2016年全国高中数学联赛模拟试题4

2015年全国高中数学联赛模拟试题13

第一试

（时间：8:00-9:20 满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．若正实数,a b 满足84log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是 ．

2．如果△ABC 中，tanA, tan B ，tanC 都是整数，且A >B>C ，则tan B=

3．设22sin sin()sin()33x ππααα=++

+，当672014πα=时，x 的小数点后第一位数字是 ．

4．若11,2,3,(1)2a i b i c i x =+=+=+=

-，则2||a bx cx ++的值是 ．

5．函数()f x 满足3,1000;()((5)),1000.

x x f x f f x x -≥?=?+

6．在四面体ABCD 内部有一点O ，满足OA=OB=OC=4, OD=l ，则四面体ABCD 体积的最大值为 ．

7．设,A B 是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的长轴端点，P 是椭圆上异于,A B 的点， 自,A B 分别作直线12,,l PA l PB ⊥⊥则12,l l 的交点轨迹方程是

8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上1,2,3,4中的某个数，如果他

最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为1的概率为

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9．设函数()1x f x e -=-．

（l ）证明：当0x >时，()1x f x x >

+； (2)数列｛n a ｝满足111,()3n a n n a a e f a +-=

=，证明：数列｛n a ｝递减且12n n a <．

10．设抛物线()20y ax a =>和双曲线1y x =

交于点T ，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点P ，切双曲线于点Q ．求PQT △的面积．

11．设123,,z z z 是3个模不大于1的复数，

12,w w 是方程122331()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--= 的两个根． 证明：对j ＝1，2，3，都有{}12min ,1j j z w z w --≤．