二次函数平移变换
二次函数配方问题 如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点 式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ） （h, k ） （1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O
二次函数平移 一、本节学习指导 平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变 成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较 从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
二次函数的平移规律
活动课二次函数的平移规律 【教学目标】 1、借助几何画板探究如何通过y=ax2平移得到y=ax2+k的图象和y=a(x-h)2的图像； 2、思考如何通过y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的图像； 3、归纳猜想得出平移规律。 【重点难点】 探究理解平移规律是教学的重点，也是教学的难点。 【教学过程】 一、探究归纳 利用几何画板画出二次函数y=2x2和y=2x2－1及y=2（x－1）2的图象，并观察三个图象的位置关系？ 1、利用几何画板移动y=2x2向上和向下平移1个单位，观察其中y k的变化规律（关注其正负值） 抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？ 可以发现后者可以由前者向上或向下平移｜k｜个单位得到的，当k>0时向上平移，当k<0时，向下平移。 2、利用几何画板移动y=2x2分别向左和向右平移1个单位，观察其中x k的变化规律（关注其正负值） 可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与分别向左和向右平移 ｜k｜个单位得到。当h>0时，向右平移，当h<0时，向左平移。
3、归纳猜想：如何通过平移y=2x 2得到y=2（x －1）2+1的图像。 又如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像。 引出平移规律。 二、知识巩固 例1、抛物线y=ax 2+k 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x 2+3，它是由抛物线y=-5x 2向上平移3个单位得到的. 教师 ①点拨解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+k 的图象与性质来解，a 值确定抛物线的形状大小及开口方向，k 值确定顶点的位置. ②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长) 例2 已知抛物线y=ax 2+k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2，试求a 、k 的值. 解:根据题意，得3,2 2.a k =-??-=?解得3,4. a k =-??=? 此题可以根据规律直接求出a 、k. 三、课堂小结 1.本节课探究得出了二次函数的平移规律；你知道如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像吗？ 三、作业 不画图象，回答下列问题. ①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成是由函数y=－2x 2的图象作怎样
一次函数图象的平移规律
一次函数图象平移的探究 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线 y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移， 是指函数图象的上下平移，而非左右平移． 以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？ 【探究一】函数图像的上下平移 我们先从一些具体的函数关系开始. 问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1． 问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现： 将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？) 我们再来探究一般情况. 问题3 已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m． 问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到： 直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m， 直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m， 这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律． 这个规律可以简记为：函数值：上加下减 以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移
导数与函数的切线及函数零点问题专题
导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点. 真 题 感 悟 (2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1). (1)设a ＝2，b ＝1 2. ①求方程f (x )＝2的根； ②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x ＋? ?? ??12x ＝2， 即2x ＋1 2 x ＝2.∴(2x )2－2·2x ＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0. ②f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ＝2x ＋2－x ， 令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2， 故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4 t ≥2 t ·4 t ＝4(当且仅当t ＝2时等号成立)， ∴m ≤? ? ???t ＋4t min ＝4，即m 的最大值为4. (2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0. g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2，
g′(x)＝a x ln a＋b x ln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点， ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意g(x)有且仅有一个零点， 则g(x)的极值一定为0， 而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0. ∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x )，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x )解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x ，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.
利用导数解决函数零点问题
利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f
(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--<导数和函数零点问题
导数和函数零点问题 Prepared on 24 November 2020
导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点， 求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值； （2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围； （3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性； （2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根 若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。 （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值； （2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程 在求函数)(x f 的解析式； （3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-=
