答案(1)C (2)C
热点二三角函数的图象
考法1 三角函数的图象变换
【例2-1】 (1)要想得到函数y=sin 2x+1的图象,只需将函数y =cos 2x的图象( )
A.向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
(2)(2018·湖南六校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其图象相邻两条对称轴之间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象( ) A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=-对称
解析(1)因为y=sin 2x+1=cos+1=cos+1,
故只需将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=sin 2x+1的图象.
(2)由题意,T=π,ω=2.
又y=f =sin的图象关于y轴对称.∴φ+=kπ+,k∈Z.
由|φ|<,取φ=-,因此f(x)=sin,
代入检验f =0,A 正确.
答案 (1)B (2)A
探究提高 1.“五点法”作图:设z =ωx +φ,令z =0,,π,,2π,求出x 的值与相应的y 的值,描点、连线可得.
2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换
只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这
个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
考法2 由函数的图象特征求解析式
【例2-2】 (1)函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则
函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin B .f(x)=2sin ? ??
??2x -π3 C.f(x)=2sin D .f(x)=2sin ? ????2x -π6 (2)(2018·济南调研)函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象如图所
示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )
A.1
B.
C.
D.3
2 解析 (1)由题意知A =2,T =4=π,ω=2,
因为当x =时取得最大值2,
所以2=2sin ,
所以2×+φ=2k π+,k∈Z,
解得φ=2k π-,k∈Z,
因为|φ|<,得φ=-.
因此函数f(x)=2sin.
(2)观察图象可知,A=1,T=π,则ω=2.
又点是“五点法”中的始点,
∴2×+φ=0,φ=.
则f(x)=sin.
函数图象的对称轴为x==.
又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
所以=,则x1+x2=,
因此f(x1+x2)=sin=.
答案(1)B (2)D
探究提高已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练2】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.
解(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知
A=1,=-=,
即T=π,所以π=,解得ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),又过点,
由0=sin可得+φ=2kπ,k∈Z,
则φ=2kπ-,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)根据条件得g(x)=sin,
当x∈时,4x+∈,
所以当x=时,g(x)取得最小值,且g(x) min=.
热点三三角函数的性质
考法1 三角函数性质
【例3-1】(2018·合肥质检)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解(1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,
∴ω=2,于是f(x)=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).
即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
注意到x∈,所以令k=0,
得函数f(x)在上的单调递增区间为;
同理,其单调递减区间为.
探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.
2.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y=Asin(ωx+φ)的增区间(或减区间),但是当A>0,ω<0时,需先利用诱导公式变形为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.
考法2 三角函数性质与图象的综合应用
【例3-2】已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
解(1)f(x)=2sin ωxcosωx+(2sin2ωx-1)
=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.
由最小正周期为π,得ω=1,
所以f(x)=2sin,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
整理得kπ-≤x≤kx+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象;
所以g(x)=2sin 2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),
所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b的最小值为4π+=.
探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=.
【训练3】(2018·湖南师大附中质检)已知向量m=(2cos ωx,-1),n=(sin ωx-cos ωx,2)(ω>0),函数f(x)=m·n+3,若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域.
解(1)f(x)=m·n+3=2cos ωx(sin ωx-cos ωx)-2+3
=sin 2ωx-cos 2ωx=sin.
依题意知,最小正周期T=π.
∴ω=1,因此f(x)=sin.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
求得f(x)的增区间为,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,
得y=sin=sin的图象.
然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g(x)=sin的图象.
故g(x)=sin,
由≤x≤,知≤4x+≤.
∴-1≤sin≤.
故函数g(x)的值域是[-,1].
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=,B=.
(2)由函数的周期T求ω,ω=.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
2.运用整体换元法求解单调区间与对称性
类比y=sin x的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sin x中的“x”,采用整体代入求解.
(1)令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程;
(2)令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;
(3)将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注
意ω的符号.
3.函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用的求解思路
第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y =Asin(ωx+φ)+B(一角一函数)的形式;
第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
一、选择题
1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
解析f(x)====sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期T ==π.
答案C
2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A. B.1 C. D.1
5
解析cos =cos=sin,则f(x)=sin+sin=sin,函数的最大值为.答案A
3.(2018·湖南六校联考)定义一种运算=ad-bc,将函数f(x)=的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( )
A. B. C. D.5π
6
解析f(x)=2cos x-2sin x=4cos,
依题意g(x)=f(x+φ)=4cos是偶函数(其中φ>0).
∴+φ=kπ,k∈Z,则φmin=π.
答案C
4.偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E,F是函数与x 轴的交点,点G在图象上),则f(1)的值为( )
A. B. C. D.22
解析依题设,=|EF|=4,T=8,ω=.
∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,且0<φ<π.
∴φ=,在等腰直角△EGF中,易求A=2.
所以f(x)=2sin=2cosx,则f(1)=.
答案C
5.(2018·天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析把函数y=sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)=sin =sin 2x的图象,由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),令k=1,得≤x≤,即函数g(x)=sin 2x的一个单调递增区间为.
答案A
二、填空题
6.(2018·江苏卷)已知函数y =sin(2x +φ)的图象关于直线x =对
称,则φ的值是________.
解析 由函数y =sin(2x +φ)的图象关于直线x =对称,得sin =±1.因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=,φ=-.
答案 -π6
7.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象如图所示,其中|PQ|=
2.则f(x)的解析式为________.
解析 由题图可知A =2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|===
2.整理得|x1-x2|=2,所以函数f(x)的最小正周期T =2|x1-x2|
=4,即=4,解得ω=.又函数图象过点(0,
-),所以2sin φ=-,即sin φ=-.又|φ|<,所以φ=-,所
以f(x)=2sin.
答案 f(x)=2sin ? ????π2x -π3 8.(2018·北京卷)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f 对任意的实
数x 都成立,则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f 成立,故当x =时,函数f(x)
有最大值,故f =1,-=2k π(k∈Z),∴ω=8k +(k∈Z).又ω>0,∴ωmin =.
答案 23
三、解答题
9.已知函数f(x)=4tan xsin·cos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解(1)f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z},
f(x)=4tan xcos xcos-3
=4sin xcos-3
=4sin x-3
=2sin xcos x+2sin2x-3
=sin 2x-cos 2x
=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
10.(2018·西安模拟)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x+.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.解(1)f(x)=cos xsin x-(2cos2x-1)
=sin 2x-cos 2x=sin.
当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ,k∈Z,
∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x =π.
又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
∴x1+x2=π,则x1=π-x2,
∴cos(x1-x2)=cos =sin ,
又f(x2)=sin =,
故cos(x1-x2)=.
11.设函数f(x)=sin +sin ,其中0<ω<3,已知f =0.
(1)求ω;
(2)将函数y =f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标
不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y =g(x)的图象,求g (x)在上的最小值.
解 (1)因为f(x)=sin +sin ,
所以f(x)=sin ωx -cos ωx -cos ωx
=sin ωx -cos ωx =3? ??
??12sin ωx -32cos ωx =sin.
由题设知f =0,
所以-=k π,k∈Z,故ω=6k +2,k∈Z.
又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin ,
所以g(x)=sin =sin.
因为x∈,所以x -∈,
当x -=-,即x =-时,g(x)取得最小值-.