2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案
一、 选择题
1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()
().sin A f x x x = (
).B f x x =().?C f x cos x = (
).D f x =
答案:() D 解析:方法一:
()()()0
00sin 0lim
lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x
x A →→→-===可导 ()()(
)0
000lim
lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导
()()()2
0001cos 102lim
lim lim 0,x x x x x f x f x x C x
→→→-
--===可导 ()()(
)
0001
02lim
lim x x x x f f x x
D x →→→-
-==不存在,不可导 应选()D . 方法二:
因为()(1)0f f x ==
()(
)0001
02lim lim
x x x x f x f x x
→→→-
-==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D
对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()(
)3
2
:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且
()1
0,f x dx =?则
()()1'0,02A f x f ??
<<
???
当时 ()()1''0,02B f x f ??
<< ???当时 ()()1'0,02C f x f ??
><
???
当时 ()()1''0,02D f x f ??
>< ???
当时 答案()
D
【解析】
将函数()f x 在1
2
处展开可得
()()()()()2
2
2
1
1
10
00''1111',
22222''1111111''',
22222222f f x f f x x f f x dx f
f x x dx f f x dx ξξξ?????
???=+-+- ? ??? ??????
????
??????
??????
?=+-+-=+-?? ? ??? ?
? ??????
??????????
?
?
??故当''()0f x >时,
()1
11.0.22f x dx f f
??
??>< ? ???
???
从而有
选
()D 。
3.设(
)
(2
22
222
22
11,,11x x x
M dx N dx K dx x e π
π
π
π
ππ-
--++=
==++???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >> 答案:() C
解析:()
2
222222
22
1211,11x x M dx dx dx x x π
π
π
π
ππ-
--+??
=
=+= ?++????? 22
1x x N dx e π
π
-+=?,因为1x
e x >+所以11x x e +<
(
22
1,1 1.
K dx π
π-
=+>?
即111x x
e +<<
所以由定积分的比较性质 K M N >>,应选()C .
4.设某产品的成本函数()C Q 可导,其中Q 为产量,若产量为0Q 时平均成本最小,则()
A ()0'0C Q =
B ()()00'
C Q C Q = C .()()000'C Q Q C Q =
D .()()
000'Q C Q C Q =
答案
D
【解析】平均成本()()()()()
2',C Q dC Q C Q Q C Q C Q Q dQ Q
-=
=,由于()C Q 在0
Q Q =处取最小值,可知
()00'0.Q C Q =故选(D).
5.下列矩阵中,与矩阵110011001??
?
? ???相似的为
111.011001A -?? ? ? ??? 101.011001B -??
? ? ???
111.010001C -?? ? ? ??? 101.010001D -?? ? ? ???
答案:() A
解析:令110010001P -?? ?= ? ???则1
110010001P -??
?= ? ???
111011111001
0011010001001001120110110011010011001001001P AP ---??????
?????= ?????
??????
?????
-??????
?????= ?????
????????
???
Q
∴选项为A
6.设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,()XY 表示分块矩阵,则
()().?Ar A AB r A = ()().?B r ABA r A =
()()(){}.? ,C r AB max r A r B = ()().? T T D r AB
r A B = 答案:()A
解析:易知选项C 错 对于选项B 举反例:取11001112A B ????==
? ?????
1
则()001100,,331133BA A BA ????
== ? ?????