导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)
函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间 []8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=． 所以12341248 x x x x +++=-+=-． 6
【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个 相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69): 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：
超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
利用导数解决函数零点问题
1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上 面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f
2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一 的极大值点0x ,且2022)(--<一次函数平移的规律
一次函数平移的规律： 我们知道，一个点作上下平移时，是横坐标不变，纵坐标发生变化。当纵坐标变大时，点就向上平移了；当纵坐标变小时，点就向下平移了。同理，一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。当横坐标变大时，点向右平移，当横坐标变小时，点就向左平移了。由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，我们只须抓住一个点的变化去理解就行了。 当y=kx+b中只是b发生变化，但kx不变化时，就说明图上的一个特殊点（0，b）在发生变化，b增加多少个单位，就说明点(0,b)向上平移了多少个单位；b减少多少个单位，就说明点(0,b)向下平移了多少个单位。这时对应的一次函数的图象也就相同的向上或向下平移了多少个单位。因此，y=kx+b向上平移m个单位后就得到y=kx+(b+m)，向下平移了m个单位就得到y=kx+(b－m) y=kx+b左右平移又是怎么样的一个规律呢？ 我们不防将方程变一下形，得到 x=y/k－b/k 由左右平移不改变纵坐标大小，我们只要抓住图象在横轴上的截距－b/k发生了变化就行了 向右平移横截距增大，向左平移横截距减小，这样我们就可以得到，如果－b/k增加了m个单位，图象就向右移动了m个单位，就得到 x=y/k-b/k+m 化成一般式就得到y=kx+b－km 也可化为y=k(x-m)+b 同理，如果一次函数的图形向左平移m个单位，那么图象在x轴上的截距就变小m个单位，而这时纵坐标保持和原来一样。这时的方程就是在 x=y/k-b/k 右边的-b/k上减去m就行了，即 x=y/k－b/k－m 化成一般式，得y=kx+b+km 也可化为y=k(x+m)+b 发现了什么规律了吗？ 从上面左右平移m个单位，即在横轴上的截距减小或增大m个单位得到的y=kx+b+km和y=kx+b－km我们看到，在y轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加m个单位，而是横截距每增大m个单位，纵截距就反而减小km个单位；横截距每减小m个单位，纵截距反而增加km个单位。 我们把以上规律写成口诀：“上加下减，左加右减” 这个口诀都是针对纵截距的变化说的，意思是说，上下平移m个单位是，直接在b上加上或减去m，左右平移m个单位时，要在b上加上或减去km，这样就得到平移后的解析式了。 如果觉得这样理解不好记，我们还可以这样来记，对y=kx+b上下平移m个单位，直接在b上作加减m，得y=kx+(b+m)或y=kx+(b－m),左右平移m个单位，直接对x进行加减m就行了,得到y=k(x+m)+b或y=k(x－m)+b。
导数和函数零点问题
导数和函数零点问题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点， 求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值； （2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围； （3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性； （2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根 若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。 （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值； （2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程 在求函数)(x f 的解析式； （3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-= （1）求函数)(x f 的解析式；
第16讲-导数与函数的零点(解析版)
第16讲-导数与函数的零点 一、 经典例题 考点一 判断零点的个数 【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数． 解 (1)∵ f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2， ∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2 ，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) 极大值 极小值 当03时，g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增， 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g (x )仅有1个零点． 规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g (x )(要求g ′(x )易求，g ′(x )＝0可解)，转化确定g (x )的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g (x )的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
一次函数图象“平移”规律
适用八年级 一次函数图象“平移”规律 函数的图象及其解析式，是从“形”与“数”两个方面反映函数的性质，也是初中数学中数形结合思想方法的重要体现．在平面直角坐标系内，当一次函数图象发生平移（平行移动）时与之相对应的解析式也随之会改变，本文就其变化规律归纳如下，仅供同学们学习时参考． 直线的平移与其解析式y kx b k =+≠()0的关系： ① 直线y kx b k =+≠()0平移时，系数k 的值保持不变． ② 直线y kx b k =+≠()0向上或向下平移m （m >0）个单位时，解析式变为 y kx b m =++或y kx b m =+-，这时可简记为“上加（＋） ，下减（－）”． ③ 直线y kx b k =+≠()0向左或向右平移m （m >0）个单位时，解析式变为 y k x m b =++()或y k x m b =-+()，这时可简记为“左加（＋） ，右减（－）”． 例1．（2008年上海市）在图1，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像， 那么这个一次函数的解析式是 ． 【分析】通过观察图象可求出直线OA 的解析式，再根据上面平移与解 析式之间的关系进行解答． 解：设OA 的解析式为：y kx =，因OA 过A （2，4）， 所以4＝2k ,解得k ＝2， 所以OA 的解析式为：2y x =，上移一个单位后， 解析式为：21y x =+． 例2．把直线y x =-+21平行移动后过点A ()-42，，求平移后的直线解析式，并说明是向上还是向下平移几个单位得到的． 【分析】因知道直线平移过点A ()-42，，而平移系数k 不改变．所以可设解析式为：y x b =-+2，进而求b ． 解析：根据题意可设所求的直线为：y x b =-+2； 由A ()-42，在此直线上，得 2＝－2×(－4)＋b ，解得b ＝－6． 故所求直线为y x =--26， 由y x =-+21得y x =-+-217知可将原直线向下平移7个单位得到． 请同学们再思考一下：若直线y x =-+21左右平行移动后能否过点A ()-42，呢？请说明理由． 参考答案：设y x m =-++21()，由A ()-42，，求得m ＝72 ．所以由y x =-+21得26y x =--知可将原直线向左平移72个单位．
二次函数平移规律
二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，
再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y
