导数典型例题讲解
资料一 ：导数.知识点
1．导数的概念
例1．已知曲线y
P (0, 0)，求过点P 的
切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线
PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·
解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝0
lim
lim (4)4x x y x x
?→?→?=+?=?.
∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0.
例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度．
解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2
,
∴
21S t t
t
?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+,
即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒
∴ v (t )=S ’＝0
lim
lim (21)21t t S t t t t
?→?→?=++?=+?
即v (5)＝2×5＋1＝11.
∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y
在x =1处的导数。
解析：?y
1-=
, ∴
y x
??
∴ 0
lim
x y x
?→??
=0
1
lim
2
x ?→=-
.
例5．已知函数
f (x )=2
1sin 000
x x x
x ?≠???=?
, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数
解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，?y =f (0+?x )－f (0)=2
1()sin x x
??,
y x
??=1sin
x x
???, 0
lim
x y x
?→??=0
1lim sin
x x x
?→???=0, 即 f ’(0)＝0.
∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为
0.
例6．已知函数f (x )=2
1(1)1
2
1(1)12
x x x x ?+???
?+>??≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？
解析：f (1)=1, 2
1
[(1)1]1
12
lim
lim lim (1)12
x x x x y
x x
x -
--?→?→?→+?+-?==+
?=??,
1
(11)1
12
lim lim 2
x x x y x
x
+
+?→?→+?+-?==
??, ∵0
lim
lim x x y
y x
x
-
+
?→?→??≠??,
∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导．
例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.
解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ?y =2(x +?x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·?x +6x ·
(?x )2+2(?x )3, ∴
y x
??=6x 2+6x ·?x +2(?x )2
, ∴ y ’=0
lim
x y x
?→??=6x 2.
例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程
和法线方程．
解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61
，
∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－
6
1( x －1)，即 6y ＋x －31＝0.
例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？
解析：∵ y ’=0
lim
x y x
?→??=22
()lim
2x x x x
x x
?→+?-=?,
令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5. 例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值 (1) 000
()()
lim
x f x m x f x x
?→-?-?； (2) 000
()()
lim
x x
f x f x t x
?→?+
-?.
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。 (1) 000
()()
lim
x f x m x f x x
?→-?-?=0000
()()
lim
()'()
x f x m x f x m m f x m x
?→-?-?-=-?-?,
（其中－m ·
?x →0） (2) 000
()()
lim
x x
f x f x t
x
?→?+
-?=0000
()()
11lim
'()x x
f x f x t f x x t t t
?→?+
-?=??.
（其中1
0x t
?→）
例11．设函数f (x )在x ＝1处连续，且1
()lim
2
1
x f x x →=-，求f ’(1).
解析：∵ f (x )在x ＝1处连续，∴ 1
lim ()x f x →=f (1).
而又1
1
1
1
()()lim ()lim (1)lim (1)lim
01
1
x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-?
=-?=--×
2=0. ∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=0
1
(1)(1)
()(1)
lim
lim
2
1
x x f x f f x f x
x ?→→+?--==?-（将?x 换成x －1）
即f ’(1)＝2.
例12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值． 解析：由y ’＝0
lim
x y x
?→??=22
()()()
lim
2x a x x b x x c ax bx c ax b x
?→+?++?+-++=+?,
由函数在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切, ∴ 2a ×2＋b ＝1， 又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a ＋b ＋c =1， 4a ＋2b ＋c ＝－1， 由三式解得a ＝3，b ＝－11，c =9. 例13．设曲线y ＝sin x 在点A (6π
，
2
1)处切线倾斜角为θ，求tan(
4
π－θ)的值. 解析：∵ y =sin x ，∴ ?y =sin(x +?x )－sin x =2cos(x +
2
x ?)sin
2
x ?,
∴ y ’=0
lim
x y x
?→??=0
002cos()sin
sin
222lim
lim cos()lim
cos 2
2
x x x x x
x
x x x x x x
?→?→?→???+
?=+?=??.
