难点 重点:能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 难点:实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。 三、教学过程 (一)复习、引入课题 复习:解二元一次方程有多少种解法?共同点是什么?目的是什么? 引入:接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。 (二)探索新知 (1)解方程组 引导学生通过消y 与消x ,尝试不同的解法,培养学生发散思维,然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。 小结1:当方程中同一个未知数的系数相等或相反时,用加减消元法较简便。 (2)请选择适当的方法解下列方程组: ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10

通过这三个方程组的讨论,归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。 小结2:当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时,用代入消元法较简便。 小结3:当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时,用加减消元法较简便。 小结4:当方程组中任何未知数的系数不是1或-1,是不成整倍数时,一般经过变形后利用加减消元法较简便。 老师小结:解二元一次方程组不管采用哪种方法,都可以获得它的解,但根据题目形式的特点,选择恰当的方法可以减少走弯路,加快解题速度,使解题过程简洁,提高正确率。 (三)实际应用 例(教材104页):2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷,3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷,1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷? 通过分步提问,引导学生分析 问题1:列方程组解应用题的关键是什么? 问题2:你能找出本题的等量关系吗? 问题3:怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢 设:如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷,1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。 那么2台大收割机2小时收割小麦()公顷,5台小收割机2小时收割小麦()公顷。 根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程: 4x+10y=3.6

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