每日一题8

每日一题8

24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）求点N落在BD上时t的值；

（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；

（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

（1）当点N落在BD上时，如图1．

∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB ．∴．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，∴．∴t=．

∴当t=时，点N落在BD上．

（2）①如图2，

则有QM=QP=t，MB=4﹣t．∵四边形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．∵点O是DB的中点，∴QM=BM．∴t=4﹣t．∴t=2．②如图3，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，∴DB=5．

∵点O是DB的中点，∴DO=．∴1×t=AD+DO=3+．

∴t=．∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t ＜．（3）①当0＜t ≤时，S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②当＜t≤3时，如图5

∵tan∠ADB==，∴=．

∴PG=4﹣t．∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣×（﹣4）×（t﹣3）=﹣t2+7t﹣6．

③当3＜t ≤时，如图6，

∴S=S梯形PQMF =（PQ+FM）?QM=t2﹣t+．

当3＜t ≤时，S=t2﹣t+．

综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t 的值为、、．