学案：排列与组合含答案

学案64 排列与组合

导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题．

自主梳理

1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．

排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．

2．排列数公式的两种形式：(1)A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A m n＝n！

－！

，其中公

式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A n n＝______.

3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．

4．组合数公式的两种形式：

(1)C m n＝A m n

A m m

＝

－－－m＋

－

；

(2)C m n＝n！

m！－！，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤

n

2

的

情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．

5．C m n＝C k n?______________，m、k∈N，n∈N*.

6．组合数的两个性质：(1)C m n＝__________，(2)C m n＋1＝____________________.

自我检测

1．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27

2．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有( )

A．24种B．48种C．72种D．96种

3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )

A．140种B．84种C．70种D．35种

4．(2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有( ) A．576种B．1 152种C．720种D．1 440种

5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( ) A．12种B．18种C．36种D．54种

6．(2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )

A ．30种

B ．36种

C ．42种

D ．48种

探究点一 含排列数、组合数的方程或不等式

例1 (1)求等式C 5n －1＋C 3

n －3C 3

n －3＝34

5

中的n 值；

(2)求不等式1C 3n －1C 4n <2

C 5n

中n 的解集．

变式迁移1 (1)解方程：A 42x ＋1＝140A 3

x ；

(2)解不等式：A x 9>6A x －2

6.

探究点二 排列应用题

例2 (2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；

(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．

变式迁移2 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．

探究点三组合应用题

例3 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)队长中至少有1人参加；

(4)既要有队长，又要有女运动员．

变式迁移3 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是( )

A．C28A23B．C28A66

C．C28A26D．C28A25

1．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．

2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．

3．关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”

排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2009·湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A ．85

B ．56

C ．49

D ．28

2．(2010·全国Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )

A ．30种

B ．35种

C ．42种

D ．48种

3．(2010·重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )

A ．504种

B ．960种

C ．1 008种

D ．1 108种

4．(2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有( )

A ．13种

B ．14种

C ．15种

D ．16种

5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是( ) A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)

7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场比赛．

8．(2011·马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

三、解答题(共38分)

9．(12分)(1)计算C 98

100＋C199200；

(2)求C 28－n 3n ＋C 2n

21－n 的值；

(3)求证：C m

n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝n n －m

C m n －1.

10．(12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文课代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；

(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

11．(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？

学案64 排列与组合

自主梳理

1．从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数 2.①n·(n－1)·…·2·1②1③n！

3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数C m n 5.m＝k或m＋k＝n 6.(1)C n－m n(2)C m n＋C m－1n

自我检测

1．A[不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A29种方法，所以共有A88A29种排法．]

2．A[2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A22种不同排法，让两件绘画作品插空有A23种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有2A22A23＝24(种)．] 3．C[从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有C24C15＋C14C25＝70(种)选法．]

4．B[女生论文有A44种展览顺序，男生论文也有A44种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有A22种方法，故总的展览顺序有A44A44A22＝1 152(种)．]

5．B[先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，

所以共有C13C24C22＝18(种)方法．]

6．C[若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C14种选法，然后14日、15日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；

若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C 14C 13C 2

2种安排方法，共有12(种)；

若甲、乙都在15日值班，则共有C 24C 2

2＝6(种)安排方法． 所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．] 课堂活动区

例1 解题导引 (1)在解有关A m n 、C m n 的方程或不等式时要注意运用n≥m 且m 、n ∈N *

的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算．注意最后结果都需要检验．

解 (1)原方程可变形为 C 5n －1C 3n －3＋1＝

195，C 5n －1＝145

C 3

n －3， 即n －n －n －n －n

－5！

＝145·n －3n －n －3！

， 化简整理得n 2

－3n －54＝0，

解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)， ∴n ＝9.

(2)由6n n －n －－24

n n －n －n －

<240

n n －n －n －n －

， 可得n 2

－11n －12<0，解得－1

又n ∈N *

且n ≥5，

∴n ∈{5,6,7,8,9,10,11}．

变式迁移1 解 (1)根据原方程，x (x ∈N *

)应满足?