即y ’＝(sin x )’＝cos x ,
令在A 点处切线斜率为k =cos 6π
=
2
3, ∴ tan θ=
2
3, θ∈(0, π),
∴ tan(
4
π－θ)
＝
11tan 71tan 2
θθ
--==-+ H ，
例14．设f (x )是定义在R 上的函数，且对任何x 1、x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)f (x 2)，若f (0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x ∈R ，都有f (x )=f ’(x )
解析：由f (x 1＋x 0)=f (x 1)f (x 2)，令x 1＝x 2＝0得f (0)＝f (0)f (0), 又f (0)≠0 ∴ f (0)=1 由f ’(0)=1即0
()(0)
()1lim
lim
1x x f x f f x x
x
?→?→?-?-==??,
∴ f ’(x )＝
()()
()()()
()1lim
lim
()lim
()x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x
x
x
?→?→?→+?-?-?-==?=???.
即f ’(x )=f (x )成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f (x )=x 3，求f ’(x ) ，f ’(1)，(f (1))’，f ’( 0.5)
解析：f (x )=x 3, ∴ f ’(x )＝3x 2, f ’(1)=3, f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f (1))’=(1)’=0.
说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．
例2．已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4)，求 ① 割线AB 的斜率；②在[1， 1＋?x ]内的平均变化率；③ 过点A 处的切线斜率k AT ；④ 点A 处的切线方程．
解析：① k AB ＝4121
--＝3；
② 平均变化率
2
(1)(1)
(1)1
2y f x f x x x
x
x
?+?-+?-==
=+????,
③ y ’＝2x , ∴ y ’|x ＝1＝2. 即点A 处的切线斜率为K AT ＝2.
④ 点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)即2x －y －1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=0
lim
x y x
?→??.
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1x 在点P (1，1)处的切线倾斜
角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f (x )=1
x , ?y =f (1+?x )－f (1)=
1111x x
x
-?-=
+?+?,
∴ y ’|x =1=0
lim
x y x
?→??=0
1lim
11x x
?→-=-+?.
即在点P 处斜率为k ＝－1，∴ 倾斜角为135°， 法线方程y －1＝x －1即x －y ＝0. 解法(二)：y =f (x )＝
1x
，y ’=f ’(x )=2
1x
-
, ∴ y ’|x =1＝－1.
即在点P 处切线斜率为k =－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．
例4．已知曲线y P (0，0)，求过点P 的切线方程.
解析：由y =∴ y ’=
'=
, 在x =0处导数不存在，由图形知
过P 点的切线方程是x =0. 例5．设曲线y ＝cos x 在A (6π
，
23)点处的切线倾斜角为θ，求cot(
4
π－θ)的值
解析：y =cos x , y ’=－sin x , x =6
π时, k =－sin
6
π=－
2
1, ∴ tanθ=－
2
1，
∴ cot(4
π－θ)=
1
11
1tan 1211tan 3tan(
)
14
2
θπθ
θ-
+==
=--+
. 例6．求曲线y ＝x 3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积． 解析：∵ y =x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x 3在点(3，27)处的切线方程为y －27＝27(x －3), 即y ＝27x －54. 其与x 轴，y 轴交点分别为(2，0)，(0，－54) ∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S =
2
1×2×54＝54.
例7．在抛物线y ＝x 2上取横坐标为x 1＝1及x 2＝3的两点，作过这两点的割线，
问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？
解析：已知两点A (1，1)B (3，9)，割线斜率为k AB =4,
∵ y ’＝2x ，令y ’=2x ＝4得x ＝2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线．
3．函数和、差、积、商的导数 例1．求下列函数的导数： ① y =3x 2＋x cos x ；② y =
tan x x
； ③ y =x tan x －
2cos x
；④ y =
111x
+
.