7. 设随机变量X 的概率密度()f x 满足
()()11+=-f x f x ，且()2
00.6=?f x dx ，
则{}0______<=P X ．
(A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6．
解 由()()11+=-f x f x 知，概率密度()f x 关于1=x 对称，故
{}{}02<=>P X P X ，
且{}{}{}00221<+≤≤+>=P X P X P X ，由于{}()2
0020.6≤≤==?P X f x dx ，所
以{}200.4<=P X ，即{}00.2<=P X ，故选项A 正确．
8. 设()
12,,,n X X X K 为取自于总体()
2,X N μσ:的简单随机样本，令
∑==n
i i X n X 11
，1S =
2S =， 则下列选项正确的是______．
(A)
)()X t n S
μ
-:；
(B) )()1X t n S
μ--:；
(C)
)()*
X t n S μ
-:；
(D) )()*
1X t n S μ--:．
解
由于()
~0,1N ，)1(~)()1(221
2
2
2
--=
-∑=n X X
S n n
i i
χσσ
，且
与
2
2
(1)n S σ-相互独立，由t 分布的定义，得
)~(1)
X t n S
μ-=-，
故选项B 正确． 二、 填空题
9.曲线2
2ln y x x =+在其拐点处的切线方程为__。
答案43y x =-
【解析】函数()f x 的定义域为()232240,,'2,''2,'''y x y y x x x
+∞=+
=-=。 令''=0y ,解得x=1,而()'''10,y ≠故点(1,1)为曲线唯一的拐点。 曲线在该点处切线的斜率()'14,y =故切线方程为43y x =-。
10.__.x e =?
arcsin ,=tan x x x e C t t t C
e C
====??答案【解析】令t=e 则
原式
11.差分方程2
5?-=x x y y 的通解______.
【答案】
125
x x y c +=?-()()2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111==22=5,2525,2,-2=5,=-52x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y c y c c c c y c *+????-?=?-?-?-?=?-?+?-?-=-==?==?-【解析】由于，故原差分方程可化为即。
设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分方程的通解为5,c 为任意常数。
12.函数()x ?满足()()()()()20,x x x x x x x x ???ο+?-=?+??→且()02?=,则
()1__.?=
答案 ()12.e ?=
【解析】()()()()()()2,,'=2x x x x x x x x x ??ο???=?+?由可知可微且。 这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为()2
;x x ce ?=再由()02?=,可得
2
c =。
故
()()2
2,12x x e e ??==。
13.设
A 为
3
阶矩阵,123,,ααα为线性无关的向量组,若
112322332322,A A A αααααααααα=++=+=-+，,可得
()()123123200,,,,111121A αααααα??
??=-??????
。
由于123,,ααα线性无关,故200111121A ????
-??????
:=B ，从而有相同的特征值。
因()()22
0011
1
223,1
2
1
E B λλλλλλλ--=
--=--+---
故A 的实特征值为2。
14.设随机事件,,A B C 相互独立，且
1
()()()2
===
P A P B P C ， 则()______?=P AC A B ．
解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得
()()()()()()
()()()()()()()11122.
111132222??????=
?=
+-?=
+-??
==+-?P AC A B P AC A B P A B P AC P A P B P AB P A P C P A P B P A P B
三、 解答题
15.已知实数,a b ,满足()1
lim 2,x
x ax b e x →+∞
??+-=????
求a,b 。
答案 1,1a b ==
【解析】()011
,lim
2,t t a bt e t x t
+→+-=令 =可得 ()0000111lim lim lim lim t t t t
t t t t a bt e ae ae be b
t
t
t
+
+
++
→→→→+---=+=+其中
可知0011
lim 2,lim ,1t t t t ae ae b a t t
++
→→--=-=而要使得存在必须有。 01,lim =1=2, 1.
,1,1t t ae b b t
a b +→--===此时有故综上。
16.设平面区域
D 由曲线
y
=与直线y =及
y 轴围成。计算二重积分
2
D
x dy ??。
答案 ()2.32π-
【解析】
)
2
2
I x dy x dx ==
(
)30
2
2
24
0,
,sin ,cos sin 224x
x dx x x t t tdt td t ππ=-====其中对于令可化为
而
)340
112416x dx x π===-，综上。 17.将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值. 【解析】设分成的三段分别为
,,,x y z 则有2x y z ++=及x,y,z>0，圆的面积
为
222222
123222
1111=,=+416416112,+416S x S y S x y x y z x y πππ=
++=，正方形的面积为正三角形的面积为，总面积为S ，则问题转化为在条件x,y,z>0下,求函数
的最小值。令
()222
11++2,41636
x y z x y z λπ+++-L=
=0
2
=0
8
,
=20
,
9
L x
x x
L y
y
y
L
z
z x
L
x y z
λ
π
λ
λ
λ
?