????

2x ＋1≥4，x ≥3，

解得x ≥3.根据排列数公式，

原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2) ＝140x ·(x －1)·(x －2)，

因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)， 得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，

即4x 2

－35x ＋69＝0，

解得x ＝3或x ＝234

(x ∈N *

，应舍去)．

所以原方程的解为x ＝3.

(2)根据原不等式，x (x ∈N *

)应满足?????

x ≤9，

x －2≤6，

x >0，

x －2>0，

故26A x －2

6，

得9！－x ！>6×6！－x ！，所以849－x >1，

所以－75

故2

例 2 解题导引 (1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数．(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一

般用直排处理的方法．(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法．

解 (1)方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 1

4种站

法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A 5

5种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 14·A 5

5＝480(种)站法．

方法二 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 5

5种站法，从总数中减去

这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A 66－2A 5

5＝480(种)站法．

(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A 5

5种站法，再把甲、乙进行全排列，有A 22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 55·A 2

2＝240(种)站法．

(3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有A 44种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A 2

5种站法，

故共有A 44·A 2

5＝480(种)站法．

(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A 2

4种；然后

把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A 3

3种站法；最后对甲、乙

进行排列，有A 2

2种站法，

故共有A 24·A 33·A 2

2＝144(种)站法．

(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A 2

2种站法，再让其他4人在中间位置作全

排列，有A 44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 22·A 4

4＝48(种)站法．

(6)甲在左端的站法有A 55种站法，乙在右端的站法有A 5

5种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 44种站法，共有A 66－2A 55＋A 4

4＝504(种)站法．

变式迁移2 解 依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2A 22·A 2

2＝8(种)方案，再

向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A 1

5种插法，

∴不同的安排方案共有2A 22·A 22·A 1

5＝40(种)．

例3 解题导引 (1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．

(2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题．

解 (1)第一步：选3名男运动员，有C 3

6种选法．

第二步：选2名女运动员，有C 2

4种选法．

共有C 36·C 2

4＝120(种)选法．

(2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．

从10人中任选5人，有C 510种选法，其中全是男运动员的选法有C 5

6种．

所以“至少有1名女运动员”的选法有C 510－C 5

6＝246(种)．

(3)从10人中任选5人，有C 5

10种选法．

其中不选队长的方法有C 5

8种．

所以“至少1名队长”的选法有C 510－C 5

8＝196(种)．

(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C 4

9种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C 48种选法．其中不含女运动员的选法有C 45种，所以不选女队长时共有C 48－C 4

5种选法．故既

要有队长，又要有女运动员的选法有C 49＋C 48－C 4

5＝191(种)．

变式迁移3 C [从后排8人中选2人有C 2

8种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6

种，故为A 26.∴所求总数为C 28A 2

6.]

课后练习区

1．C [丙不入选的选法有C 3

9＝9×8×73×2×1＝84(种)，

甲乙丙都不入选的选法有C 3

7＝7×6×53×2×1

＝35(种)．

所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49(种)．]

2．A [方法一 可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1

门，共有C 13C 24＋C 23C 1

4＝18＋12＝30(种)选法．

方法二 总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 3

4＝4(种)，故有30种选法．]

3．C [不考虑丙、丁的情况共有A 22A 6

6＝1 440(种)排法．

在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有A 22A 5

5＝240(种)排法，同理，丁排10月7日

也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有A 22A 4

4＝48(种)排法，则满足条件的排

法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 4

4＝1 008(种)．]

4．C [当选用信息量为4的网线时有C 25种；当选用信息量为3的网线时有C 12C 1

2＋1种，共C 25＋C 12C 1

2＋1＝15(种)．]

5．B [五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有A 2

2种方法，这两人中有3个空，按甲在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有2种插空法，乙插入后有3个空供丙插，