解析：① y ’=6x +cos x －x sin x ； ② y ’=2
2
2
(tan )'tan ()'
sec tan x x x x x x x
x
x
?-?-=
；
③ y =
sin 2cos x x x
-, ∴ y ’=
2
(cos sin )cos (sin 2)(sin )
cos x x x x x x x x
+?--?-
=2
sin (cos 2)cos x x x
x
-+. ④ y =
1111
x x
x =-
++, y ’=2
2
11(1)
(1)
x x --
=
++.
例2．已知函数f (x )=x 3－7x +1，求f ’(x )，f ’(1)，f ’(1.5).
解析：f (x )=x 3－7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－
4
1.
注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点
处的函数值．
例3．已知函数y ＝x 3＋ax 2－34
a 的导数为0的x 值也都使y 值为0，求常数a 的
值．
解析：y ’=3x 2+2ax , 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=－32
a ,
当x =0时，y =0=－3
4
a ，∴ a =0，即a ＝0满足条件,
当x =－3
2a 时．y ＝0=3
2
84427
9
3
a a a
-
+
-
得a ＝0或a ＝±3
检验知a ＝±3不满足条件，
∴ 常数的值为0.
例4．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4，0)，B (2，4)，求① 割线AB 的斜率k AB ； ② 过点A 处的切线斜率k A ；③ 点A 处的切线方程。
解析：① 割线AB 的斜率k AB =
4024
--=－2；
② y ’=－2x +4，∴ y ’|x =4=－4，即k A =－4；
③ 过A 点的切线方程为y －0＝－4(x －4)，即 y ＝－4x ＋16.
例5．已知F (x )=f (x )＋g (x )，就下列两种情形判断F (x )在x ＝x 0处是否可导？ ① f (x )在x ＝x 0处可导，g (x )在x ＝x 0处不可导． ② f (x )，g (x )在x ＝x 0处均不可导． 解析： ① F (k )在x ＝x 0处不可导．
假设F (x )在x ＝x 0处可导， 由F (x )=f (x )＋g (x ), ∴g (x )＝F (x )－f (x ).
∵ f (x )在x ＝x 0处可导，∴ g (x )在x =x 0处可导，与条件g (x )在x ＝x 0处不可导矛盾， ∴ F (x )在x ＝x 0处不可导． ② F (x )在x ＝x 0处不一定可导． 如设 f (x )=sin x +
1x
, g (x )=cos x －1
x
, 则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，
但F (x )=f (x )+g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 另：若．g (x )=tan x +
1x
上，在x ＝0处不可导，
F (x )=f (x )+g (x )=sin x +tan x +2x
在x ＝0处也不可导．
例6．曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行． 解析： y ’=(x 3＋x －1)’＝3x 2＋1，
由过P 点切线与直线y ＝4x －7平行， 令3x 2＋1＝4得x ＝±1，
当x =1时，y =1，此时切线为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3与直线y ＝4x －7平行，∴ P 点坐标为(1，1)。
当x ＝－1时，y ＝－3，此时切线为y ＋3=－3(x ＋1)，即y ＝4x ＋1也满足条件，∴ P 点坐标为(－1，－3).
综上得P 点坐标为(1，1)或(－1，－3).
例7．证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2)上两点A (x 1，0)，B (x 2，0)的切线倾斜角互补．
解析： y ’=2ax －a (x 1+ x 2).
∴ 1
12'|()x x y a x x ==-, 即k 1=a (x 1－x 2), 1
21'|()x x y a x x ==-, 即k 2=a (x 2－x 1),
∵ k 1=－k 2，∴ 两切线倾斜角互补．
例8．已知曲线y =f (x )及y =f (x )sin ax ，(a ≠0)，其中f (x )＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．
解析：由f (x )=f (x )sin ax , f (x )>0，∴ sin ax =1，ax =2k π+2π
(k ∈Z ),
∴ x =
22k a
π
π+
，设曲线交点(x 0, y 0)， 即x 0
=22k a
ππ+
.
