大一下高等数学期末试题_(精确答案)
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )
A ．(,)f x y 在P 连续
B ．(,)f x y 在P 可微
C ． 0
0lim (,)x x f x y →及 0
0lim (,)y y f x y →都存在 D ．
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在
2．若x
y
z ln =，则dz 等于（ ）．
ln ln ln ln .x x y y y y
A x y
+
ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x
y y C y ydx dy x
+ ln ln ln ln .
x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2
2
2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则
(),,(=???Ωdxdydz z y x f ）
． 21
2
0cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π
θ
θθθ?
?
? 212
00
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π
θ
θθθ?
?
?
212
2
cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π
θ
πθθθ-??
? 21
0cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz π
θθθ??
?
4． 4．若
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
5．曲线22
2
x y z z x y
-+=??
=+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1．设220x y xyz +-=，则'
(1,1)x z = .
2．交 换ln 1
(,)e
x
I dx f x y dy =
?
?
的积分次序后，I =_____________________．
3．设2
2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知0!n x
n x e n ∞
==∑，则x
xe -= .
5. 函数3322
33z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ??,z
y ??.
2.（本小题满分6分）求椭球面222
239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的
法线方程.
3. （本小题满分7分）求函数2
2
z x y =+在点(1,2)
处沿向量122
l i j =+
r r r
方向的方向导数。 4. （本小题满分7分）将x x f 1
)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
5．（本小题满分7分）求由方程088222
22=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6．（本小题满分7分）计算二重积分
1,1,1,)(222
=-=--=+??y y y x D d y x
D
由曲线σ及2-=x 围成.
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算?
-L
x y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.
8.（本小题满分7分）计算???
Ω
z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑都收敛，证明级数
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛。
2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2f
x x
?=?， 证明曲线积分
2(,)L
xydx f x y dy +?
与路径无关．若对任意的t 恒有
(,1)
(1,) (0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+?
?
，求),(y x f 的表达式．
参考答案
一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =
10
(,)y
e
e dy
f x y dx ??
3. →
→
→
-+-k j i 242 4 1
(1)!n n n x n +∞
=-∑ 5. (2,2)
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1．解：2
2
2
y
x y x z +-=??; (3分) y z
??=x y arctan +22y
x xy + ( 6分). 2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r 满足：00023232
x y z
==- ，切点为：(1,1,2)-或
(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：
112
232
x y z +-+==-或者112
232
x y z -+-==
- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ?= ( 3分),
(1,2)
1f l
?=+?r ( 7分) 4. 解：)3(31
)(-+=x x f =)
3
3(113
1-+?x , ( 2分)
因为 ∑∞
=+=-011)1(n n n x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-?-=-+?
)33(31)1()3
3(1131n n n x x =∑∞=+--0
1)3()31()1(n n n n x ,其中13
31<-<-x ，即60< 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞ =?-0 31)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x ， ( 7分) 5. 解：由401284(2)0128z x x z y z y z y z y ??==??--? ??+?==??--? , 得到0=x 与02=+z y , ( 2分) 再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872 =-+z z 即8 1,7 z =-。 由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16 (0, )7 。 ( 4分) 由224128z x z y ?=?--，20z x y ?=??，224128z y z y ?= ?--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。( 5分) 在(0,2)-点，1z =，因此 224 015z x ?= >?，所以(0,2)-为极小值点，极小值为1z =；( 6分) 在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ?=- 7z =-， ( 7分) 6. 解：记?????≤≤-≤≤--???≤≤-≤≤-1 101:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故 σσσd y x d y x d y x D D D ??????+-+=+2 1 )()()(222222 ( 4分) -= -+=????--320)(2 321 311 2 2 2π πθdr r d dx y x dy 4 π （7分） 7. 解：L 所围区域D ：2 2 2a y x ≤+,由格林公式，可得 ? -L x y x y xy d d 22= y x y y x x xy D d d ))()((22???-?-??=??+D y x y x d d )(22=4π2002 2πd a r r r d a ??=?θ.(7分) 8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，? ????≤≤≤≤≤≤, 10,2π 0,10:r z θΩ所以 ????????=Ω θθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 01 2π 01 ( 4分) = ?? r r d d 2sin 213 010 2πθθ=8 1 4)42cos (1 42 π =?-r θ. (7分) 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞ →∞ ==，（2分） 故存在N ，当n N >时，2 2 2 ()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此21 ()n n n u v ∞ =+∑收敛。（8分） 2．证明：因为 2f x x ?=?，且22()xy x y ?=?，故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +?与路径无关．（4分） 因此设)(),(2y g x y x f +=，从而 (,1) 11 22 (0,0) 2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+? ???， （5分） (1,) 1 (0,0) 2(,)0[1()]()t t t xydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+? ???， （6分） 由此得 1 2 ()t g y dy + ? ()t t g y dy =+?对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即 12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．（8分） 一、