因此有A 22·C 12·C 12·C 1

3＝24(种)，当甲在中间时，乙有2种插法，乙插入后也有3个空供丙

插，所以共有A 22·C 12·C 1

3＝12(种)，由分类加法计数原理得：共有24＋12＝36(种)．]

6．14

解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：

“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 1

4＝4(个)四位数．

“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 2

4＝6(个)四位数．

“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 3

4＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数． 7．16

解析 每组有C 24场比赛，两组共有2C 2

4场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，

决出冠军和第3名各1场，所以共有2C 2

4＋2＋1＋1＝16(场)．

8．45

解析 从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、

女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数C 3

3，再减去只选派男同志的方案数C 35，合理的选派方案共有C 38－C 33－C 3

5＝45(种)．

9．(1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1

200 ＝100×992

＋200＝4 950＋200＝5 150.(4分)

(2)解 ?

??

??

0≤28－n ≤3n ，

0≤2n ≤21－n ，即?

??

??

7≤n ≤28，

0≤n ≤7，

又n ∈N *

，∴n ＝7，∴C 28－n

3n ＋C 2n

21－n ＝2.(8分)

(3)证明 ∵m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·n ＋！

m ＋！n －m ！

＝n ！m ！n －m ！＝C m

n ；(10分) n n －m C m n －1＝n n －m ·n －！m ！n －1－m ！

＝n ！m ！n －m ！

＝C m

n ，(11分) ∴C m

n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝n n －m

C m n －1.(12分)

10．解 (1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C 35C 23＋C 45C 1

3种，

后排有A 5

5种，

共有(C 35C 23＋C 45C 13)·A 5

5＝5 400(种)．(3分)

(2)除去该女生后，先取后排C 47·A 4

4＝840(种)．(6分) (3)先取后排，但先安排该男生，

有C 47·C 14·A 4

4＝3 360(种)．(9分)

(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 1

3种，其余3人

全排有A 3

3种，

共有C 36·C 13·A 3

3＝360(种)．(12分)

11．解 从1,3,5,7,9五个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出3个，

排成五位数，有C 25C 34A 5

5＝10×4×120＝4 800个．(6分)

从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有

C25C24C14A44＝10×6×4×24＝5 760个．(12分)

由分类计数原理可知这样的五位数共有

C25C34A55＋C25C24C14A44＝10 560个. (14分)

排列组合教案

数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排

列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？

组合学导学案

第一章 计数原理 1.3组合 1.3.1组合 学习目标：1.理解并掌握组合,组合数的概念及意义; 2.掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单组合问题 学习重点：组合数计算公式以及性质 学习难点：组合数计算公式以及性质的应用 一 自主学习 问题1:(1)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加某天的上,下午活动,有多少种不同的选法? (2)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加一项活动,有多少种不同的选法? 问题2:有5名体操运动员参加2008年北京奥运会选拔赛.(1)从中选出3名参加双杠,吊环,鞍马三个单项比赛,每项仅1人,有几种不同的选拔结果?(2)从中选出3名参加吊环比赛,有几种不同的选拔结果? 1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导： （1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ， 根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ?． （2）组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 4、组合数的性质（1）：m n n m n C C -=．