又两曲线y 1=f (x )，y 1’=f ’(x )，y 1=f (x )sin ax ，y 2’=f ’(x )sin ax +a ·cos x ·f (x )
010'|'()x x y f x ==, 0
2000'|'()sin(2)()cos(2)'()2
2
x x y f x k af x k f x π
π
ππ==+
++
=,
∴ k 1=k 2，即两曲线在公共点处相切.
例9．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．
解析：由y ’=3x 2－6x +2=k , 又由kx =x 3－3x 2+2x ，∴ 3x 3－6x 2+2x =x 3－3x 2+2x , 即2x 3－3x 2＝0得x 1＝0或x 2=2
3
．∴ k ＝2或－4
1
．
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1．函数y ＝(sin x 2
)2
3是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．
解析：答案分别为：y =u 2
3, u =sin v . v =x 2. 例2．求下列函数的导数：
① y =(x 2
+2x )3
；② y =2
54x
e
+；③ y
；④ y ＝(sin x 2
)1
3；
⑤ y ＝ln(x
；⑥ y ＝x 3lig 3x ；⑦ y =cos 5sin 2x x
；⑧ y =x n , (x ∈R +, n ∈R ).
解析：① y =(x 2+2x )3， y ’=3(x 2+2x )2·(2x +2)=6(x +1)(x 2+2x )2.
② y =2
54x
e
+, y ’= 2
54x
e
+·(8x )=8x ·2
54x
e +.
③ y
y ’=
3
122
3
()
ax bx x -++·(2ax +b ).
④ y =(sin x 2
)1
3, y ’=
3
122
3
(sin )
x -
·cos x 2
·2x
2⑤ y ＝ln(x
y
’=
(1+
⑥ y ＝x 3lig 3x , y ’=3x 2·lig 3x +x 3·1
x
lig 3e =3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2lig 3(ex 3).
⑦ y =cos 5sin 2x x
,
y ’=
2
2
(cos 5)'(sin 2)cos 5(sin 2)'
5sin 5sin 22cos 5co s 2(sin 2)
(sin 2)
x x x x x x x x
x x -?--=
.
⑧ y =x n =ln ln ()x n n x e e =, y ’=ln 1n x e n x
??=n ·1
x
·x n =1n nx -.
说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·
例3．求函数f (x )=22()()0或x a x b a x b x a x b
?--?
<>?
≤≤的导数。
解析：f ’(x )= 2()()[()()]
或x a x b x b x a a x b x a x b
---+-??
<>?
≤≤,
∴ f ’(x )= 2()()(2)
或x a x b x a b a x b x a x b
----??
<>?
≤≤
例4．若f (x )=x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1),解不等式f ’(x )>g ’(x ).
解析：f ’(x )=1+15
x -, g ’(x )=
11
x -, 由f ’(x )>g (x )，有
1+
15
x ->
11
x -, 即
2
(3)
0(5)(1)
x x x ->--, ∴ x >5或x <1.
又两函数定义域为x >5, 所以，不等式f ’(x )>g ’(x )的解集为(5，＋∞).
说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域． 例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析： 法一：定义法：
设f (x )为可导奇函数，则f (－x )＝－f (x ),
∴ f ’(－x )=0
()()[()()]
lim
lim
x x f x x f x f x x f x x
x
?→?→-+?----?-=??
=0
()()
lim
x f x x f x x
?→-?--?=f ’(x ).
即f ’(－x )=f ’(x )．∴导函数为偶函数. 法二：复合函数求导法：
设f (x )为可导奇函数，则f (－x )＝－f (x )，两边对x 求导 得：[f (－x )]’=－f ’(x ) 即 －f ’(－x )＝－f ’( x ),
∴ f ’(－x )＝f ’(x )．∴ f ’(x )为偶函数，即命题成立． 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．
例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am /s ，问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？
解析：设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ，则R =ab ,
∴ S ＝πR 2，又 R ’＝a ， ∴ S ’|R =ab =2πR ·R ’(t )|R =ab =2πa 2b .
即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa 2b m 2/s .
