9.4 (2)三阶行列式 按一行(或一列)展开
一、教学内容分析
三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法 则,学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的 内在联系,同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法, 这个 法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的 研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究 三阶行列式按一行(或一列)展开法则.
二、教学目标设计
⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念;
⑵ 经历实验、分析的数学探究,逐步归纳和掌握代数余子式的 符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法,体验研究数 学的一般方法;
⑶体会用简单(二阶行列式)刻画复杂(三阶行列式)、将复杂 问题简单化的数学思想. 三、 教学重点及难点
三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定. 四、 教学过程设计
一、情景引入
【实验探究1】
(1)将下列行列式按对角线展开:
(2)对比、分析以上几个行列式的展开式,你能将三阶行列式
[说明]
b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 2
92 b 2 33 b 3
b i C i b 3 C 3
a i
b i a 2 b 2 93 b 3
C i C 2
C 3
a i a
2
a 3
b i
c i
b 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗?
b 3 C 3
a 3
b s C 3
(i)请学生展开几个行列式的主要目的是:巩固复习前面学习的 知识;同时,有意识地设计这几个行列式的展开,有助于学生发现三 a i b i C,
a ?
b ? C ?
a 3
b 3 C 3
请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式
的?
a i bl C i
开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b? a s b ?? a z b? a i b s C ?变形为:
与相应的二阶行列式间的关系.
阶行列式 (2)将二阶行列式
a i a ? a 3
b i b ? b 3 C i
C ? C 3
a i
b i C i
表示成几个含有二阶行列式运算的 式子,结果可能不唯一,可以有a 2 b 2 C 2
a i
a 3
b 3 C 3
b ? C ?
b
3
C
3
b i
a
2 a
3
C 2 C
3
C i a ? b ?
a
3
b
3
等等.
二、学习新课
1.知识解析
在刚才的实验中,将三阶行列式 阶行列式运算的式子,主要有:
a i a 2 a 3
b i C i
b ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3
a
i
a ? a 3
a
i a
2 a
3
a i a ? a 3
b
i C
i b ?
C ? b 3 C 3 b
i
C
i b ? C ?
b 3 C 3 b i C i
b ? C ? b 3 C 3
b ? C ? b i a ? C ?
a ?
b ?
a i
b 3 C 3 a 3 C 3 C i
a 3
b 3
b ? C ? bl C i
b i C i
a i
b 3 C 3
a
?
a
3
C 3
a
3
b ? C ? a ? C ?
a i C i
a i C i
b ?
b 3
a 3 C 3
a
3
C
3
a ? C ?
等等. 事实上,以
ai
a
2
a 3
bl b 2 b 3 C i C ? C 3
a i
b ?
b
3
C
2 C 3
bl
a
2 a
3
C
2 C
3
C i
a ?
b ?
a
3
b
3
为例,先将展
b
象这样的展开,我们称之为三阶行列式按第一行展开.类似的, 我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开. 从上述研究,我们不难 发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个 元素的代数余子式.不难发现,要确定某元素的代数余子式,我们可 以先确定其余子式,然后确定代数余子式符号,而最主要的就是其符 号的确定.为了让学生有较深刻的体会,教师可以组织学生完成实验 探究2.
【实验探究2]
请学生结合刚才确定a i , b i , C i 的余子式和代数余子式的方法, 完成下表,并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法. 【工作11 填写下表:
a , bl C i a 2
b 2 C 2 a 3 b a C 3
(a i b 2C 3 a i b 3C 2)?be a z be) ?dG a s b zG ),然后分别提取
公因式,可以得到 a , b i C i
a :
b 2 C 2 a 3 b 3 C 3
a i 饷3
b 3C 2) h (a 3C 2 a 2C 3) C i (a 2b 3 a s b ?)
再利用实验中已有的展开式 d C 2
d C 3 a 2 a 3
a 2
a
3
b 2C 3 b 3C 2 a 2C 3
azd a 3b 2 C
2
C 3 b 2
b 3
从而很容易就得到结果了.
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素 a i , b i , C,的余子式,
添上相应的符号(正号省略),如
b 2 C 2 b
3
C
3
B 1
a
2
q
a
3 C
3
a 2
b 2 a 3 b 3
A 、
B i 、
C i 分别叫做元素a ,, bl , C ,的代数余子式.于是三阶行列式可 以表示
为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和:
a i h G a 2
b 2 C 2
a 3
b 3 C e
a i
b 2 C 2 a C 3
a : C 2
a
3
C
3
C i
a 2
b 2
a 3 t h
【工作21
总结代数余子式的确定方法:
[说明]
(1)以上实验主要由学生合作完成,实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程;
(2)教师可以将学生分成数个学习小组,合作实验研究,并交流研究结果,最后由教师总结.
(3)通过上述研究,教师要引导学生发现:确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式;而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行,第j列)有关,其代数余子式的正负号是
“ (1) j”.
一般地,三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和.其中,最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符
2 .例题解析
例题1.按要求计算行列式:
(1) 按第一行展开; (2) 按第一列展开.
[说明]
(1) 一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开,其中,最 关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式 (尤 其是其符号);
(2) 当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中,0的个数较 (或该列),这样计算往往比较方便.
例题2.计算: (1)
[说明]
(1) 设计这样一组例题主要有两个目的:一,考查学生的逆向思 维能力;二,为后续知识的学习做准备;
(2) 由例题2(2)计算结果,我们可以发现:
如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列) 的元素的代数余子式对应相乘,那么它们的乘积之和为零;
如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同,那么 这个行列式等于零.
3 .问题拓展
思考:我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则, 为 什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢?你觉得这有什么意 义吗? [说明]
一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式 的运算,这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常 用的方法.
多,我们往往将行列式按照该行 b
2
b 3 K 参考答案〗 ⑵a 2 q
C 3 (1)0
b 2
a 2 a 3
C 2
a
2
b
2
b 3
(2)0
只要学生能领悟到这一点,马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算.
三、巩固练习
教材第99页,练习9.4 (2).
四、课堂小结
(1)余子式、代数余子式的概念;
(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法.
五、作业布置
根据学生的具体情况,对习题册中的问题进行增减.
五、教学设计说明
本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法,从内容上看,这部分内容与上节课一样,同样概念性比较强,同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课,但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法.单纯的死记硬背不是好的学习方法,理解比记忆重要,能力比知识的本身重要.我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想,从而逐步获得新知,让学生体验数学学习的乐趣,感悟数学研究的一般方法.