概率数理统计试题及答案

应用数理统计试题

1．设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N

(1)试给出常数c ,使得()22

12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度;

(2)试给出常数,d 使得

服从t 分布,并指出它的自由度.

2．设总体X 的密度函数为

???<<+=其他,

01

0,)1();(x x x f ααα

其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: (1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量.

3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):

26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α=

4．若总体X 服从正态分布()

22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？

5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一

（1）预测腐蚀时间75s 时，腐蚀深度的范围（α-1＝95%）；

（2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？

6．简述方差分析,主成分分析的基本思想

附：统计查表数据

0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，(1.96)0.975Φ=

参考答案：

1.设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N

(1)试给出常数c ,使得()

22

12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度;

(2)试给出常数,d

使得服从t 分布,并指出它的自由度.

解 (1)由于()()()22

21212~0,1,~0,1, ~2X N X N X X +χ故

因此1c =,1222

X X +服从自由度为2的2χ分布. (2)由于()()~0,11,2,5i X N i = 且独立,则()12~0,2X X N +

()~0,1N

而 ()22223453X X X ++=χ

()~3,t

()~3t

所以d =自由度为3.

2. 设总体X 的密度函数为

???<<+=其他,

01

0,)1();(x x x f ααα

其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求:

(1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量. 解 (1) ?

+∞

∞

-==x x xf EX d );(α

?

++=++10

1

2

1d )1(ααααx x

由矩估计的定义知

∑===++n

i i X n X 1

121?αα

从而 )2?(1?+=+αα

X 于是α的矩估计为 X

X --=11

2?α

(2) 似然函数为

∏∏∏===+=+==n

i n

i i n

i n i i x x x f L 1

1

1

)

1()1();()(αα

αααα

∑=++=n

i i x L L 1

ln )1(ln )(ln ααα

令 0ln 1)(ln 1

=++=??∑=n

i i x n L ααα

得 1ln ?1

--=∑=n

i i

x

n

α

所以α的最大似然估计量为 1ln ?1

--=∑=n

i i

x

n

α

3.有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):

26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α= 解 00:23.8H μμ==，10:H μμ≠ 依题意有24.2x =，

()2131.62n s -=，

2.274s =

由于2

σ

未知，故选用()0

1x T t n μ-=

- 为统计量，故拒绝域 为:()()0.0252

16 2.4469T t n t α>-==.

而23.8

0.4654x t -=

=，故t T <. 因此接受0H ，即新药能够说明疗效.

4．若总体X 服从正态分布()

22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}

95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？

解 由题设易知 ??

? ??n N X 44.1,

1~，()1,0~2.01

N n X - 故

{}??

?

???≤-=≤≤≤n n X P X P 2.01.02

.011.19.095.0，

()

15.02-Φ=n

即 ()

975.05.0≥Φn ，3664.15,96.15.0≥≥n n

因此样本容量n 最少应取为16。

5．

（1）求y 关于x 的回归方程； （2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？ 解 （1）先求出回归方程，由n ＝11易算得

∑∑∑===36750

,214,5102i i i

x y x

∑∑==13910,54222

i i i y x y

故 11510111==

∑i x x 11

214111==∑i

y y 又 55.13104)11

510(113675022

2=-=-=∑x n x l i xx

18.3988)11214

)(11510(1113910=-=-=∑y x n y x l i i xy

73.1258)11

214(11154222

22=-=-=∑y n y l i yy

304.055.13104/18.3988?===xx

xy l l b

36.511

510304.011214??=?-=-=x b y a

故腐蚀深度y 对腐蚀时间x 的回归直线为 x y

304.036.5?+= （2）当要求腐蚀刻度在10～20um 之间时，近似地有

29.28)36.596.102.210(304.01

)??(121*=-?+=-+'='-ασαu y b x

13.35)36.596.102.220(304.01

)??(12

1*=-?-=--''=''-ασαU y b x 即腐蚀时间应控制在28.28s 到35.13s 之间，就能得到10~20um 之间的腐蚀刻度。

概率论与数理统计公式表

第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∞ = ∞ = = 1 1i i i i A A B A B A =，B A B A =

概率论与数理统计复习题带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌 机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 ++）。 （AB AC BC 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)=（）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机 被击中的概率为（）； A-)=（）10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这三 台机器中最多有一台发生故障的概率为（）。 A)=（）; 12.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(B A)=（） 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B=（ S ） 15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 ++） （ABC ABC ABC

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题（每空2分，共20分） 1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）. 5、已知随机变量X ～N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题（每题12分，共48分） 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ

概率论与数理统计 重要公式

一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()(

一般正态分布的概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ ， 连续型： ①分布函数法， ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律：(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：?? ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( 性质：2(,) (,)1, (,),F x y F f x y x y ?+∞+∞==??((,))(,)G P x y G f x y dxdy ∈=?? ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()(' x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题 一、填空题 1．若()0.4,()0.5,()0.4,P A P B P A B ===则 ()____P A B =U . 2．设2(),(),E X D x μσ==由切比雪夫不等式知{}22P X μσμσ-<<+≥ . 3．设总体),(~2 σμN X ，2σ未知，检验假设00:μμ=H 的检验统计量为 。 4．已知，A , B 两个事件满足条件)()(B A P AB P Y =，且p A P =)(，则=)(B P 。 5．设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，如果已知A 至少出现一次的概率等于27 19 ，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 6．同时抛掷3枚硬币，以X 表示出正面的个数，则X 的概率分布为 。 7．设随机变量X 的概率密度为? ??<<=,,0, 10,2)(其他x x x f 用Y 表示对X 的3次独立重复观 察中事件? ?? ? ??≤21X 出现的次数，则{}==2Y P 。 8．设随机变量X ～),2(2 σN ，且{}3.042=<>=+-,, 0,1,1,),(21其他y x x e y x f y 则=)(x f X 。 12．设随机变量X 的分布律为 =)(2X E 。 13．设随机变量X 的概率密度为 ?????+∞<<=其他, 01,)(3 x x A x f 则A = 。 14．设)4,1(~N X ，则=)(X E ，=)(X D 。

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题 九、最大似然估计 例：设总体X 的概率密度为 ?? ?<<+=其他 ,0 1 0,)1()(x x x f θθ 其中未知参数θ1->，n X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求θ的估计量。 解：设似然函数),,2,1;1 0()1()(1 n i x x L i n i i =<<+=∏=θ θθ 对此式取对数，即： ∑=++=n i i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ且∑=++=n i i x n d L d 1 ln 1ln θθ 令 ,0ln =θ d L d 可得∑=--=n i i x n 1 ln 1?θ ，此即θ的极大似然估计量。 例：设总体X 的概率密度为 )0,0(,0,00,)(1>>?? ???≤>=--a x x e ax x f a x a λλλ 据来自总体X 的简单随机样本),,,(21n X X X ，求未知参数λ的最大似然估计量。（同步39页三、3） 解：由?? ???≤>=--0,00 ,)(~1x x e ax x f X a x a λλ 得总体X 的样本),,,(21n X X X 的似然函数 ∑∑∑=-=-=--==n i a i n i a i n x n i a i n x x a e ax x x x L a i 1 11 1 121]exp[)(),,,,(λλλλλ 再取对数得： ∑∑==-+-=n i i n i a i x a x a n L 1 1 )ln()1()ln(ln λ λ

再求L ln 对λ的导数：∑=-=n i a i x a an d L d 1ln λλ 令0ln 1 =-=∑=n i a i x a an d L d λλ，得∑== n i a i x n 1 λ 所以未知参数λ的最大似然估计量为 ∑=n i a i x n 1 。 练习：设总体X 的密度函数为 )0(01 0),(1???><<=-ααααothers x x x f X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5） 十、区间估计 总体X 服从正态分布N (μ,σ2), X 1,X 2,…,X n 为X 的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间 2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间 3：求σ2置信度为1-α的置信区间 例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：43.18,67.1622 ==s x 。求该校女生平均身高的95％的置信区间。 解： )1(~--= n t n S u X T ,由样本数据得05.0,43.18,67.162,102====αs x n 查表得：t 0.05(?)=2.2622,故平均身高的 95％的置信区间 为 (X u X u α α -+))1(,) 1((n S n t X n S n t X -+--αα) S )1n (,S )1n (() 1n (2 122 ) 1n (2 22-----ααχ χ

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

《概率论与数理统计》期末考试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案 一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为 1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为： ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ??

概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题 一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为 解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155 {(,)|,1,,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= =L 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ?＝ 。 解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p :， 3191{1}1{0}1(1),273 P X P X p p ≥=-==--= ∴= 9.设(),0X P λλ>:，则X 的分布律为

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计复习题讲义

概率统计练习题 一、填空题 1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。 2、设A 、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A ∣B )=0.6，则P(A ∪B)= 0.88 。 3、设X 、Y 相互独立，X ~)3,0(U ,Y 的概率密度为???? ?>=-其它,00 ,41)(41x e x f x ，则 (253)E X Y -+= -14 ，(234)D X Y -+= 147 。 4、设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为 0.875 . 5、已知()3E X =，()D X =2，由切比雪夫不等式估计概率(34)P X -≥≤ 0.125 。 6、设(100,0.2)X B ，则概率(P 20-X )4≤≈ 0.68 ()84.0)1(=Φ。 7.设X 的分布函数 ?????≥-<=1 ,1 11, 0)(2 x x x x F ，则=)(X E 2 8.已知随机变量X ~ ),(2 σμN ，且)1()5(,5.0)2(-Φ=≥=≥X P X P ，则=μ2，=2σ9 。 9. 已知()0.6P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值为0.6，最小值为0.4 。 10、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有 )(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。 11、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5， 则Z ～ N(-2, 25) 。 12、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 13、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 14、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 15、设（X ，Y ）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b 使 {}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。 16、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，则密码能被译 出的概率是 2/3。