例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形
容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图)
解析：设注入水t 分钟后，水深为h 米， 由相似三角形对应过之比可得水面直径为43
h 米，
这时水的体积温V =3
1π(83h )2·h =
3
364
h
π，由于水面高
度h 随时间t 而变化，因此h 是t 的函数h ＝h (t )，由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t ＝V ’h ·h ’t ，∴ V ’t =3
2
39(
)'''64
64
t t
h h h h ππ?=
?，
由假设，注水的速度为 4米3／分． ∴ Vt ’=
2
9'64
t h h π?=4,
即h ’t =
2
4649h
π?,
∴ 当h ＝5米时，水面上升的速度为h ’|h =5=
256225π
(米/分).
5．函数的单调性和极值
1．求函数y ＝e x －x ＋1的单调区间
解析：y ’=(e x －x +1)’=e x －1, 由e x －1>0得x >0，即函数在(0, +∞)上为增函数； 由e x －1<0得x <0，即函数在(－∞，0)上为减函数． ∴ 函数的单增区间为(0，＋∞)，单减区间为(－∞，0).
例2．证明：函数y 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．
解析：∵ y ’=
,
当x ∈(0，1)时，y ’>0，∴ f (x )在(0，1)上递增； 当x ∈(1，2)时，y ’<0，∴ f (x )在(1，2)上递减． 例3．讨论函数y =x －2sin x 在(0，2π)内的单调性.
∵ y ’=1－2cos x , x ∈(0, 2π)，由y ’>0，得3
π 53 π, 即y =f (x )在(3 π, 53 π )内是 单调递增；同理，由y ’<0，得0 或 53 π ∴ y =f (x ) 在(0, 3 π)和( 53 π, 2π)内都是单调递减。 例4．设f (x )ax (a ＞0)，求a 的范围，使函数f (x )在(0，＋∞)上是单 调函数． 解析：f ’(x a -，当x ∈(0, +∞)时， <1, ∵ a ＞0，且f (x )在(0，＋∞)上是单调函数， 则必有f ’(x )<0，∴a ≥1. 即a ≥1时，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调函数． 例5．已知函数f (x )＝lg(2)ax a -(a ＞0且a ≠1)在定义域(0，1)上是减函数，求a 的取值范围． 解析：∵ 定义域要求2－ax >0, x <2 a , 又函数在(0, 1)上都有意义， ∴ 2a ≥1，∴ a ≤2, ∵ y ’=lg(2)lg(2) 1011ln log ()lg 22ax ax a a e a a a ax x a --?? ??-=?? -- ， 由y ’<0，得lg 0 lg 0 或2 20 a a x x a a ?> ? ?? -<->??? ?， 若 0 ->0，则x >2 a >2与定义域x ∈(0, 1)矛盾， ∴ 只有a >1，此时lga >0, 2x a -<0, x <2 a <2, ∴ 1 例6．当x ＞0时，证明不等式 ln(1)1x x x x <+<+ 解析：设f (x )= ln(1)1x x x -++=11ln(1)1x x - -++, 则f ’(x )= 2 2 11(1) 1(1) x x x x - =- +++, 当x >0时，f ’(x ) =2 (1) x x - +<0, 即f (x )在(0，＋∞)上是递减函数， 又当x ＝0时，f (0)＝0．∴ f (x ) ln(1)1x x x -++<0, ∴ ln(1)1x x x <++. 令g (x )＝ln(1＋x )－x , g ’(x )＝1111x x x --= ++ 当x >0时，g ’(x ) 又当x ＝0时，g (x )＝0，∴ g (x ) ln(1)1x x x x <+<+ 例7．右图是函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的图象，试结合图形说明函数的极值情况： 解析：f ’(x )=3x 2+2x －5=(3x +5)(x －1), 令f ’(x )=0, 得x 1=－35 , x 2=1， ∴ x =－3 5 和x ＝1是f (x )可能的极值点， 又由图象可以看出，f (－3 5)比它临近点的函数值大，f (1)比它临近点的函数 值要小， ∴ f (－3 5 )，f (1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点． 例8．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1与x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求f (x )表达式. 解析：∵ f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴ f ’(x )=3ax 2+2bx +c , x ∈(－∞, +∞)， 由已加f (x )在x =一1与x ＝1时有极值． ∴ f ’(1)＝f ’(－1)＝0， 又f (1)＝－1， ∴ 320 3201 a b c a b c a b c ++=?? -+=??++=-? ，解得 a =21, b =0, c =－23. ∴ f (x )=2 1x 3－2 3 x . 例9．已知f (x )=x 2＋c ，且g (x )=f [f (x )]=f (x 2＋1)，设φ(x )＝g (x )－λf (x )，问：是否存在实数λ，使φ(x )在(－∞，－1)上是减函数，并且在(－1，0)上是增函数． 解析：由f [f (x )]＝f ( x 2＋1)得 (x 2＋c )2＋c ＝(x 2＋1)2＋1，得c ＝1， ∴ φ(x )＝g (x )－λf (x )＝x 4＋(2－λ)x 2＋(2－λ)是连续函数， φ’(x )＝2x (2x 2＋2－λ) 由φ(x )在(－∞，－1)上是减函数，且在(－1，0)上是增函数， ∴ φ’(x )|x =－1=φ’(－1)=0，∴ λ=4， 即存在实数λ＝4，使φ(x )满足条件． 说明：本题若用函数单调性定义太繁！ 6．函数的最大值和最小值 例1．求函数f (x )＝5x ＋ . 解析：由30 40x x +??-? ≥≥得 f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区 间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x ) ＝115+ , 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27， ∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27]. 例2．设3 2 3 ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为 － 2 ,求a , b 的值。 解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下： 当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1) ∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小， ∵ f (0)－f (1)＝ 23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )= 2 1(a 3－3a －2)= 2 1(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －2 3a －1+b =－2 3a =2 ∴ a 3 b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求 ()f x x 在(0，a ]上的最大值。 解析：2 ()'()() []'f x f x x f x x x ?-= ，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0， ∴ 2 ()'()() []'f x f x x f x x x ?