集合---排列组合

职 高 数 学 单 元 测 试 集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知aa 13. 6名护士，3名医生分派到三所不同的学校为学生体检，每校两名护士和一名 医生，则有 种不同的分派方法。 14.已知函数 x a y log 3=的图象过点)9 1 3(，，则a= 二．选择填空题：（每小题3分，共30分） 15．从甲地到乙地，一天中有两班火车，五班汽车开出，则在一天中不同的乘车方 法有 种 A 25 B 52 C 10 D 7 16．某地有4个不同的邮筒，现将三封信投放到邮筒中，则不同的投法有 种 A 34 B 43 C P 43 D C 43 17．4×5×6×……×(n-1)×n ×(n+1)= A C n+1n-3 B (n+1)!-3! C P n+1n-2 D P n+1n-3 18．已知C 202x-7=C 20x ，则x= A 9 B 7 C 9或7 D 5或9 19．三数m-1，2m ，4成等差，则m= A 0 B 1 C 2 D 3 20．等差数列｛a n ｝中，a 3+a 7=20，则S 9= A 9 B 20 C 90 D 180 21．等比数列：-1，2.......的第8项为 A 256 B -256 C -128 D 128 22．已知等差数列-1，1……则此数列的S 10= A 70 B 80 C 90 D 100 23．函数13sin()25 y x π =--周期和最大值分别为 A 2,3π B ,3π C 4,3π D 3 2,2 π 24.已知平面上有八个点，其中有四点在同一直线上，此外再无三点共线情形，则 此八点可组成 个三角形。 A 50 B 52 C 54 D 56 三．解答题(25、26、27小题每小题6分，28、29小题，每小题7分，共32分) 25.计算：C 63 +C 62 -P 52 +2-1 +lg2-lg20+cos600

《1.2排列与组合》习题课导学案

《§1.2 排列与组合》习题课导学案. 班级组别组名姓名【学习目标】 1.能运用排列组合知识解决简单实际问题 2.能结合具体情况，灵活选用常见方法解决实际问题 【重点难点】 重点：运用排列组合知识解决实际问题 难点：解题策略、解题方法的选择 【学法指导】 1．结合具体问题，归纳题型特点，选择解题方法 2．比较区别，找准不同问题情境的联系与区别 【知识链接】 排列组合的定义，排列数组合数公式 【学习过程】 练1用0,1,2,3,4,5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？

知识点二：相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题) 例2．7位同学站成一排， (1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ （3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？ 知识点三：选排问题先取后排 例3．（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 练2（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学，每人各得2本，有多少种分法？ （2）把6个不同的小球全部放到5个有编号的小盒中，每小盒至少有1个小球，有多少种方法？ （3）把6个相同的小球全部放到5个有编号的小盒中，每小盒至少有1个小球，有多少种方法？ (4) 某校准备组建一个10人的篮球队，由高一的6个班学生组成，要求每班至少1人，则名额的分配方案有多少种？

排列 导学案

排列（导学案） 学习目标： 知识与技能：理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有 排列. 过程与方法：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归” 的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 情感态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题. 教学重点：理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列. 教学难点：掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想. 学习过程 一．合作探究 学习探究一： 1、排列的定义： 几点说明： （1）元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。 （2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 （3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 （4）m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 （5）为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。2、小练习 下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信 （7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？ 学习探究二： 1、排列数： 2、“排列”和“排列数”有什么区别？ 3、排列数公式（1）： 排列数公式（2）： 几点说明：

(完整版)人教版高中数学《排列组合》教案

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

排列组合公式(全)教程文件

排列组合公式(全)

排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！

排列与组合的综合应用.

高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用 教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解 法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。 教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球

的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排 列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。 二.典例分析 【题型一】“分配” 、“分组”问题 例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;

数学竞赛教案讲义排列组合与概率

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0 n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6） k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。

排列组合复习学案精编WORD版

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排列组合复习学案 1 重复排列“求幂运算” 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。 例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（） 2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。 例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？ 。 3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例1.（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。

如：7个人排成一排，其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。 6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例1.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（） A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 8．错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。 例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？9. “隔板法”:常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

排列 组合 定义 公式 原理

排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式

3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？

组合的综合应用

组合的综合应用 探究点1 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C412种； 第二类：女队长不当选， 有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种． 故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法． 所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种． 有限制条件的组合问题分类 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种

高中数学《排列与排列数公式》导学案

1．2.1排列 第1课时排列与排列数公式 知识点排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照□01一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅 当两个排列的元素完全相同，且元素的□02排列顺序相同． 知识点排列数及排列数公式 1．排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□01所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示． 2．排列数公式 (1)乘积形式：A m n＝□02n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里n，m∈N*且m≤n) .(n，m∈N*，且m≤n) (2)阶乘形式：A m n＝□03n！ (n－m)！ (3)性质：A n n＝□04n！，规定A0n＝□051,0！＝□061. 排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”． 注意：所研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排

