唐山一中2020-2021学年高二上学期数学周考四(文A+理B+)

信丰中学2017级高二上学期周考四（文A+理B+）数学试卷

命题人： 审题人：

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A ．01

B ．02

C ．07

D ．08

2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥

D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

3．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x ，y 的值分别为( )

甲组 乙组

9 0 9

9 y 6 1 6 6 x

6 2 9

A ．7,8 8,5 D ．7,7

4．在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正

切值为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7 5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三

视图

如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A ．18

B ．17

C ．16

D ．1

5 6．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如右图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，

则r ＝( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米

依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

8．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其

面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )

A ．123

B ．183

C ．243

D ．543

二、填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分）

9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．

10．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取

150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．

11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA

⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．

12．在正三棱锥S -ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为________．

三、解答题：（本大题共2个小题，共20分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13．（本小题满分10分）如图所示，E 是以AB 为直径的半圆弧上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面．

(1)求证：EA ⊥EC.

(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F.

求证：EF ∥AB.

14．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面

ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=.已知

2,6PB PD PA ===．

（Ⅰ）证明：PC BD ⊥；

（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三棱锥P BCE -的体积．

信丰中学2017级高二上学期周考四数学试卷（文A+理B+）参考答案

一、选择题： ADDC DBBB

二、填空题：13．60 14．1211 15．36π 16．12π

三、解答题：

13．证明：(1)∵E 是半圆上异于A ，B 的点，∴AE ⊥EB.

又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABE. 又∵AE ?平面ABE ，∴CB ⊥AE.

∵BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面CBE.

又∵EC ?平面CBE ，∴AE ⊥EC.

(2)∵CD ∥AB ，AB ?平面ABE ，∴CD ∥平面ABE.

又∵平面CDE ∩平面ABE ＝EF ，

∴CD ∥EF.又∵CD ∥AB ，∴EF ∥AB.

14【解析】（Ⅰ）证明：连接AC ，交于BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以,AC BD BO DO ⊥=，由PB PD =知，PO BD ⊥．再

由PO AC O ?=知，

BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．

（Ⅱ）解：因为E 是PA 的中点，所以

1122

P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----=== 由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ?

因为60

BAD

∠=,

所以1

PO AO AC BO

====.

又222,

PA PO AO PA PO AC =+=⊥

即.

故

1

3

2

APC

S PO AC

=?=.

由（1）知，

1111

,

2232

P BCE B APC APC

BO APC V V BO S

--

⊥==???=

面因此．