?
+=?
??
=
?
?
??
?+=
?
??
??
=
??
?
??
+=
??
?=
??
?
???
++-=
??
?
+
则有解得唯一条件极值点为
为最小值
18.已知()()
2
1
cos211,.
1
n
n n
n
x a x x a
x
∞
=
-=-<<
+
∑求
答案()()
22
21
12222,0,1,2,;
n
n
a n n n
+
+
=-+=+=L
()
()
()()
()
()
()
22
21
2
1212
12121,0,1,2,
2!2!
n n
n n
n
n
a n n n
n n
+
--
=+-+=-+=L。
【解析】
()
1
-
2
1+x
将cos2x与展成幂级数可得
()
()
()
()()
()
()
()()()
22
2
00
1
2
00
212
cos21,,
2!2!
11
'111,11
1
1
n n n
n n
n n
n n
n n
n n
x x
x x x
n n
x n x x
x
x
∞∞
==
∞∞
+
==
-
=-=-∞<<+∞
??
??
-==-=-+-<<
???
+
??
+??
∑∑
∑∑
则()()
22
21
12222,0,1,2,;
n
n
a n n n
+
+
=-+=+=L
()
()
()()
()
()
()
22
21
2
1212
12121,0,1,2,
2!2!
n n
n n
n
n
a n n n
n n
+
--
=+-+=-+=L。
19.设数列{}n X满足:()
1
1
0,11,2,.
n n
x x
n
x x e e n
+
>=-=L证明{}n X收敛,并求lim.n
n
x
→+∞证明:①证明0
n
x>,易证
②再证{}n X单减,由
()
1
1
,0,
n n
n
x x
x
n
n n
e e e
e e x
x x
ξξ
+
--
===∈
-
拉格朗日中值定理
{}
1
,lim
n n
n n
x
x x
x x
ξ
+
→+∞
∴=<
∴单减有下界由此得存在
③设lim ,1
A A n n x A Ae e →+∞
==-则
0A ?=
20.设实二次型()()()()2
2
2
1231232313,,,f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 是参数.
(1)求()123,,0f x x x =的解;
(2)求()123,,f x x x 的规范形.
解析:(1)()123,,0f x x x =而123231
300,0
x x x x x x ax -+=??
+=??+=?
由
11110
201101110002A a a -???? ? ?=→ ? ?
? ?-????
得 当2a ≠时,()3,r A =只有零解1230.x x x === 当2a =时,()2,r A =方程有无穷多解, 通解为
12321,1x x x k k x -???? ? ?==- ? ? ? ?????
为任意常数.
(2)由(1)知,当2a ≠时A 可逆,
令1123
22333y x x x y x x y x =-+??=+??=?
,即Y AX =,则规范形为222123,f y y y =++ 当2a =时,()2,r A =
令1123
22333y x x x y x x y x =-+??=+??=?
,则()2
222
21212122132,22f y y y y y y y ??=+++=++ ???
令1
122
23312z y y z z y ??=+????
??=??
?=???
,则得规范形为22
12.f z z =
21.已知a 是常数,且矩阵1213027a A a ?? ?= ? ?-??可经初等变换化为矩阵12011111a B ?? ?
= ? ?-??
(1)求a ;
(2)求满足AP B =的可逆矩阵P . 解析:(1)A Q
经过初等列变换化为B
()()
121212130010127033000r A r B a a a A a a a a ∴=??????
? ? ?=→-→- ? ? ?
? ? ?--??????
Q
()()22
121212011011011111013002r A r B a a a B a a ∴=∴=?????? ? ? ?=→→ ? ? ?
? ? ?-+-??????由得a=2.
(2)令()()1123123,,,,,P X X X B b b b ==
()()()()1123123123,,,,,,=1231
22122122
122130011012
111272111036
3331221221063
440121110121
110000000000
00i i AP A X X X AX AX AX b b b AX b i A B ===∴=????