-= >0，∴ ()f x x 在(0，a ]上是增函数。 ∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ， ① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。 解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]， 当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－31 ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4. 当x ≤－3 1 时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=2 24 2 1011270 3143 x x x x x x x x ? ?-?? -+-< ?? ≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1， 当x ∈(－31 ，0)时，f (x )=27[(x － 154 )2－ 2 154 ]+1 1)= 119 , 当x ≤－31时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1< 119< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+ 3 a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0， ＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。 解析：f ’(x )＝6x － 4 3a x ，令f ’(x )=0得 x ＝1 5()2 a ， 当0 ()2 a 时，f ’(x )＜0，当x >1 5()2 a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝1 5()2 a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20, ∴ 1 2 2 5553 2 55 5 (())3()202 2 ()22 a a a f a a =?+ = ?≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？ 解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2， ∴ h = 2 22S R R ππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h = 2 2 2 2122 S R R SR R R ππππ-?= -, 由V ’(R )=0得 2 1S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大． 例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ． （1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ； （2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上； （3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。 解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ， 由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根． ∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0， f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根， ∵ s （2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()3 3a b s t ab st +? +=????= ?? , ∴ f (s )+f (t )=3 42()() 27 3a b ab a b -++ +, ∵ 3 2 11( )( )()()[()()]2 3273 2 s t a b f f a b ab a b f s f t ++==- ++ += +, ∴ AB 的中点C ( 2 s t +，f ( 2 s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1), 由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点． ∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ], 当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ， 当x 1= 2 a b +时，切线斜率为－ 4 1(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－4 1(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－ 4 1(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 （1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 （1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定 义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解， 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0； 当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数. 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ） 、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ， 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速 度是 . 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 导数大题专题训练 1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2， (Ⅰ)对一切x∈（0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立． 2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有 f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围. 3．设函数 f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数 f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数 f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （Ⅲ）求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数. (Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的 取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值， 即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－ ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．高考数学 导数及其应用的典型例题
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