这m个元素时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，它是一个数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2,3与3,2,1为同一排列．() (2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．() (3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．() (4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．() 答案(1)×(2)√(3)×(4)√ 2．做一做 (1)89×90×91×…×100可表示为() A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100 (2)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________排列问题．(填“是”或“不是”) (3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有________个． 答案(1)C(2)不是(3)6 解析(1)A12100＝100×99×...×(100－12＋1)＝100×99× (89) (2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题． (3)12,13,21,23,31,32，共6个． 探究1排列的有关概念 例1判断下列问题是否是排列问题． (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？

排列与组合综合用题

排列与组合的综合应用题（2） 授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、知识概述 例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式： ①②；③；④； 其中能成为P 的算式有________．（填序号） 答案：②③ 例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？ 解：＋＋＋＋=4110（种）． 例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起； （2）有且仅有两车连在一起； （3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起. 解：（1）（种）．

（2）（种）． （3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况． 有． 例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内： （1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）． （2）． （3）（种）． 法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种； 故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为

例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？ 解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）． 则有，即x（x－1）（8－x）=60． ∴x＝6或x＝5． ∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人． 例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数． （2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？ 解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种． （2）（种）． 例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答） 解：（种）．

高中数学 1.2.1排列(2)导学案 理新人教A版选修2-3

§1.2.1. 排列（2） 学习目标 1熟练掌握排列数公式； 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 课前预习案 教材助读 （预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处） 复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同 复习2：排列数公式： m n A ＝ （,,m n N m n *∈≤） 全排列数：n n A ＝ ＝ . 复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 课内探究案 一、新课导学： 探究点一：排列数公式应用的条件 问题1： ⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用. 探究点二：解决排列问题的基本方法 问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了

时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等. 二、合作探究 例1（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？ （2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？ （3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？ （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？ 变式：：某小组6个人排队照相留念． (1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ (3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ (5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？ 小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法. 例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数. （1）没有重复数字的四位偶数？ （2）比1325大的没有重复数字四位数？ 变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字， ⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数？

二年级数学上册 排列组合同步学案 新人教版

二年级数学上册排列组合同步学案新人教版 新人教版生活中有许多有趣的问题都跟排列组合有关，比如：用3张卡片摆成不同的三位数，看能摆成多少个不同的三位数；用几种颜色的衣服与几种颜色的裤子进行搭配，算算有多少种不同的搭配方法，等等。在解决这类问题时，要有顺序的思考，做到不重复、不遗漏。 【例题1】 用 2、6能摆成几个不同的两位数？用 2、6、7呢？ 【思路导航】 用数字排列组成数，按照一定的顺序先确定位上的数，然后考虑个位上有哪些数可以与其搭配，注意不重复、不遗漏、有顺序，写出所有情况。 解答（1）可以摆成 62、 26、（2）确定位上的数是2，摆成 26、27 确定位上的数是6，摆成 62、67 确定位上的数是7，摆成 72、76 答：一共可摆成6个不同的两位数，分别是 26、

27、 62、 67、 72、 76、跟踪训练1用下面的三张卡片能摆成几个不同的两位数？分别是多少？583 跟踪训练2用 4、2、8这三个数，可以组成多少个不同的两位数？ 【例题2】 小明有黄、红两种颜色的衣服各一件，蓝、黄两种颜色的裤子各一条，他有几种不同的穿法？ 【思路导航】 用衣服搭配组成不同的穿法，可以先固定衣服，用一种颜色的上衣与另外两种两种颜色的裤子进行搭配，再用另外一种颜色的上衣分别去搭配。也可以先固定裤子，用每种颜色的裤子和上衣分别去搭配。 解答用黄上衣可以和蓝裤子搭配，也可以和黄裤子搭配，有两种穿法。 用红上衣可以和蓝裤子搭配，也可以和黄裤子搭配，有两种穿法。 一共是4种穿法。跟踪训练1小红从家到邮局有2条路可走，从邮局到书店有3条路可走，小红从家经过到书店一共有多少种不同的走法？跟踪训练2小丽有两件毛衣：一件黄的，一件