?
?
=→----→ ? ? ? ?------?
???????
?
?----→---- ? ? ? ??
???
M M M
M M M M M M M M M M ，，
()
()
111111112222222233336363b =2121,106464b =2121,10646b =2110k AX X k k k k k AX X k k k k AX X k --+??????
? ? ?
∴=+-=- ? ? ? ? ? ?
??????
--+?????? ? ? ?
=+-=- ? ? ? ? ? ?
??????
--???? ? ?=+-= ? ? ? ?????的通解为为任意常数的通解为为任意常数的通解为()3333421,k k k k +?? ?
- ? ?
??
为任意常数
12311231231231231123321
2
3
636464=212121(,,)636464
=212121=k k k P k k k k k k k k k k k k P k k k k k k k k -+-+-+??
?∴--- ? ???-+-+-+----Q ，
，其中为任意常数，
， 当
23
k k ≠时
,
1
P 可
逆
,
取
可
逆
矩
阵
123123123123636464=212121(,)k k k P k k k k k k k k k -+-+-+??
?
---≠ ? ???
，，为任意常数，使得AP=B.
22. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为
{}{}
1
112
P X P X ===-=
， Y 服从参数为λ的泊松分布()P λ．令Z XY =，求（1）()
,Cov X Z ；（2）Z 的概率分布．
解 （1）由题意，知
()()1111022E X =?+-?=，()
()
2221111122
E X =?+-?=，
则()()()2
2
1D X
E X E X =-=，且()E Y λ=．于是，由协方差计算公式，得
()
(
)
()()()()()()()
()()
22
2
,,.
Cov X Z Cov X X Y
E X Y E X E X Y
E X E Y E X E Y E Y D X ==-?=?-?=?
（2）随机变量Z XY =的取值为0,1,2,±±K ，则
{}
{}
{
}
{}{}
{}{
}
0001,01,0
101011,20!20!P Z P X Y P X Y P X
P Y P X P Y e e e λλ
λλλ---===-=+====-?=+=?==?+?=
{
}
{
}
{}{
}
1,11,2!
k P Z k P X Y k
P X
P Y k e k λλ-======?==?
{}
{
}
{
}{
}
1,11,2!
k P Z k P X Y k
P X P Y k e k λλ-=-==-===-?==? 其中，1,2,k =K ． 23 .总体X 的概率密度为
()
1,2x
f x e σ
σσ
-=，
（x -∞<<+∞） 其中()
0,σ∈∞为未知参数， ()
12,,,n X X X K 为取自于总体X 的简单随机样本．记σ的最大似然估计量为μσ，求（1）μ
σ；（2）μ()μ()
,E
D σ
σ．
解 （1）构造似然函数
()
(
)
111,11,
22n
i i i n
i i x x
n
n n i L f x e e σσ
σσ
σ
σ==--==∑==∏∏
方程两边取自然对数，得
()()
1
ln ln 2n
i
i x
L n σσσ
==--
∑，
求上述方程的驻点，得
()1
2
ln 0n
i
i x
d L n d σσ
σσ
==-+=∑，
即最大似然估计量为
μ1
n
i
i X
n
σ
==∑．
（2）由期望的公式，得
()()
0,12122x
x
E X
x f x dx
x e x e dx σ
σ
σσ
σσ
+∞
-∞-+∞
-∞-+∞=?=?=?=?
??，
()()
2
222202
20
,1
21
2212,
x x
x
E X E X x f x dx x e x e dx
x e dx σσσσσσ
σσ
+∞-∞
-+∞-∞-+∞-+∞??==? ???
=?=?=?=???? 由方差的公式，得()
()
22
2D X
E X E X σ????=-= ??
???，则
μ()
()1n
i
i X E E E X n σ
σ=?? ?
?=== ? ??
?
∑， μ()
()2
11
n
i
i X D D D X n n n
σσ
=?? ? ?===
? ??
?
∑．