有限集合上的组合数学问题

2012有限集合上的组合数学问题 知识点： 1.偏序集合基本概念 一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠?< 特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。 这里，符号"" 读作“小于等于”。 假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。用 M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。 2.偏序集合基本问题和定理。 定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。 注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。 与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ' 'o nig 定理”遥相呼应。其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。 （2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。）下面这个证明来自于https://www.sodocs.net/doc/667789801.html,erberg 在1967年的篇文章。 证明2：设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。 显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义： }.,|{i a x i P x S ?∈=- 类似第可以定义+ S 。因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再- S 里面。故，按照归纳假定，- S 是M

排列与组合的综合问题

排列与组合的综合问题 一、基础热身： 1、圆周上有2n(n＞1)个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形 有个（用数字作答）。 2、安排6名同学参加“中国梦我的梦”演讲比赛，要求甲选手不是第一个演讲， 也不是最后一个演讲，不同的排法种数是（用数字作答）。 3、从1、3、5、7中选2个数，再从2、 4、6中选2个数，则选出的4个数排成 的四位数有个（用数字作答）。 4、某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目 不超过2个，则该外商不同的投资方案有种。（用数字作答）。 小结：在处理排列组合综合问题时，应遵循“先特殊后一般”、“先取后排”、“先分类后分步”的基本原则，通过合理的分解将综合问题转化为基本问题来解决。 二、巩固提升： 1、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一跑道也不能站第 二跑道，乙必须站第五或第六跑道，则不同的站法总数是 （用数字作答）。

2、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案 共有（用数字作答）。 3、男生5人和女生3人排成一行，要求两端不排女生，且任何2名女生都不相邻， 则不同的排法种数为（用数字作答）。 4、从6个人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、大围山四个景点游览，要求每 个景点有1个人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲乙两个不去张家界游览，则不同的选择方案有（用数字作答）。 5、已知直线ax+by+c=0中的a、b、c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3} ---中的3个不同元素,并且该直线的倾斜角是锐角,则这样的直线的条数共有（用数字作答）。 6、21中K1101班班委会为了调整同学们高三的紧张生活，利用班会课安排了5 个表演节目，这5个节目已经排成节目单，就在节目表演前，吴楷彬和吴昊天两人各有一个节目要加入，如果将他们的两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（用数字作答）。 规律小结: 1、解排列组合综合问题时应注意以下几点： ①、把具体问题转化或归结为排列或组合问题 ②、通过分析确定运用分类还是分步 ③、分析题目条件时，避免选取时重复或遗漏 2、解排列组合综合问题常用的方法： ①、直接法与间接法②、分类法与分步法③、元素分析法与位置分析法④、插空法与捆绑法

2019-2020学年高中数学 1.2.1排列(2)导学案 理新人教A版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学 1.2.1排列（2）导学案 理新人教A 版选修 2-3 学习目标 1熟练掌握排列数公式； 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 课前预习案 教材助读 （预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处） 复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同 复习2：排列数公式： m n A ＝ （,,m n N m n *∈≤） 全排列数：n n A ＝ ＝ . 复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 课内探究案 一、新课导学： 探究点一：排列数公式应用的条件 问题1： ⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用. 探究点二：解决排列问题的基本方法 问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等. 二、合作探究 例1（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？ （2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？ （3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？ （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？ 变式：：某小组6个人排队照相留念． (1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ (3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ (5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？ 小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法. 例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数. （1）没有重复数字的四位偶数？ （2）比1325大的没有重复数字四位数？